- •Часть 1.
- •Оглавление
- •1. Модели дискретных структур. Комбинационные схемы
- •1.1. Введение
- •1.2. Функции алгебры логики
- •Коммутативность
- •Ассоциативность
- •Дистрибутивность
- •1.3. Булева алгебра. Функциональная полнота
- •Свойства алгебры Жегалкина
- •1.4. Минимизация функции алгебры логики
- •1.5. Функции k-значной логики
- •1.6. Основные понятия трехзначной логики
- •1.7. Представление k-значных функций в виде нормальных форм
- •1.8. Двоичное кодирование переменных и функций трехзначной логики
- •1.9. Программная реализация логических функций и автоматов
- •2. Формальные языки и грамматики
- •2.1. Введение в теорию формальных языков и грамматик
- •2.2. Выводы цепочек формального языка. Деревья ксг
- •2.3. Основные понятия теории формальных языков и грамматик
- •2.4. Приведение грамматик
- •2.4. Операции над языками
- •2.5. Право-линейная и автоматная грамматики
- •3. Теория автоматов
- •3.1. Введение
- •3.2. Способы представления конечных автоматов
- •3.3. Минимизация числа состояний автомата
- •3.4. Использование сети Петри при переходе от грамматики к автомату
- •3.5. Сети Петри. Маркировка
- •3.6. Классификация сетей Петри
- •Статические ограничения
- •3.7. Синхронные и асинхронные автоматы
- •3.8. Модели автоматов Мили и Мура
- •3.9. Кодирование автомата
- •3.10. Элементная база синтеза комбинационных схем
- •3.11. Структурный синтез автомата
- •4. Отдельные вопросы теории вычислительных процессов
- •4.1. Автоматы с магазинной памятью
- •4.2. Комбинационные схемы обнаружения ошибок
- •4.3. Пространство сообщений. Коды обнаружения и исправления ошибок
- •Контрольные вопросы
Коммутативность
x1 & x2 = x2 & x1.
x1 v x2 = x2 v x1.
Ассоциативность
x1 v (x2 v x3) = (x1 v x2) v x3.
x1 & (x2 & x3) = (x1 & x2) & x3.
Дистрибутивность
x1 & (x2 v x3) = (x1 & x2) v ( x1 & x3 ).
x1 v (x2 & x3) = (x1 v x2) & ( x1 v x3 ).
Отметим также важные соотношения:
X v X = X, X & X = X, X v 1 = 1, X & 1 = X,
X v 0 = X, X & 0 = 0, X v X = 1, X & X = 0.
Положим x = { X , если = 1; X , если = 0 } .
Утверждение. Любая функция алгебры логики кроме 0 может быть представлена в форме
f(x 1...xn) = x1 & x2 ... & xn (1.1)
При этом дизъюнкция в правой части берется только по тем наборам аргументов, на которых функция, заданная таблично, обращается в 1.
Определение. Представление функции алгебры логики в виде (1.1) называется ДСНФ - дизъюнктивной совершенной нормальной формой.
Для построения ДСНФ необходимо выполнить следующие шаги:
выбрать в таблице истинности заданной функции все наборы аргументов, на которых функция равна 1;
выписать соответствующие этим наборам конъюнкции, при этом, если аргумент xi входит в данный набор как 1, то он записывается без изменений, если же, как 0 , то берется ;
все полученные конъюнкции объединяются под знаком дизъюнкции.
1.3. Булева алгебра. Функциональная полнота
Определение. Алгеброй над множеством логических функций с двумя бинарными операциями, обозначаемыми как логическое умножение ‘ & ‘ и логическое сложение ’v ’ и одной унарной операцией (отрицанием)
' ‘ называется булевой алгеброй.
Будем обозначать ее символом B. Рассмотрим свойства булевой алгебры.
Замкнутость
для A и B B
A v B B
A & B B
Коммутативность
A & B = B & A
A v B = B v A
3. Ассоциативность
A v ( B v C) = (A v B) v C
Дистрибутивность
A & ( B v C) = (A & B) v (A & C)
A v ( B & C) = (A v B) & (A v C)
Идемпотентность
A v A = A & A = A.
Булева алгебра содержит элементы 0,1 такие, что для всякого
элемента A B справедливо:
A v 0 = A, A v 1 = 1
A & 0 = 0, A & 1 = A.
7. Для каждого элемента A B существует элемент , такой что
A v =1
A & =0.
8. Закон поглощения
A & (A v B) = A v A & B = A.
9. Закон Де Моргана
( A v B ) = A & B
( A & B ) = A v B.
Определение. Система функций f1, f2... fn B называется полной, если любая функция из B представима в виде суперпозиции функций f1, f2... fn.
Определение. Система функций f1, f2... fn B , являющаяся полной, называется базисом.
Определение. Минимальным базисом называется базис, для которого удаление хотя бы одной из функций fi превращает систему функций в неполную.
Можно показать, что системы функций { &, } и { , } - полные. Система функций { &, , } является полной, но избыточной, так как она сохраняет свойства полноты и при удалении из нее & или . За не избыточность системы функций { &, } и { , } приходится платить избыточностью формул (повышением сложности функций).
Определение. Алгебра над множеством логических функций с двумя бинарными операциями & и называется алгеброй Жегалкина.