3 .3. Интегральная теорема Лапласа

Пусть производится п независимых испытаний. Как найти вероятность ад > ^2) того, что событие Л появится в п испытаниях, не менее раз и не более к₂ раз? Формулой ^_л(*|, Л₂) = Р_Я(Л,) +Р_Л(Л,+1) + ... +Р_л(^,) пользоваться не удобно. Ответ даёт теорема

Теорема 2. Если вероятность появления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р, то вероятность Р_я(^, іс₂) при больших п приближенно равна

Л

сіх

(*Г. В

где

_

ш

к_х-пр к_г- пр

у/прд ’ ² у[прд

Для приближенного вычисления данного интеграла

1. V -- ’

Ф(*) ^{= 2} (ФУ™¹™ Лапласа)

имеется таблица (прил. 2), при этом функция Ф(х) нечетная, т.е.

Ф(-х) = -Ф(х).

Тогда

ад,Л)«Ф(^)-ф(^К

Замечание 2. Погрешность вычислений вероятностей по формулам

1

(3) и (4) имеет порядок ЩШЩ •

Пример 5. Вероятность того, что деталь прошла проверку ОТК, равна

1. 2. Найти вероятность того, среди 400 отобранных наудачу деталей окажется непроверенных от 70 до 100.

_ 70-400 0,2 , _ 100-400-0,2 - _с

Вычислим ** = ^/400-0,2 0,8 ⁼"^{1>25 ;} *^{2 =} ,/400.0 2-0,8 ’

Тогда имеем

Р₄₀₀ (70,100)« Ф(х₂) - Ф(х,) | Ф(2,5) 1Ф(1,25) = 0,8882.

4. Теорема Пуассона

Из замечания 2 следует, что точность вычисления вероятностей хуже, чем меньше р или Возникает задача отыскания асимптот« ^

, _ „ ^и1И“бскол

формулы, специально приспособленной для этого случая. Такая формул

была получена Пуассоном.

Теорема 3. Если число испытаний велико, а вероятность появленщ

события А в каждом испытании мала, то имеет место приближенна

формула

Р„(к) « ^пр _или Р_н(к) я ~е ^в, - ; (5)

где а = пр - среднее число появлений события А в п испытаниях.

.Замечание 3. Можно проверить, что при больших п справедливо равенство

Л 00 00 -к

*=0 к=0 ^{К 1} к=0 ^{л !}

Пример 6. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна

1. 01. Найти вероятность того, среди 400 изготовленных деталей окажется пять бракованных.

Так как число испытаний п = 400 велико, а вероятность р — 0,01 мала, то воспользуемся формулой (5). Найдём а— пр — А и тогда

4

Лоо(3) * * 0.1685.

Замечание 4. Для удобного использования формулы Пуассона также существует таблица для « = пр < 10 (прил. 3). Имеются таблица (прил. 4) и для вычисления вероятностей вида

д <** *о«-£д<*) * ©

к=т к=т •

причем поскольку в формуле Пуассона число испытаний достаточно велико, то /7 можно не писать, т.е. Р„(к) = Р(к) и Р„(к^ т) = Р(к > т).

Пример 7. Вероятность того, что деталь будет забракована, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 400 изготовленных деталей буде не больше пяти забракованных.

Очевидно, что Р(к < 5) = I — Р(к > 6), поэтому можем воспользо­ваться формулою (6). Из таблицы, учитывая, что а = пр— 4 _и к = 6, нахо­дим Р{к ^ 6) * 0,21487. Следовательно, искомая вероятность равна Р(к < 5) * 1-0,21487 = 0,78513.

3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Пусть производится п независимых испытаний с постоянной веро-

к

ятностыо р. Требуется найти веро яти осп» того, что отклонение частоты ~ от р по абсолютной величине не превосходят лаиною г. > 0 , т.е.

Преобразуем неравенство в скобках

к

р

п

(	к
	— р
1	п

и умножим полученное неравенство на ^

р £ є

£ є

-є

п к - пр -е.\-—.—І- < е

РЧ 4^прч

Ж *2Ф

и учитывая нечетность

П

П

-Е.

Полагая в формуле (3) *1 функции Лапласа, получаем

Р

к

—Р п

(7)

Пример 8. Вероятность изготовления фарфоровой посуды высшего ка­чества равна р = 0,4. Найти вероятность того, что в партии из 600 изделий частота изготовления посуды высшего качества отклонится от вероятности р — 0,4 не более чем на 0,05.

Подставим данные задачи в формулу (7)

( к

600

12Ф(2,5) = 2 • 0,4938 = 0,9876.

<е «2Ф

0,05₄

—р

у 0,4-0,6

Пример 9. Вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти число испытаний п, при котором с вероят­ностью 0,9876 можно ожидать, что £' = 0,04.

Подставим данные задачи в формулу (5)

V

ж

= 0,9876 11 Ф

<Е «2Ф

0,04,

= 0,4938.

10,2 0,8

По таблице значений функции Лапласа Ф(*) находим соответствующее

V» _

значение аргумента Тл” ’

ю

=> л = 625.

4. Случайные величины и Функции пасппедеда^дд 4.1. Случайные величины

Определение 1. Случайной величиной (СВ) называется величина X которая в результате опыта может принять то или иное значение, заранее неизвестно какое, т.е. X - X (е), где е т элементарное событие.

СВ бывают двух типов: