1.4 Элементы математической статистики

Множество всех возможных значений случайной величины Х называется генеральной совокупностью Х.

Выборкой называется подмножество из генеральной совокупности, статистические характеристики (среднее, дисперсия и т.д.) которого близки к статистическим характеристикам генеральной совокупности.

Вариационным рядом выборки {х₁, х₂, …, х_n} значений случайной величины Х называется последовательность пар чисел (х_i, n_i) , составленная при условии, что х_i+1 > x_i, n_i- число наблюдений величины х_i в выборке, m – число различных значений x_i в выборке.

Величины х_i называются вариантами вариационного ряда, величина – объемом выборки; n_i – частотой варианты х_i, а величина – относительной частотой или частостью.

При большом значении n для упрощения статистической обработки выборки вариационный ряд разбивается на интервалы одинаковой длины, в каждый из которых попадают варианты с близкими значениями. Длина интервала h_x находится по формуле Стерджеса:

, (4.9)

где х_min и х_max – минимальное и максимальное значения вариант в выборке.

За начало первого интервала принимается значение х_нач.= х_min– h_x/2. Конец последнего интервала х_кон. должен удовлетворять условию х_кон. – h_x ≤ х_max ≤ х_кон.. Полученное представление выборки называется интервальным рядом распределения Х.

При интервальном распределении, помимо h_x, вводятся также следующие характеристики: – середина i-го интервала; – частота для i-го интервала, равная числу вариант, попавших в i-й интервал; - относительная частота для i-го интервала.

Для графического представления интервального ряда используется гистограмма, представляющая собой совокупность прямоугольников ( - число интервалов) на плоскости (х, ) (рис. 1). Основание каждого прямоугольника равно длине интервала h_x, а высота i-го прямоугольника равна относительной частоте .

Основываясь на гистограмме, можно построить качественный вид графика эмпирической функции плотности вероятностей величины Х, плавно обводя вершины прямоугольников (кривая на Рис. 4.1).

Рис.4.1

Модой М₀ интервального распределения случайной величины называется середина интервала с максимальной относительной частотой (на Рис.4.1 это интервал, соответствующий заштрихованному прямоугольнику).

Медианой М_е выборки называется значение срединного элемента вариационного ряда. Для интервального распределения при четном числе интервалов медианой является граница двух срединных интервалов, а при нечетном числе интервалов – середина срединного интервала (на Рис.4.1 медианой является середина заштрихованного интервала).

Выборка величины Х может быть охарактеризована статистическим параметрами: средним, дисперсией, средним квадратическим отклонением, которые вычисляются соответственно по формулам:

,

.

Аналогичные величины для интервального распределения случайной величины Х вычисляются по формулам:

,

,

.

Эмпирическая функция распределения

Эмпирической функцией распределения называется функция , вычисляемая по выборке х=(х₁,…,x_n) следующим образом:

,

где n_x - число выборочных значений, меньших x; n - объем выборки.

График эмпирической функции F_n(x) представляет собой ломаную линию. В промежутках между соседними членами вариационного ряда F_n(x) сохраняет постоянное значение. При переходе через точки оси x, равные членам выборки, F_n(x) претерпевает разрыв, скачком возрастая на величину 1/n, а при совпадении l наблюдений – на l / n.

Пример:

Построить вариационный ряд и график эмпирической функции распределения по результатам наблюдений, таблица 4.1.

Таблица 4.1

i	1	2	3	4	5	6
xi	51	43	56	60	64	56

Решение. Построим вариационный ряд, упорядочив по возрастанию значения варианты, таблица 4.2.

Таблица 4.2

i	1	2	3	4	5	6
Xi	43	51	56	56	60	64

Искомая эмпирическая функция (Рис. 4.2):

■

Рис. 4.2