3.4. Анализ цепи с последовательным соединением активного сопротивления, индуктивности и емкости

При последовательном соединении пассивных элементов электрической цепи( рис.3) ток i во всех элементах одинаков, а напряжения различны.

Рис. 3. Электрическая цепь с последовательным соединением элементов

Запишем второе уравнение Кирхгофа для мгновенных значений (1), учитывая, что роль ЭДС играет напряжение источника питания u, и выразим напряжение на элементах uR, uL, uC через ток (2):

u_R + u_L + u_C = iR+ Ldi/dt+ u_C = 1/C∫idt= U

Предположим, что по цепи протекает синусоидальный ток:

i = sinωt. (3)

Тогда мгновенные напряжения на элементах:

^uR ^{=Ri = Rsinωt = URsinωt , (4)}

^uL ^{=Ldi/dt = ωLcosωt= ULsin(ωt+π/2), (5)}

^{uc = 1/C∫idt = cosωt = Ucsin(ωt-π/2). (6)}

Отсюда вытекают следующие формулы для определения действующих значений напряжений на элементах:

U_R= IR, U_L=IωL=IX_L, U_C=I/ωC=IX_C, (7)

где X_L=ωL- индуктивное сопротивление,

X_C=1/ωC- емкостное сопротивление.

Как видно из (4), (5), (6), напряжения на элементах изменяются по синусоидальному закону. Сумма нескольких синусоид также является синусоидальной величиной, поэтому для напряжения питания можно записать:

u= ^. (8)

Графики мгновенных значений тока и напряжений, построенные по (3), (4), (6), (8), показаны на рис. 4.

Рис.4. Графики мгновенных значений тока и напряжений для последовательной цепи.

В выражении (8) для напряжения питания неизвестными величинами являются действующее значение U и сдвиг фаз φ. Наиболее легко эти величины определить из векторной диаграммы (рис.5).

Рис.5. Векторная диаграмма для последовательной цепи при X_L > X_C

Построение начинаем с вектора тока как общего для всех элементов. Затем строим векторы напряжений на сопротивлении U_R, индуктивности U_L и емкости U_C. Длины этих векторов определяются по формулам (7). Сдвиг фаз между этими векторами и вектором тока определяется из сравнения фаз тока и напряжений. Сравнивая фазы тока(3) и напряжения на сопротивлении (4), определяем, что в сопротивлении ток совпадает по фазе с напряжением. Сравнивая фазы тока (3) и напряжения на индуктивности (5), определяем, что в индуктивности ток отстает по фазе от напряжения на угол 90° или во временных единицах на четверть периода. Аналогично определяем, что в емкости ток опережает по фазе напряжение (6) на угол 90° или на четверть периода. В соответствии со вторым уравнением Кирхгофа в векторной форме вектор напряжения питания Ū равен сумме векторов напряжений на пассивных элементах: Ū= ŪR+ ŪL+ ŪC.

Из диаграммы на рис. 5 можно выделить прямоугольный треугольник oab и применить к нему теорему Пифагора:

^{U= =}

Из этого выражения получаем соотношение между действующими значениями тока и напряжения питания, аналогичные закону Ома:

I= U/Z, (9)

где

^{ž= =} . (10)

Здесь ž - полное сопротивление цепи;

R- активное сопротивление цепи;

X- реактивное сопротивление цепи.

Сдвиг фаз между током и напряжением питания φ находится из треугольника oab через тригонометрические функции:

tgφ= (U_L- U_C)/UR= (X_L- X_C)/R, cosφ= R/ ž, sinφ= (X_L- X_C)/ ž. (11)

П р и м е р. В цепи на рис.3 R=8 Ом, L= 12.73 мГн, C= 318.5 мкФ, U= 220 В, f= 50 Гц. Записать выражения для мгновенных значений тока и напряжения питания, полагая начальную фазу напряжения равной нулю.

Решение.

Угловая частота ω= 2πf = 2∙3.14∙50= 314 рад/с;

индуктивное сопротивление X_L= ωL= 314∙12.73∙10^-3= 4 Ом;

емкостное сопротивление X_C= 1/ωС= 1/314∙318,5∙10^-6= 10 Ом;

полное сопротивление ž= = = 10 Ом;

действующее значение тока I= U/Z=220/10= 22 А;

сдвиг фаз tgφ=X/R=(4-10)/8= -0.75, φ≈37°;

мгновенные значения напряжения и тока

u = 310sin314t , i = 31sin(314t+37°).