2.2. Загальний член послідовності

Поняття загального члена числової послідовності обов’язково треба ввести. Але у 9-му класі можна не давати строге означення загального члена числової послідовності. Пояснити це краще на конкретних прикладах.

- Розглянемо ще раз послідовність парних чисел: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... . Її перший член дорівнює 2, другий - 4, третій - 6 і т. д. Пишуть: А чому дорівнює п-й член цієї послідовності? Оскільки кожний член послідовності парних чисел вдвоє більший від свого порядкового номера, то п-й член її дорівнює 2п. Пишуть:

п-й член послідовності називають її загальним членом.

Якщо відомий загальний член послідовності, то можна написати скільки завгодно її членів. Для цього досить замість букви, що входить до загального члена, підставляти послідовно натуральні числа - номери членів. Нехай, наприклад, треба знайти кілька перших членів послідовності з загальним членом Надаючи букві п значень 1, 2, 3, 4, 5, ... , дістанемо:

3, 6, 11, 18, 27, ... .

Значно важче розв’язувати обернену задачу: за даними першими членами послідовності написати її загальний член. Тільки в простіших випадках вдається порівняно швидко розв’язати цю задачу. А взагалі знаходження загального члена послідовності пов’язане із значними труднощами. Є й такі послідовності, загальні члени яких ще нікому не відомі. Такою, наприклад, є послідовність простих чисел

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. 29, ... .

Коли відомо лише кілька перших членів послідовності, то її загальний член взагалі не можна визначити однозначно. Наприклад, коли написано:

1, 3, 5, 7, 9, … ,

то це може бути послідовність із загальним членом або і т.п.

Є безліч різних числових послідовностей, п’ять перших членів яких 1, 3, 5, 7, 9. Тому вчитель повинен знати, що щоб задати послідовність, не досить вказати кілька її перших членів.

Але як усе-таки визначити загальний член хоч однієї з послідовностей, що мають задані перші члени? Учням ніяких правил для цього можна не давати, але й важких вправ на визначення загального члена послідовності також їм не треба пропонувати. Складніші вправи треба розглядати як вправи для кмітливих.

Але вчителеві треба знати й загальніший спосіб розв’язування таких вправ. Нехай, наприклад, вимагається визначити загальний член послідовності

6, 9, 14. 21, 30, 41, ... .

Щоб розв’язати задачу, учень змушений добирати різні формули і випробовувати їх. Не виключено, що йому так і не вдасться знайти потрібну формулу. Вчитель може діяти цілеспрямованіше. Тут треба записати послідовність різниць суміжних членів даної послідовності, а потім другу послідовність різниць і т.д., поки не дістанемо послідовність різниць з однаковими членами. Пишемо:

6 9 14 21 30 41

3 5 7 9 11

2 2 2 2

Як бачимо, всі члени другої послідовності різниць однакові. Це свідчить про те, що загальний член послідовності (найпростіший) є многочленом другого степеня [7, 10].

Записуємо цей загальний член з невизначеними коефіцієнтами:

Залишається визначити коефіцієнти а, b, c. Це можна зробити так. Оскільки, підставляючи в цю формулу замість п числа 1, 2, 3, ми повинні дістати відповідно значення 6, 9, 14 (перші члени даної послідовності), то маємо систему

Розв’язавши її, дістанемо Отже, найпростіший загальний член даної послідовності