4. Геометрична прогресія

4.1. Поняття геометричної прогресії

Ввести поняття геометричної прогресії в 9-му класі можна так:

- Досі ми розглядали арифметичну прогресію, тобто числову послідовність, в якої різниця між кожним членом, крім першого, і попереднім однакова. А тепер розглянемо таку числову послідовність, в якої частка від ділення кожного члена, крім першого, на попередній однакова. Такі послі­довності називають геометричними прогресіями.

Після цього можна навести приклади геометричних прогресій:

3, 6, 12, 24, 48, 96, … ;

1, -3, 9, -27, 81, -243, … ;

7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, … ,

ввести поняття знаменника прогресії і т. д. Означення можна дати аналогічне означенню арифметичної прогресії: геометричною прогресією називається числова послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме число. Це стале для даної послідовності число q називають знаменником геометричної прогресії. Або таке означення: геометричною прогресією називається числова послідовність, яку можна задати рекурентною формулою , де q - стале число.

Треба добитися, щоб учні вільно записували будь-яку геометричну прогресію у вигляді

Загальний член цієї прогресії можна дістати, міркуючи за індукцією або розписавши рекурентну формулу для п = 2, 3, ..., п і помноживши знайдені формули:

× . . . . . . . . . . . .

____________

Варто підкреслити, що геометричну прогресію, як і кожну числову послідовність, можна задати не лише рекурентною формулою і загальним членом, а й таблично і графічно.

Далі можна пояснити учням про зростаючі та спадні геометричні прогресії:

- Геометрична прогресія із знаменником - зростаюча, із знаменником - спадна, якщо , і навпаки, якщо .

Іноді розглядають і прогресії із знаменником , їх називають стаціонарними послідовностями.

Знаменник геометричної прогресії не може дорівнювати нулю. Наприклад, послідовність 3, 0, 0, 0, ... не є геометричною прогресією.

4.2. Сума перших п членів геометричної прогресії

Формулу суми перших п членів геометричної прогресії

майже в усіх посібниках доведено однаково.

- Запишемо п перших членів довільної геометричної прогресії:

.

Нехай

Помножимо обидві частини цієї рівності на q:

Віднімемо почленно від цієї рівності попередню. При цьому їх однакові доданки взаємно знищаться. В результаті матимемо:

або

звідки

.

Зауважимо, що при цією формулою користуватися не можна (ділити на 0 не можна). У цьому випадку кожен член геометричної прогресії дорівнює , тому .

У зв’язку з формулою суми перших п членів геометричної прогресії бажано було б розглянути і тотожність

яка є узагальненням різниці квадратів і різниці кубів і яку досить часто використовують у різних розділах математики.

5. Розв’язування вправ і задач на прогресії

Під час вивчення прогресій учням бажано пропонувати розв’язувати багато задач і вправ. Бажано підбирати до уроку завдання різної складності залежно від рівня підготовленості учнів. Для прикладу розв’яжемо наступні задачі.

1. В якої арифметичної прогресії десятий і двадцятий члени дорівнюють відповідно 20 і 50?

Розв’язання. Позначимо перший член і різницю шуканої арифметичної прогресії буквами і d. Тоді

Розв’яжемо систему цих двох рівнянь. Віднявши від другого рівняння перше, дістанемо , звідки d = 3.

Тепер підставимо це значення в перше рівняння: звідки .

Отже, , d = 3.

Відповідь. Умову задачі задовольняє

÷ -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, 14, … .

2. Сума трьох чисел, які утворюють геометричну прогресію, дорівнює 21. Якщо до першого з них додати 5, до другого 4, а третє залишити без змін, то утворені числа становитимуть арифметичну прогресію. Знайти ці числа.

Розв’язання. Нехай дано такі числа: и, иq і иq². Якщо до першого додати 5, до другого 4, а трете залишити без змін, то дістанемо:

и + 5, иq + 4, uq².

Ці числа становлять арифметичну прогресію. Це означає, що різниці між третім і другим, а також між другим і першим рівні:

звідки дістаємо таке рівняння:

.

Друге рівняння дістанемо, записавши, що сума даних чисел дорівнює 21, тобто

Як бачимо, задача зводиться до розв’язування системи

Поділивши друге рівняння на перше, дістанемо

звідки

Тоді або

Відповідь. Шукані числа такі: 3, 6 і 12, або 12, 6 і 3.