- •Глава 2. Основные положения теории колебаний
- •2.1. Исходные понятия теории колебаний. Гармонический осциллятор
- •1. Физические величины
- •2. Уравнения колебаний гармонического осциллятора
- •3. Динамика гармонического осциллятора
- •2.2. Методы (способы) представления колебаний
- •2.3. Затухающие колебания
- •2.4. Динамика вынужденных колебаний. Импеданс колебательной системы
- •Импеданс и фазовые соотношения между смещением и
- •2.6. Смещение как сумма двух его компонент. Резонанс смещения и его анализ
- •2.7. Импеданс и фазовые соотношения между скоростью и вынуждающей
- •2.8. Устойчивость амплитуды вынужденных колебаний
- •2.10. Добротность и резонансная кривая поглощения осциллятора
3. Динамика гармонического осциллятора
Пусть пружинный маятник совершает колебания малой амплитуды около положения устойчивого равновесия под действием возвращающей силы упругости, обусловленной деформацией пружины х (рис. 2). При малых деформациях закон силы упругости подчиняется линейному закону Гука Fx = kx. В отсутствии трения движение описывается линейным дифференциальным уравнением m = kx (второй закон Ньютона). Это уравнение можно записать в виде + x = 0 . Отношение = имеет размерность квадрата частоты и является собственной характеристикой пружинного маятника (т.к. определяется собственной жесткостью пружины и массой маятника). Итак, уравнение примет вид: + x = 0
Уравнение можно записать в более компактной форме с использованием стандартной записи производной по времени :
(3)
Решением уравнения (3) является гармоническая функция: x(t) = A cos(0t + ). Из решения видно, что, действительно, 0 = имеет смысл собственной циклической частоты. Период собственных колебаний T0 = =
Пружинный маятник, совершающий гармонические колебания около положения равновесия под действием возвращающей силы вида Fx = kx, является примером гармонического осциллятора. В конкретной колебательной системе возвращающая сила по своей природе не обязательно должна быть именно силой упругости. Приведем пример.
Опишем свободные колебания ареометра, помещенного в жидкость (рис. 3). Пусть вязкое трение в жидкости отсутствует. На ареометр массой m действует сила тяжести и сила Архимеда.
Рис. 3
Если слегка притопить ареометр на глубину x, то сила Архимеда возрастет по модулю на величину F = Sxg , где S - площадь поперечного сечения отростка ареометра, - плотность жидкости. Понятно, что при всплытии ареометра выше положения равновесия сила тяжести будет на ту же величину F = Sxg больше силы Архимеда. Сила Архимеда направлена против направления смещения ареометра, т.е. Fx = Sxg, и играет роль возвращающей силы (в пружинном маятнике эту роль играет сила упругости). Второй закон Ньютона в проекции на ось 0Х имеет вид m = Sxg. После соответствующих преобразований дифференциальное уравнение примет вид:
или ,
где - квадрат собственной частоты колебаний ареометра в жидкости. Решением уравнения является уравнение гармонических колебаний x = A cos (0t + ), где A = Xmax – амплитуда колебаний ареометра.
Динамические уравнения колебаний пружинного маятника и ареометра и их решения имеют одинаковый вид. Роль возвращающей силы в пружинном маятнике играет сила упругости Fx = kx. Для ареометра возвращающей силой является сила Архимеда, которая формально имеет тот же вид, что и сила упругости: Fx = Sgx = bx, где b = Sg. В этой связи, возвращающие силы вида F = bx получили название квазиупругих сил (приставка «квази-» - от латинского quasi – «якобы, как будто, вроде»), т.е. сил, формально схожих с упругой силой.
В качестве иллюстрации сказанного приведем без детализации вывода динамические уравнения и собственные частоты двух других гармонических осцилляторов (рис. 4). Решения этих уравнений имеют одинаковый вид: x = A cos (0t + ),.
Математический маятник:
J = mgl, где J = ml 2 – момент инерции маятника.
Собственная частота , период T = = .
Рис.4-а Решение уравнения: = max cos (0t + ).
К олебания материальной точки m, прикрепленной к двум стру-
нам: m =
Собственная частота , период T0 = = .
Рис. 4-б Решение уравнения: x = Xmax cos (0t + ).
Во некоторых случаях динамику осциллятора удобно описывать не на языке сил, а на языке энергии. Так поступают, например, при описании динамики квантовых осцилляторов с опосредованным использованием понятия квазиупругой силы. Действительно, в положении равновесия потенциальная энергия осциллятора U(x) имеет минимум. При малых колебаниях, т.е. при малых амплитудах А, потенциальная энергия гармонического осциллятора имеет вид U(x) = , тогда для малых колебаний квазиупругая сила примет вид: F = = kx. В квантовой механике динамику линейного квантового осциллятора решают с помощью уравнения Шредингера, где динамической переменной является не сила, а энергия. Потенциальная энергия осциллятора имеет тот же вид, что и в классическом механическом осцилляторе, т.е. U(x) = . При этом оказывается, что решение уравнения Шредингера существует лишь при дискретных значениях полной энергии квантового осциллятора. Напомним, полная энергия Е классического гармонического осциллятора может принимать любые значения и равна сумме колеблющихся в противофазе потенциальной U и кинетической энергии Ek осциллятора: E = U + Ek, причем
E = = .