Правила нахождения наибольшего и наименьшего значения

1)Найти стационарные точки

2)Найти значение функции в стационарных точках и на концах отрезка. Наибольшее и наименьшее значение из этих чисел будет соответствовать наибольшим и наименьшим значениям функции на этом отрезке.

❹❹ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

y=f(x) называется произведение производной этой функции f’(x) на произвольное преращение аргумента dyf’(x) х. Дифференциал аргумента равен преращению

dx= x

dy=f’(x)dx

Для нахождения дифференциала первого порядка y=f(x) нужно ее производную умножить на дифференциал аргумента.

Правило Лопиталя «Раскрытие неопределенности вида » :

Пусть функции f(x) и g(x) они непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х_о и обращаются в 0 в этой точке, тогда справедлив предел, который будет равен пределу lim =lim

Правило Лопиталя для раскрытия неопределенности :

Пусть заданы функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестностях точки х_о и в этой точке предел функции lim f(x)=lim g(x)=∞, тогда существует предел =

❹❻ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

y=f(x) называется произведение производной этой функции f’(x) на произвольное преращение аргумента dyf’(x) х. Дифференциал аргумента равен преращению

dx= x

dy=f’(x)dx

Для нахождения дифференциала первого порядка y=f(x) нужно ее производную умножить на дифференциал аргумента.

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА В ПРАКТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Преращение х у функции y=f(x) в точке х можно представить в виде у= f’(x)х+αх, где α→0

у= dy+ αх, отбрасывая бесконечно малую величину αх более высокого порядка, чем Х, получаем приближенное равенство у dy.

Причем это равенство тем точнее, чем меньше Х. Это равенство позволяет с большей точностью вычислить приближенно преращение любой дифференцируемой функции (вычисление абсолютной и относительной погрешности).

❹❾ Таблица неопределенных интегралов f(x)=u

∫u²du= +c

∫1du=u+c

∫ du=ln(u)+c α≠-1

1. ∫a⁴du= +c

2. ∫e⁴du=e⁴+c

3. То же самое при нахождении производных

III. Некоторые способы непосредственного интегрирования

Непосредственное интегрирование производится путем применения соответствующего его табличного интеграла. Здесь могут использоваться следующие случаи:

1. Данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу

2. Данный интеграл после применения свойств приводится к одному или нескольким табличным интегралам

3. Данный интеграл после элементарных преобразований на подынтегральной функцией и применение свойств приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

❺⓿Замена переменно – метод постановки

Пусть требуется найти f[v(x)v’(x)]dx, где подынтегральная функция непрерывна.

Применяем подстановку v(x)=u и получим

∫f[v(x)v’(x)dx=∫f(u)du

Частичный случай

∫ dx=ln(u)+c

❺❶ Определенный интеграл и способы его вычисления

Если первообразная F(x)+c, первообразная функции f(x), то преращение F(b)-F(a) первообразная функций при изменении аргумента х от х=а до х=в называется определенным интегралом и обозначается символом

, где а – нижний предел определенного интеграла, в – верхний предел определенного интеграла

Функция f(x) предполагается непрерывной в интервале изменения аргумента х от а до в. Вычисление определенного интеграла выполняется следующим образом:

1. Находим неопределенный интеграл ∫f(x)dx=F(x)+c

2. Значение интеграла F(x)+c при х=в F(в)

3. F(x)+c, при х=а F(а)

4. F(в)- F(а)

Свойства определенного интеграла:

1. При постановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла

3. Определенный интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме определенных интегралов

❺❷ Нахождение площадей криволинейных фигур:

Определенный интеграл широко применяют при вычислении различных геометрических и физических величин. Площадь всякой плоской фигуры рассматривается в прямоугольной системе координат, может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, принадлежащих к основным.

Путь, пройденный телом при равномерном движении за время t вычисляется по формуле S=vt, где v – скорость (постоянная величина).

При неравномерном движении скорость v – величина переменная, зависит от t (v= )

Путь, пройденный телом при неравномерном движении за времяt₂-t₁ вычисляется по формуле S=

❺❸Уравнение относительно некоторой искомой функции, если оно содержит хотя бы 1 производную этой функции.

Символически дифференцированное уравнение записывается так F(x,y,y’)=0; F(x,y,y’’)=0; F(x,y,y’…yⁿ)=0

Дифференцирование уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференцированного уравнения называется порядок высшей его производной или дифференциала, входящего в данное уравнение.

Степенью дифференциального уравнения называется степень высшей в нем производной или дифференциала.

Решением или интегралом дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением или интегралом дифференцированного уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых производных постоянных, каков порядок уравнения.

Дифференцированное уравнение первого порядка содержит одно производное постоянное.

Частным решением дифференцированного уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Значение произвольных постоянных находится при определенных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференцированного уравнения называется интегральной кривой.

Общему решению дифференцированного уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.

Обыкновенным дифференцированным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференцированное уравнение с разделяющимися переменными называется уравнение вида =f(x)g(y)

Решение уравнения с разделяющимися переменными выполняется следующим образом:

*Выполнить разделение переменных =dxf(x)

*Проинтегрировать обе части уравнения =∫dxf(x)

*Найти частные решения уравнений и проверить их решения.