1. Дискретные - если возможные значения св (значения, которые она принимает) могут быть перечислены. Например, число попаданий в мишень при п выстрелах, число вызовов на атс и т.Д.

2. Непрерывные - если возможные значения св непрерывно заполняют некоторый промежуток. Например, расстояние от точки попадания до центра мишени, время безотказной работы блока устройства.

Для того, чтобы задать СВ, необходимо знать её возможные значения и как часто она их принимает, т.е. с какой вероятностью. Для дискретных СВ закон распределения обычно задается в виде таблицы

X	*1	^Х2	...		...
р	р\	Рг	...	Рп	ч#аиШ

Замечание. Так как события X = х₁; X =х₂; X - х„;... образуют полную группу событий, то Р\ + р₂ +■•• + Р_п +..₁-== 1.

Рассмотрим примеры наиболее распространённых дискретных СВ.

1. Биномиальное распределение.

2. Распределение Пуассона.

X	0	1	...	к	...	п
р	ч^в		...	С^кпр^кд^п:\	...	[ Р^п 0 П

Пример 1. Монета брошена три раза. Построить закон распределения СВ -число появлений герба.

X	0	1		п	...
Р	е-	ае~^в	...	а"е~^а	...
		I?		п!

Здесь -ЛГ ^в{0,1, 2, 3}. По формуле Бернулли вычислим соответст­вующие вероятности:

13 3 і

Проверим Pi + Рг ⁺ Pi + Pi ~ T ⁺ —+ —+ — = 1.

0888

Получили закон распределения

X	0	1	■ 2 ^J	3
	11	3	1	1
р	8	?	8	8

2. Функция распределения вероятностей для дискретной СВ

Для количественной характеристики распределения вероятностей удобно пользоваться не вероятностью события X - х, а вероятностью события X < х .

Определение 2. функция F(x) = Р(Х < х) называется функцией распределения вероятностей случайной величины X или интегральной функцией распределения.

Геометрически это означает, что F{x) - вероятность того, что СВ примет значение, лежащее левее х на числовой оси.

Пример 2. Построить функцию F(x) распределения вероятностей для примера 1.

1. х є (—ад; 0], для таких значений F(x) = Р(Х < 0) = 0.

2. х є (0; 1], для таких значений

F{x) = P{X<l) = -

3. х є (1; 2] , для таких значений F(x) = P(X

1 3 3 ⁷

4. х є (2; 3], для таких значений F(x)-Р(Х^<3)~g ⁺ g ⁺ g .^8*

^{1 3 3} 4.1-1

5; of є (3; оо) _? для таких значений F{x)-Р(Х^<00' ⁼ g ⁺ g⁺g g” * F(x)

m

Из определения функции распределения следуют её СВ Н

1. 0SF(x)Zl. ^0ЙС18а*

2. F(x) «неубывающая функция.

3. = 0 ; F(co) ж 1.

4. Вероятность того, что СВ примет значение, заключенное

вале (а; ß), равно Р(а $Х< ß) = F(ß)-F(a). ⁸ *4

Рассмотрим события А = (X < а); В = (X < ß); С = (« * у _< тогда В = А + С, Так как Л и С несовместные событр, fh Р(В) = Р(А)+Р(С), а учитывая, что Р(В)± F(ß)\ Р(А)± р Р{С) = Р(а S X < ß), то тогда Р(айХ<ß) = F(ß)~F(«).

5. F(x) имеет разрывы первого рода во всех точках, cooti^^^K ющих возможным значениям СВ, а величина скачка равна

F(x₀ + 0)- F(x₀ - 0) = Р(Х at Хц).

2. Непрерывная СВ. Функция распределения и плотность распределения вероятностей

Функция распределения вероятностей (интегральная) непрерывной СВ определяется аналогично как и для дискретной F(x) — Р(Х < х). В этом случае F(x) является непрерывной функцией и обладает свойствами 1-4, Однако, если F(x) непрерывная, то вероятность любого определённого значения непрерывной СВ равна нулю, так как

Р(Х = а)= lim Р(а йХ <ß)=lim (F(ß)~ F(a))= 0. I

ß-va , ß-*a ⁴ .

Для локальной характеристики непрерывной СВ вводится понятие плотности распределения вероятностей.

Пусть имеется непрерывная случайная величина X с функцией распре­деления F(x). Вычислим вероятность попадания этой СВ в интервал (x;x+Ax)i По свойству 4, получаем Р(х<Х< х+Ах) = F(x+Ах)—F(x),

• Р(х<Х<х+Ах)

Рассмотрим отношение ~Дх~~ * ^т‘^е' ^ИсР^еД^ш°^ю" вероятность

и устремим Ах —► 0

Дх-»о Дх

Определение 3. Плотностью распределения вероятностей или лиффе- ренциальной функцией распределения называется функция f(x) — F'(x).

Из этого определения следуют её свойства:

1. /(*)£ 0, как производная от неубывающей функции.

2. Вероятность попадания СВ в интервал (а; ß) равна

ß

Р(а < X < ß) • I f(x)dx,

а’

так как /(x)dx -вероятность попадания СВ в интервал длины dx.

3. ^(*) * J f(^x)dx _t так как F(x) » J*(-«o < X < *).

4. j /(x)rfx «1 ₍«по следует из свойства 3 я те», что

Пример 3. Найти функцию распределения F{x) по мдаипюй функция плотности /(ж) и вероятность попадания СВ в интервал (мая

[О , х<0,

Дх) = |ах², 0£ж<1;

[О , х>1.

Вначале найдём значение параметра а из свойства 4 функции плот­ности f(x)

1 1# a jx²dx = 1 щщ fl -ji =1 => в = 3,

а по свойству 3 находим функцию распределения О, х<0;

цц 2

11 (₄ з ЗІ ^10? -^3628800-1200 4

т _ 2 _ 1 6

^Р_(^А1⁼¹~_3¹⁹²"^д-' 8

?„(*,, к₂,...,к_т) = 12

-0,2, 12

д <** *о«-£д<*) * © 14

Вероятность попадания в заданный интервал можно определить по формулам из свойства 4 функции распределения или из свойства 2 функции плотности f(x). Воспользуемся формулой

P{aüX<ß)^F(ß)-F(a) = F{2)-F^\-¹-^¹-.

Приведём графики функций /(*) и F(x).