- •Содержание
- •Введение
- •Задача 1. Определение напряжений на координатных площадках Записать матрицу тензора напряжений. Вычислить касательные напряжения на координатных площадках.
- •Задача 2. Графическое изображение компонент тензора напряжений Показать на рисунке напряжения, действующие на координатных площадках х, у, z, с учетом их знака и величины.
- •Задача 3. Расчет инвариантов тензора напряжений Вычислить инварианты тензора напряжений.
- •Задача 4. Определение направляющих косинусов новых осей в старой системе координат Задать три угла Эйлера. Вычислить направляющие косинусы новых осей в старой системе координат.
- •Задача 8. Построение эллипсоида напряжений Построить эллипсоид напряжений.
- •Задача 12. Определение положения главных осей тензора напряжений
- •Задача 13. Построение главных осей тензора напряжений
- •Задача 14. Нахождение острых углов между осями х, у, z и главным осями
- •Задача 16. Построение диаграммы Мора. Графическое решение задач
- •Список используемой литературы:
Задача 3. Расчет инвариантов тензора напряжений Вычислить инварианты тензора напряжений.
Инвариант - величина, которая не зависит от выбора системы координат. Т. е. инвариант не меняется при повороте осей какой-либо системы координат.
Первый, или линейный инвариант, равен следу матрицы тензора напряжений (т. е. сумме его компонент, расположенных на главной диагонали):
. (3)
Второй, или квадратичный инвариант, равен сумме миноров определителя матрицы тензора напряжении при разложении его по главной диагонали:
(4)
Третий, или кубический инвариант, равен определителю матрицы тензора напряжений:
(5)
При повороте осей координат мы имеем новые координатные площадки, на которых действуют какие-то другие напряжения . Но составленные из них инварианты не меняются. Тензоры напряжений, в двух выделенных в очаге деформации бесконечно малых частицах равны, если равны между собой их компоненты.
Задача 4. Определение направляющих косинусов новых осей в старой системе координат Задать три угла Эйлера. Вычислить направляющие косинусы новых осей в старой системе координат.
Старые оси координат обозначены х, у, z . Новые оси обозначим х', у', z' . Положение новых осей относительно старых однозначно определяется тремя углами Эйлера (рисунок 2).
Угол нутации - между положительными направлениями осей Oz' и Oz ( > 0), =123°.
Угол процессии - между осью Ох и линией пересечения ОА плоскостей хОу и х'Оу'. На линии ОА выбрано положительное направление так, что ОА , Oz , Oz' образуют правую тройку векторов. Угол отсчитывается в направлении от Ох к Оу ( ), =248°.
Угол чистого вращения - между Ох' и ОА ; угол отсчитывается в направлении от Ох' и Оу' ( ), =359°.
Обозначим:
(6)
Обозначим далее направляющие косинусы новых осей в старой системе координат так:
l'1=cos(x',x); m'1=cos(x',y); n'1=cos(x',z);
l'2=cos(y',x); m'2=cos(y',y); n'2=cos(y',z); (7)
l'3=cos(z',x); m'3=cos(z',y); n'3=cos(z',z).
Тогда эти направляющие косинусы равны:
l'1= c2c3-c1s2s3; m'1= s2c3-c1c2s3; n'1=s1s3;
l'2= -c2s3-c1s2c3; m'2= -s2s3-c1c2c3; n'2=s1c3; (8)
l'3=s1s2; m'3=-s1c2; n'3=c1.
Направляющие косинусы новых осей в старой системе координат (ось z' совпадает с осью z, а оси х', у' повернуты относительно старых осей х, у на угол ):
l'1=cos( ); m'1=cos( ); n'1=cos( );
l'2=cos( ); m'2=cos( ); n'2=cos( );
l'3=cos( ); m'3=cos( ); n'3=1.
Задача 5. Преобразование компонент тензора напряжений к новой системе координат
Найти компоненты тензора напряжений в новой системе координат. Убедиться в правильности расчетов, вычислив инварианты тензора напряжений через его компоненты в новой системе координат.
Компоненты тензора напряжений в старой системе координат х, у, z обозначены ( и так далее).
Компоненты тензора напряжения в новой системе координат х', у', z' обозначим ( и так далее). Они выражаются через компоненты тензора напряжений в старой системе координат так:
, (9)
где по индексам р и q производится суммирование от 1 до 3.
В подробной записи имеем девять формул, так как свободных индексов два — i и j.
Элементы матрицы преобразования В=(bij) равны частным производным новых координат по старым:
. (10)
При жестком повороте осей координат новые координаты выражаются через старые так:
x'=l'1x+m'1y+n'1z;
y'=l'2x+m'2y+n'2z; (11)
z'=l'3x+m'3y+n'3z.
Тогда элементы матрицы преобразования В равны:
; ; ;
; ; ;
; ; .
Итак, элементы матрицы преобразования В равны направляющим косинусам новых осей х', у', z' относительно старых осей х, у, z:
; (12)
.
Тогда, например, по формуле (9) найдем:
=
(13)
.
=
.
Формулу (7) можно записать в матричной, безиндексной форме:
, (14)
где - транспонированная матрица. Матрицу получим, поменяв местами строки и столбцы в матрице В.
.
Инварианты тензора напряжений I'1, I'2, I'3 через его компоненты в новой системе координат вычислим по формулам (3) – (5) для I'1, I'2, I'3, заменив в них на .
I'1=2, I'2=-168, I'3=198.
Вычисления по формулам (9) выполнены верно, т.к I1=I'1, I2=I'2, I3=I'3.
Задача 6. Вычисление главных нормальных и главных касательных напряжений
Вычислить главные нормальные и главные касательные напряжения. Убедиться в правильности расчетов, вычислив инварианты тензора напряжений через главные нормальные напряжения.
Напряжения, действующие на три взаимно перпендикулярные главные площадки, перпендикулярные главным осям тензора напряжений, называют главными нормальными напряжениями.
В точке М всегда можно выбрать такую прямоугольную декартову систем координат , , , в которой уравнение тензорной поверхности Tijdxidxj=Tijdx'idx'j =С примет канонический вид . Такая прямоугольная декартова система координат называется главной системой координат тензора Т в точке М. Оси , , называются главными осями тензора. Единая для всего деформируемого тела главная система координат может быть введена, если тело однородное, и на всех его точках действуют одинаковые напряжения.
.
Главные нормальные напряжения , , равны корням кубического уравнения
. (15)
Кубическое уравнение решим методом тригонометрических подстановок. В начале приведем его к каноническому виду, когда коэффициент при квадрате неизвестного равен нулю. С этой целью заменим:
, (16)
где t - новая переменная.
Получим:
. (17)
Раскроем скобки и сформируем коэффициенты при t3 (он равен единице), при t2 (он равен нулю), при t (обозначим его Зр), а также свободный член (обозначим его 2q). Итак, получим кубическое уравнение:
t3+3pt+2q=0. (18)
р = -56,4444.
q = -155,2963.
Вычислим . Знак r должен совпадать со знаком q:
r = 424,0644.
Вычислим далее вспомогательную величину:
cos = q / r3. (19)
=1,1959.
Тогда корни кубического уравнения равны:
(20)
Так как , то , а . Здесь — максимальный, а — минимальный корни кубического уравнения.
;
;
.
Главные касательные напряжения равны полуразностям главных нормальных напряжений, и действуют на площадках, параллельных главным осям и равнонаклоненных к ним:
(21)
где — максимальное главное касательное напряжение.
Инварианты тензора напряжений через главные нормальные напряжения вычислим по формулам:
(22)
Если они совпадают с инвариантами, найденными в задаче 3 по формулам (3)-(5), главные нормальные напряжения вычислены правильно.
Задача 7. Построение главного куба напряжений
Записать матрицу тензора напряжений в главных осях. Показать на рисунке главные нормальные напряжения с учетом их знака и величины по граням главного куба вокруг рассматриваемой точки.
Матрица тензора напряжений в главных осях имеет диагональный вид:
. (23)
Элементарный объем, представленный в форме куба, ограниченного главными площадками, называется главным кубом.
Вокруг рассматриваемой точки деформируемого тела выбираем элементарный объем в виде куба, ребра которого параллельны главным осям тензора напряжений , , . Это главный куб (рисунок 3). На его гранях и показываем главные нормальные напряжения. Положительные напряжения являются растягивающими, а отрицательные - сжимающими. На рисунке 3 напряжения и отрицательны, а — положительно.
Рисунок 14 - Схемы главных нормальных напряжений
Схемы Л1 и Л2 соответствуют линейному напряженному состоянию; П1 П2, П3 плоскому; О1 — О4 — объемному.