- •Модуль 5 динамика жидкости введение
- •Основы научнотеоретических знаний по модулю
- •1. Дифференциальное уравнение движения невязкой жидкости в форме Эйлера
- •2. Интеграл Бернулли для линии тока
- •3. Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости
- •4. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости
- •5. Условия применения уравнения Бернулли
- •Краткое описание установки
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Обработка экспериментальных данных
- •Варианты заданий к практическим занятиям
- •Контрольные вопросы:
- •Литература
Модуль 5 динамика жидкости введение
Динамика жидкости – раздел гидромеханики, который изучает законы движения жидкостей в зависимости от приложенных к ним сил.
При заданных внешних силах задача динамики жидкости сводится к определению напряжений и кинематических параметров движения в каждой точке жидкости в любой момент времени, а также к определению гидродинамических сил воздействия потока на тела.
В механике жидкости для облегчения решения некоторых задач используется понятие об идеальной жидкости.
Под идеальной жидкостью подразумевают такую условную жидкость, которая обладает абсолютной несжимаемостью, абсолютной подвижностью частиц, а также отсутствием сил сцепления между ними. Вязкость идеальной жидкости равна нулю. Таким образом, идеальная жидкость перемещается по трубам и каналам без сопротивлений (без потери энергии на трение). Когда реальная жидкость находится в покое, в ней не проявляются силы вязкости и она имеет свойства, близкие к свойствам идеальной жидкости. Следовательно, рассмотрение при решении гидравлических задач идеальной жидкости вместо реальной вполне допустимо. Такое рассмотрение позволяет применять точный математический анализ для решения технических задач в гидравлике.
Нормальные напряжения в движущейся идеальной жидкости обладают теми же свойствами, что и в покоящейся жидкости, то есть в данной точке их значения не зависят от направления действия. Таким образом, напряженное состояние движущейся невязкой жидкости может быть охарактеризовано в каждой точке значением нормального напряжения. Поскольку это значение не зависит от направления действия, его, как и при равновесии жидкости, называют давлением.
Основы научнотеоретических знаний по модулю
1. Дифференциальное уравнение движения невязкой жидкости в форме Эйлера
Для решения задачи о движении невязкой жидкости нужно составить уравнения движения, связывающие между собой скорости, давления и массовые силы, действующие в жидкости.
Чтобы получить эти уравнения, используем векторное уравнение движения жидкости, выраженное через напряжения
В невязкой жидкости действуют только нормальные напряжения, связь которых с давлениями имеет вид:
Подставляя эти значения в уравнение в напряжениях, получим уравнение:
,
Или используя понятие градиента скалярной функции P
(5.1)
Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением движения невязкой жидкости в форме Эйлера.
Получим уравнение в скалярной форме, спроецировав его на оси координат:
(5.2)
В уравнениях Эйлера считаются известными плотность и вектор напряжения массовых сил , и . Искомыми в этих уравнениях являются три проекции скорости , , и давления , т.е. четыре неизвестных функции. Чтобы привести в соответствие число уравнений и число неизвестных, к уравнениям Эйлера (5.2) следует добавить уравнение неразрывности
2. Интеграл Бернулли для линии тока
В общем случае уравнение движения жидкости не интегрируются. Для частных случаев их интегрирование возможно, если принять некоторые допущения.
Рассмотрим случай установившегося движения вдоль линии тока. В этом случае режим движения жидкости в каждой точке пространства не изменяется с течением времени. Линии тока при установившемся движении совпадают с траекториями жидких частиц.
Умножая скалярно основное уравнение движения:
на элементарное перемещение жидкой частицы вдоль линии тока получаем:
Или
.
Так как при установившемся движении , то выражение является полным дифференциалом и можно написать:
Это уравнение может быть проинтегрировано при соблюдении двух условий:
Если массовые силы имеют потенциал.
Если жидкость баротропная, т.е. ее плотность зависит только от давления.
По первому условию:
; ; и .
или .
Это уравнение можно интегрировать, где интегралом будет
(5.3)
Полученное уравнение называется интегралом Бернулли. Константа в правой части постоянна только вдоль линии тока. При переходе к другим линиям тока значение постоянной в интеграле Бернулли изменяется.
Рассмотрим наиболее важный частный случай, когда в жидкости действует сила тяжести, т.е. , и запишем для него интеграл уравнения движения. Одновременно умножим обе части уравнения на плотность и учтем, что .
Тогда получим:
(5.4)
Интеграл Бернулли в такой записи часто называют уравнение Бернулли.
Все члены, входящие в это уравнение, имеют размерность давления.
Три формы уравнения Бернулли:
– 1-ая форма уравнения Бернулли в напорах;
– 2-ая форма уравнения Бернулли в давлениях;
– 3-я форма уравнения Бернулли в квадратах скоростей.
Рассмотрим энергетический смысл уравнения Бернулли.
Рассмотрим частицу жидкости, с массой , которая движется вдоль линии тока. Определим величину полной энергии, которой обладает частица сеч. I и II. Кинетическая энергия соответственно и . Потенциальная энергия равна весу частицы на высоту подъема ее. В сеч. I высота подъема ; в сеч. II .
В сеч. I потенциальная энергия
,
где объем частицы;
объемный вес.
Потенциальная энергия частицы может быть записана
,
Так как .
А ,
где полная энергия частицы в сеч. I;
полная энергия частицы в сеч. II;
Разделив почленно на вес частицы , определим полную энергию, которая заключается в единице веса жидкости. Это удельная энергия ( ).
Удельная энергия, отнесенная к ед. веса ,
где и удельная кинетическая энергия;
и удельная потенциальная энергия давления;
и удельная потенциальная энергия положения.
Разделим уравнения (А) на единицу объема.
Уравнения (А) перепишутся:
; делим на
в давлениях.
Разделим уравнения (А) на единицу массы и поучим:
Поскольку сумма кинетической и потенциальной энергии равна полной механической энергии, интеграл Бернулли можно истолковать следующим образом: вдоль линии тока механическая удельная энергия частицы жидкости постоянна. Это есть одно из выражений закона сохранения энергии, который в данных условиях выражается интегралом Бернулли.
Весьма часто в практических задачах представляет интерес не все давление , а лишь гидродинамическая добавка к нему, вызванная движением жидкости, т.е. так называемое избыточное гидродинамическое давление.
Рассмотрим, например, поток со свободной поверхностью, которую примем за плоскость сравнения. Гидростатическое давление равно . Введем избыточное гидродинамическое давление как разность между давлением в этой точке и гидростатическим давлением:
.
Подставляя выражение для в уравнение (5.4), приведем его к виду:
Из этого выражения следует, что в тех точках потока, где скорость больше, давление уменьшается.