Правило 1

Вероятность того, что произойдет одно из двух несовместимых событий (все равно какое А или В) равна сумме вероятностей этих событий

Р(АUВ) = Р(А) + Р(В)

Это правило наз. сложением вероятностей двух несовместимых событий

Следствие

Пусть несовместимые события, которые могут произойти при испытании

Р( )+Р( )+Р( )+…+Р( )=1

Пусть А- событие, - противоположное ему событие, т.е. событие, происходящее т и ттк не происходит событие А

Р(А) +Р( ) = 1

Событие, которое происходит т и ттк происходит оба события А и В наз. пересечением событий и обозначается А∩В

Высказывание «произошло событие А∩В» означает, что произошло событие А и событие В

Правило 2

Вероятность объединения двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления

Р(АUВ) = Р(А) + Р(В)- Р(А∩В)

Правило сложения вероятностей двух совместимых событий

4)Независимость случайных событий и правило умножения вероятностей

Событие А наз. независимым от события В если вероятность события А не зависит от того произошло или не произошло событие В

Если событие А независимо от события В, то событие В независимо от события А

Правило

Вероятность того, что произойдут 2 независимых события А и В авна произведению вероятностей

Р(А∩В) = Р(А) * Р(В)

Это утверждение называют правилом умножения вероятностей двух независимых событий

❸❻Числовые последовательности и ряды

Функцию, заданную надмножестве натуральных чисел обычно называют числовой последовательностью

Числа наз. членами последовательности, - общий член последовательности

Числовая последовательность считается заданной, если мы знаем закон ее образования

Закон образования последовательности будет известен если общий член выражен формулой

2)Вычисление пределов

1. величина наз. переменной, если она в условиях данной задачи принимает различные числовые значения

2. переменной х наз. ограниченной, если она при своем изменении по абсолютной величине никогда не превосходит некоторого числа А

|x| < A

3. переменная наз. бесконечно малой, если она при своем изменении остается меньше любого, наперед заданного, сколь угодно малого положит. числа Е

|ɑ| < E

4. переменная х наз. бесконечно большой, если она при своем изменении по абсолютному значению становится и при дальнейшем изменении остается больше любого, наперед заданного положительного числа N как бы велико оно не было

|x| >N

5. постоянное а наз. приделом переменной х, если абсолютная величина разности а-х в процессе изменения х становится и при его дальнейшем изменении остается меньше любого наперед заданного положительного числа Ɛ как бы мало оно не было

|x-a|<Ɛ

Если постоянная а есть придел переменной х , то говорят, что х стремится к а и записывают , при х→а

6. функция f(x)→в

При х →а, причем х не принимает значения равного а, то число в наз. пределом функции f(x), при х=а

7. предел бесконечно малой величины равен нулю (lim ɑ = 0; ɑ - б.м.)

8.разность между переменной и ее пределом есть величина бесконечно малая, т.е. придел lim x =a ; а - ɑ = х

9.Величина, обратная бесконечно большой есть бесконечно малая, т.е. если х – б.б. , то - б.м. величина

х→∞ ; → 0

❸❼ Придел постоянной величины равен самой постоянной

∙∙Придел алгебраической суммы конечного числа переменных величин, имеющих пиделы, равен алгебраической сумме этих переменных ( Lim(u+v-G) = lim u + lim v + lim G)

∙∙ Придел от произведения конечного числа переменных, имеющих приделы, равен произведению приделов этих переменных

Lim (u*v) = limu * limv

Следствие 1

Придел произведения постоянной величины на переменную имеющую придел, равен произведению этой постоянной на предел переменной

Lim(av) = a lim v

Следствие 2

Придел целой положительной степени переменной, имеющий придел, равен этой же степени придела это переменной

=

Следствие 3

Придел корня целой положительной степени из переменной, имеющей придел, равен корню той же степени из придела этой переменной

Lim =

Следствие 4

Придел частного двух переменных имеющих приделы, равен частному приделов делимого и делителя, если придел делителя не равен нулю

Lim( ) = ; lim v≠ 0

❸❽ Основные замечательные пределы

1.

2.

❸❺. Понятие функции и способы задания функции

Пусть даны Х и У – два непустых множества. Соответствие f, которое каждому элементу х ͼ Х ставит в соответствие у ͼ У наз. функцией у = f (x)

Говорят еще, что функция f отображает множество Х на множество У

Способы задания функции:

1) аналитический способ

Функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, т.к. к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию

2)графический способ

Задается графиком функции

Преимуществом графического способа является его наглядность, недостатком – его неточность

3)табличный способ

Функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функции, полученных опытным путем или в результате наблюдений

❹❷3.НЕЯВНАЯ ФУНКЦИЯ

Пусть задана функция у=у(х), обладающая производной в точке х. задана неявно уравнением F(х;у)=0, тогда проізводную у’(х) этой функции можно найти продифференцировав это уравнение и разрешая затем полученное уравнение относительно у’.

Функция F(х;у)=0, заданная уравнением, содержащим переменные х и у, называется неявной функцией от х.

Производная от у по х при неявном способе задания функции находится по правилу:

1. Находим производную от функции F(х;у)=0, рассматриваемую как функцию от х

2. Решив полученное уравнение относительную y’ будем иметь выражения производной от неявной функции

Используется для нахождения производной показательно-степенной функции u(x)^v(x) , а также используется для других громоздких выражений, допускающих логарифмирование (произведение, частное извлечение корня)

Логарифмической производной y=f(x) называется производная от логарифма этой функции (ln y)’=

Y=cos x^x

(ln y)’=(ln cos x^x )

❹❸ ПРИЗНАКИ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ

Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а,в), то функция возрастает, а если производная функции отрицательна для х в интервале (а,в), то функция у убывает.

Значение аргумента, при котором функция имеет наибольшую величину, называется точка максимума, а значение аргумента, при котором функция имеет наименьшую величину, называется точкой минимума.

Если функция непрерывна на отрезке [а;в] имеет единственный экстремум, то в случае максимума это будет ее наибольшее значение, а в случае минимума – наименьшим.