6.2. Кривые второго порядка
Уравнение
определяет
окружность радиуса R
с центром в точке с координатами (a;
b).
Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух фиксированных точек-фокусов эллипса есть величина постоянная, равная 2а.
Расстояние между
фокусами
.
Простейшее уравнение эллипса мы получим,
выбрав прямую, соединяющую фокусы за
ось абсцисс и поместив начало координат
в середину между фокусами.
Тогда уравнение эллипса имеет вид:
, где
.
Из уравнения видно,
что кривая, определяемая данным
уравнением, симметрична относительно
обеих осей координат. Поэтому достаточно
рассмотреть первую четверть. Выразим
переменную
из уравнения эллипса:
.
Видно что,
.
При этом, когда переменная
увеличивается от 0 до а, переменная
уменьшается от b
до 0. Построим эллипс.
Точки пересечения эллипса с его осями называются вершинами эллипса. Параметры a и b, входящие в уравнение эллипса, называются его полуосями.
Эксцентриситетом
эллипса называется отношение
;
очевидно, 1.
Расстояния точки до фокусов называются
ее фокальными радиусами – векторами
(r1
и r2).
Для любой точки М(х;у) эллипса имеем:
.
Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, равная 2а. Фокусы гиперболы обозначаются F1 и F2, расстояние между ними 2с. Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид:
,
где
.
Построим гиперболу:
Величины a
и b
называются соответственно действительной
и мнимой полуосями гиперболы. Прямоугольник
со сторонами 2а и 2b,
расположенный симметрично относительно
осей гиперболы и касающийся ее в вершинах,
называется основным прямоугольником
гиперболы. Диагонали основного
прямоугольника, неограниченно
продолженные, являются асимптотами
гиперболы, их уравнения
.
Число
называется эксцентриситетом гиперболы,
1.
Если М(х,у)- произвольная точка гиперболы, то отрезки F1M и F2M называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы точек гиперболы вычисляются по формулам:
.
Определение. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от точки плоскости, называемой фокусом и прямой─ директрисы.
Расстояние от
фокуса до директрисы обозначим через
р. Если ось абсцисс проходит через фокус
параболы, а ось ординат параллельна
директрисе, то уравнение параболы имеет
вид
.
Уравнение
определяет параболу, симметричную
относительно оси ординат.
Пример. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что большая полуось а=6, а эксцентриситет =0,5.
Решение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
.
Из условия, что
,
находим
.
Найдем полуось
.
Получим:
.#
Пример.
Привести уравнение кривой
к каноническому виду. Найти фокусы, эксцентриситет.
Решение. Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду. Разделим обе части уравнения на 16:
.
Получаем
,
.
Фокусы находятся
в точках
и
.
Эксцентриситет
равен
.
#
Общее уравнение
кривой второго порядка имеет вид
.
Преобразованием координат общее
уравнение может быть приведено к
каноническому виду. Если B=0,
то выполняется преобразование ‒
параллельный перенос осей координат
по формулам:
Пример.
Привести к каноническому виду уравнение
кривой
и построить график.
Решение. Сгруппируем члены, содержащие x, и члены, содержащие у, выделим полные квадраты:
.
Получили каноническое
уравнение эллипса с полуосями
,
центр находится в точке (3; -1). Строим
график.#
Если
,
то выполняется преобразование‒ поворот
осей координат на некоторый угол
по формулам:
.
Пример. Преобразовать
к каноническому виду уравнение кривой
второго порядка
.
Решение. Поскольку
коэффициент при произведении
не равен нулю, выполним преобразование
– поворот осей координат по указанным
формулам:
+
+
.
Раскроем скобки и сгруппируем:
+
+
+
+
.
Приравнивая нулю
выражение при
,
находим:
,
,
.
Оси координат
необходимо повернуть на угол
.
Поскольку
,
уравнение кривой примет следующий вид:
+
,
или
,
.
Разделим полученное выражение на 72:
.
Уравнение кривой в новой системе координат является каноническим уравнением гиперболы. #
Рассмотрим пример на составление уравнения линии (геометрического места точек) по ее геометрическим свойствам.
Пример. Составить уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояния до точки А(-3,0) к расстоянию до прямой 3х+25=0 равняется 0,6.
Решение. Берем произвольную точку М(х, у). Пусть r-расстояние между точками М(х,у) и А(-3,0).
.
Расстояние от
точки до прямой 3х+25=0 равно
.
По условию
или
.
Возводим в квадрат обе части равенства:
;
;
разделим на 400,
.
Искомое уравнение есть каноническое уравнение эллипса. #