3. Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости

При движении вязкой жидкости в ней возникают не только нормальные, но и касательные напряжения, так как вязкая жидкость обладает способностью оказывать сопротивление относительному сдвигу своих слоев и частиц.

Рассмотрим элементарную струйку вязкой жидкости также при установившемся движении.

При движении элементарной струйки вязкой жидкости общий запас удельной механической энергии не может оставаться постоянным, как это рассматривалось при движении идеальной жидкости. Дело в том, что при движении вязкой жидкости вследствие ее вязкости возникают сопротивления движению, на преодоление которых затрачивается часть механической энергии.

При продвижении вниз по течению от одного сечения к другому удельная энергия в струйке (а значит, и напор) будет уменьшаться. Энергия в первом (вышерасположенном по течению) сечении при движении вязкой жидкости всегда больше, чем во втором (нижерасположенном) сечении на величину потерь удельной энергии между этими сечениями. Потери удельной энергии можно выразить через потери напора на трение h_тр. Как и все остальные члены уравнения, h_тр имеет линейную размерность. Окончательно уравнение Бернулли для струйки вязкой жидкости имеет вид:

.

В этом случае напорная линия (линия удельной энергии) будет снижаться по направлению движения.

4. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости

Запишем уравнение Бернулли для двух точек 1 и 2 вдоль линии тока в невязкой жидкости:

.

Однако при движении вязкой жидкости от точки 1 к точке 2 вдоль линии тока будет происходить процесс диссипации энергии, связанный с преодолением сил трения. Следовательно, записанное равенство следует заменить неравенством, в котором правая часть меньше левой вследствие рассеивания части энергии на пути частицы жидкости:

.

Или можно записать, что ,

где  удельная потеря энергии в вязкой жидкости между двумя точками линии тока.

Таким образом, в вязкой жидкости при установившемся движении вдоль линии тока справедливо следующее соотношение для удельных энергий:

(5.5)

В настоящее время нет эффективных расчетных формул для вычисления величины . Соотношение (5.5) можно распространить на случай потока вязкой жидкости. Для этого будем рассматривать сечения 1 и 2 потока вязкой жидкости с плавно изменяющимся в них течением.

Скорость в живом сечении, как и скорость в живом сечении невелика, и законы распределения скорости в обоих сечениях могут быть различными. Поэтому в рассматриваемых сечениях течение плавно изменяющееся, давление в них распределяется по гидростатическому закону:

.

Вычислим разность потоков энергии, переносимой жидкостью через 1 и 2 сечения.

Для вычисления потока энергии следует удельную энергию в данной точке линии тока, проходящей через сечение, умножить на весовой расход жидкости через площадку , в центре которой проходит соответствующая линия тока. Этот расход равен .

Полный поток энергии получим интегрированием по соответствующим сечениям. Для определения полной потери энергии интегрируем во втором сечении элементарные потери энергии вдоль линии тока на пути жидкости от первого сечения ко второму:

Учитывая, что и вдоль потока соблюдается условие неразрывности или , а также, что в данных сечениях справедливо соотношение и соответствующие суммы можно вынести за знак интегралов, получим:

(5.6)

Интегралы вида , образующие поток кинетической энергии жидкости в данном сечении, выразим через среднюю скорость, введя для этого коэффициент, учитывающий влияние неравномерности распределения скорости по сечению на величину кинетической энергии, вычисленную по средней скорости потока.

, (5.6)

Отсюда видно, что значение зависит от закона распределения скорости по сечению и, если , то .

Интеграл, стоящий в правой части уравнения (5.5), можно представить, пользуясь теоремой о среднем, в следующем виде:

(5.7)

Подставляя в (5.5) соотношения (5.6) и (5.7), учитывая уравнение неразрывности ( ) и сокращая в левой и правой части, получим:

(5.8)

Или

(5.9)

Соотношение (5.9) называется уравнением Бернулли для потока вязкой жидкости. Его применение возможно только для сечений, где движение можно рассматривать как плавно изменяющееся.

М ежду сечениями 1 и 2 поток по своей структуре может быть и не плавно изменяющимся. Это не препятствует применению уравнения (5.9), так как слагаемое учитывает все потери энергии на пути от первого сечения ко второму.

Величина , согласно (5.8), представляет полную удельную потерю энергии, отнесенную к единице веса жидкости, протекающей через второе сечение потока в единицу времени.

Так как все слагаемые формулы (5.8) имеют размерность высот, можно зависимость изменения потерь по длине потока изобразить графически.

Последовательно откладывая на диаграмме от плоскости сравнения данного начального сечения геометрическую высоту , пьезометрическую высоту и высоту приведенного скоростного напора , получим полный гидродинамический напор в начальном сечении, равный сумме .

Для любого другого сечения соответствующая сумма высот будет уменьшаться в связи с появлением потерь напора , которые определяются с помощью диаграммы, которая называется диаграммой Бернулли.