Задачи к части 2

2.1 Ассоциативна ли операция * на множестве M, если

1. M=N, x*y=x^y,

2. M=N, x*y=(x,y) – наименьший общий делитель

3. M=N, x*y=2xy,

4. M=Z, x*y=x-y,

5. M=Z, x*y=x²+y²,

6. M=R, x*y=sinx·siny,

2.2 Пусть S- полугруппа матриц , где x, y R с операцией умножения. Найти в этой полугруппе левые и правые нейтральные элементы, элементы, обратимые слева и справа относительно этих нейтральных.

2.3 Какие из указанных числовых множеств с операциями являются группами:

1) (А, +), где А — одно из множеств N, Z, Q, М, С;

2) (А, •), где А — одно из множеств N, Z, Q, R, С;

3) (А₀, •), где А — одно из множеств N, Z, Q, R, С, а A₀ = А \ {0};

4 (nZ, +), где n — натуральное число;

5) ({-1, 1},·);

6) множество степеней данного вещественного числа а ≠ 0 с целыми показателями относительно умножения;

7) множество всех комплексных корней фиксированной степени п из 1 относительно умножения;

8) множество комплексных корней всех степеней из 1 относительно умножения;

9) множество комплексных чисел с фиксированным модулем r относительно умножения;

10) множество ненулевых комплексных чисел с модулем, не превосходящим фиксированное число r, относительно умножения;

11) множество ненулевых комплексных чисел, расположенных на лучах, выходящих из начала координат и образующих с лучом Ох углы φ₁, φ₂, , φ_n относительно умножения;

2.4 Какие из указанных множеств квадратных вещественных матриц фиксированного порядка образуют группу:

1) множество симметрических матриц относительно сложения;

2) множество симметрических матриц относительно умножения;

3) множество невырожденных матриц относительно сложения;

4) множество невырожденных матриц относительно умножения;

5) множество матриц с фиксированным определителем d относительно умножения;

6) множество диагональных матриц относительно сложения;

7) множество диагональных матриц относительно умножения;

8) множество диагональных матриц, все элементы диагоналей которых отличны от 0, относительно умножения;

9) множество верхних треугольных матриц относительно умножения.

2.5 Перемножить перестановки в указанном и обратном порядках

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

2.6 Составить таблицу умножения перестановок порядка 3, порядка 4.

2.7 Записать в виде произведения независимых циклов перестановки

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

2.8 Какие из отображений групп являются гомоморфизмами

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) .

2.9 Найти порядок элемента группы

1) , 2) ,

3) , 4) .

2.10 Найти смежные классы

1) аддитивной группы Z по подгруппе nZ (множество чисел, кратных n), n – натуральное число,

2) аддитивной группы R по подгруппе Z,

3) аддитивной группы C по подгруппе R,

4) мультипликативной группы C по подгруппе U чисел с модулем 1,

5) мультипликативной группы C по подгруппе R,

6) мультипликативной группы C по подгруппе положительных вещественных чисел,

7) аддитивной группы всех многочленов степени не выше 5 с комплексными коэффициентами по подгруппе многочленов степени не выше 3.

2.11 Какие из следующих числовых множеств образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения:

1) множество Z;

2) множество чисел кратных n, nZ (n> 1);

3) множество неотрицательных целых чисел;

4) множество Q;

5) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели делят фиксированное число п N;

6) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели не делятся на фиксированное простое число р,

7) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели являются степенями фиксированного простого числа р;

8) множество вещественных чисел вида x + y , где x,y Q;

9) множество вещественных чисел вида х + у , где х,у Q;

10) множество вещественных чисел вида х + y + z , где х,у,z Q;

11) множество комплексных чисел вида х + yi, где х,у Z;

12) множество комплексных чисел вида х + yi, где х, у Q;

2.12. Какие из указанных множеств матриц образуют кольцо относительно матричного сложения и умножения:

1) множество вещественных симметрических матриц порядка n;

2) множество верхних треугольных матриц порядка п≥ 2;

3) множество матриц порядка п ≥ 2, у которых две последние строки нулевые;

4) множество матриц вида , где D – фиксированное целое число, х,у Z;

2.13 Какие из следующих множеств функций образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения функций:

1) множество функций вещественного переменного, непрерывных на отрезке [а, b];

2) множество функций, имеющих вторую производную на интервале (а, b);

3) множество целых рациональных функций вещественного переменного;

4) множество рациональных функций вещественного переменного;

5) множество функций вещественного переменного, обращающихся в 0 на некотором подмножестве D ;

6) множество тригонометрических многочленов

с вещественными коэффициентами, где n — произвольное натуральное число;

7) все степенные ряды от одной или нескольких переменных;

8) все лорановские степенные ряды от одной переменной ?

2.14 Какие из колец в задачах 11, 12, 13 являются полями?

2.15 Какие из следующих множеств матриц образуют поле относительно обычных матричных операций

1) , где n – фиксированное целое число;

2) , где n – фиксированное целое число;

3) , где n – фиксированное целое число;