Основные формулы по теории вероятностей (часть 1)
Элементы комбинаторики |
||
Число размещений без повторений (выборка отличается одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения) , 0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720 |
Число сочетаний без повторений (одно размещение отличается от другого хотя бы одним элементом (только составом)) , , |
Число перестановок без повторений (одно размещение отличается от другого только порядком расположения элементов)
|
Число размещений с повторениями
|
Число сочетаний с повторениями
|
Число перестановок с повторениями , где |
Вероятность события , противоположного событию |
Классическая вероятность
- число исходов, благоприятствующих событию, - число всевозможных исходов |
Геометрическая вероятность
|
Вероятность суммы |
|
а) для произвольных событий ;
|
б) для несовместных событий |
Вероятность произведения |
|
а) для произвольных событий A и B:
|
б) если события A и В независимы: |
Формула полной вероятности
|
Формулы Бейеса
|
Формула Бернулли ,
|
Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях np-q ≤ k0 ≤ np+p 1)если число np+p - дробное, то имеем одно наивероятнейшее число k0=[np+p], 2)если np+p-целое, то имеем два наивероятнейших числа: k0 = np-q и k0= np+p |
Формула Пуассона (редких событий)
(обычно при n≥5, a=np≤10) |
Вероятность появления m событий простейшего потока за время t
|
Локальная теорема Муавра-Лапласа , где (когда число испытаний n велико, а вероятность p наступления события не близка к 0 (обычно npq10)) |
Функция Лапласа
Нормированная функция Лапласа
|
Свойства нормированной функции Лапласа:
1)Нечётность ; 2)Монотонно возрастающая Ф0 (х); 3) Ф0 (0)=0 . На практике: если х5, полагаем что Ф0(х)1/2 |
Интегральная теорема Муавра-Лапласа , где (обычно npq20) |
Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в n независимых испытаниях
|
|
Основные формулы по теории вероятностей (часть 2)
Дискретная с.в. X |
Абсолютно-непрерывная с.в. X |
|||||||||||
pi≥0 и p1+p2+…+pk=1
|
|
|||||||||||
|
||||||||||||
а) 0≤ F(x)≤1; б) F(x) – монотонно возрастающая; в) ; г) F(x) – непрерывна слева |
||||||||||||
4) |
4) ,
|
|||||||||||
5) ; |
||||||||||||
6) ; ; ; ; |
6)
|
|||||||||||
Числовые характеристики Математическое ожидание (среднее значение) M(X): |
||||||||||||
7) ; |
7) ; |
|||||||||||
8) Свойства M(X):
|
||||||||||||
9) Дисперсия: D(X)=M[(X-M(X))2]; D(X)=M(X2)-(M(X))2 |
||||||||||||
10) |
10) |
|||||||||||
11) Свойства D(X):
|
||||||||||||
12) среднее квадратическое отклонение |
||||||||||||
13) Начальный момент s-го порядка с.в.X: ms(X)=M(Xs) |
||||||||||||
14) Центральный момент порядка s с.в.X: s(X)=M[(X-M(X))s] а) 2(X)=m2(X)-m12(X) б) 3(X)=m3(X)-3m1(X)m2(X)+2m13(X) в) 4(X)=m4(X)-4m1(X)m3(X)+6m12(X)m2(X)-3m14(X) |
||||||||||||
15) Коэффициент асимметрии с.в.X: |
||||||||||||
16) Коэффициент эксцесса с.в X: |
||||||||||||
17) Ковариация с.в. 1 и 2 : cov(1 , 2)=M[(1 -M1)·(2 -M2)]; cov(1 , 2)=M(1·2)-M1 ·M2; |
||||||||||||
18) Коэффициент корреляции с.в. 1 и 2 : |