Формула полной вероятности и формула Байеса

Предположим, что событие А может произойти вместе с одним из событий Н₁, Н₂, …, Н_n, образующих полную группу несовместных событий, и называемых гипотезами. Тогда вероятность события А можно определить по формуле полной вероятности:

.

где Р (H_i) – вероятность гипотезы H_i ;

Р (A/H_i) – условная вероятность события A при этой гипотезе.

Т.о., формула полной вероятности учитывает как вклад каждой гипотезы, так и вероятность наступления события А при осуществлении какой-либо гипотезы.

Если до опыта вероятности гипотез были Р (H_i), а в результате опыта появилось событие А, то с учетом этого события «новые», т. е. условные, вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:

.

Пример:

Прибор может работать в двух режимах: 1) нормальном и 2) ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора; ненормальный — в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1; в ненормальном — 0,7. Найти полную вероятность р выхода прибора из строя за время t.

Решение. р=0,8*0,1 +0,2*0,7 = 0,22.■

Повторные независимые испытания

Рассмотрим эксперимент, который является последовательностью п испытаний, проводимых в одних и тех же условиях. Этот эксперимент называется схемой Бернулли, если выполняется следующее:

• Число п испытаний конечно.

• В каждом испытании возможно только два исхода – событие А наступает, или событие А не наступает (наступает противоположное ему событие А .

• Вероятность наступления события А в каждом испытании одинакова.

• Испытания независимы, то есть исход каждого отдельного испытания не зависит от того, что происходило в предыдущих испытаниях.

Введем следующие обозначения:

р – вероятность наступления события А в каждом испытании ( );

q - это вероятность наступления противоположного события q = 1 – р;

п - число испытаний;

т - число испытаний, в которых наступает событие А ;

– вероятность наступления события А ровно т раз в серии из п испытаний, проводимых по схеме Бернулли.

Эта вероятность может быть вычислена по формуле Бернулли:

(4.4)

Частные случаи в схеме Бернулли:

1. Событие А наступает в каждом испытании: .

2. Событие А не наступает ни в одном испытании: .

3. Событие А наступает хотя бы в одном испытании: _.

4. Событие А наступает не менее т₁, и не более т₂ раз в серии из п независимых испытаний:

Пример:

Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превысит установленной нормы, равна р=0,75. Найти вероятность тою, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии на продолжении каждых из 6 суток постоянна и равна р=0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q=1–p =1–0,75=0,25.

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

.■

При больших n и m вместо формулы Бернулли удобно пользоваться приближенными формулами. Согласно локальной теореме Лапласа:

, где .

По интегральной теореме Лапласа вероятность того, что событие А наступит не меньше m₁ и не больше m₂ раз, равна:

P_n(m₁ ; m₂) = Ф(х₂) – Ф(х₁),

где

.

Значения функции Лапласа Ф(х) находятся по таблице 2 Приложения.

При малых значениях р или q и больших n удобно пользоваться приближенной формулой Пуассона:

, где λ = np. (4.5)

Пример:

Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию n=400; m=80, р=0,2; q= =0,8. Воспользуемся формулой Лапласа:

Вычислим определяемое данными задачи значение x:

По таблице (функции Лапласа) находим φ(0)=0,3989. Искомая вероятность:

.■