Задачи к части 3
3.1 Выполнить деление с остатком
1)
на
,
2)
на
,
3)
на
,
4)
на
,
5)
на
,
6)
на
.
3.2 Найти наибольший общий делитель многочленов
1)
и
,
2)
и
,
3)
и
,
4)
и
,
5)
и
,
6)
и
,
7)
и
,
8)
и
,
9)
и
,
10)
и
,
11) и ,
12)
и
,
13)
и
.
3.3 Пользуясь
алгоритмом Евклида, подобрать такие
многочлены u(x),
v(x),
что
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
.
3.4 Методом неопределенных коэффициентов подобрать такие многочлены u(x), v(x), что
1)
,
2)
,
3)
.
3.5 Разделить
многочлен
с остатком на
и вычислить значение
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
8)
,
9)
3.6 Пользуясь схемой Горнера, вычислить
1)
,
2)
.
3.7 Найти
значения полинома
и его производных при
1)
,
2)
.
3.8 Чему равен показатель кратности корня
1)
2 для полинома
,
2)
-2 для полинома
,
3)
-1 для полинома
,
4)
3 для полинома
.
3.9 Разложить
многочлен
по степеням
и найти значения его производных в точке
1) ,
2)
,
3)
.
3.10 Разложить на линейные множители над полем комплексных чисел многочлены
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
.
3.11 Построить полиномы наименьшей степени с комплексными коэффициентами по данным корням
1) двойной корень 1, простые 2, 3 и 1+i;
2) тройной корень -1, простые 3 и 4;
3) двойной корень i, простой -1-i.
3.12 Разложить на неприводимые множители над полем вещественных чисел многочлены
1) ,
2) ,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
.
3.13 Найти все рациональные корни многочленов
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
8)
,
9)
,
10)
.
3.14 Пользуясь признаком Эйзенштейна, доказать неприводимость над полем рациональных чисел многочленов
1)
,
2)
,
3)
.
3.15 Представить рациональную дробь в виде суммы простейших дробей над полем комплексных чисел
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
8)
.
3.16 Разложить на простейшие дроби над полем вещественных чисел
1)
,
2)
,
3)
.
3.17 Решить сравнения
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
8)
,
9)
,
10)
,
11)
,
12)
,
13)
Литература
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Москва, Наука, 1968.
Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Т 1, 2. Москва, Просвещение, 1978.
Окунев Л.Я. Высшая алгебра. Москва, Просвещение, 1966.
Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. Линейная алгебра, многочлены, общая алгебра. Москва, Наука, 1965.
Виноградов И.М. Основы теории чисел. Москва, Наука, 1972.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Т. 1, 2. Москва, Физматлит, 2001.
Сборник задач по алгебре под ред. Кострикина А.И. Москва, Физматлит, 2001.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. Москва, Наука, 1977.