Задача 12. Определение положения главных осей тензора напряжений

Найти направляющие косинусы главных осей тензора напряжений в старой системе координат. Найти углы между главными осями и осями х, у, z.

Аналитически углы между главными осями тензора напряжений и осями X, Y, Z можно найти по формулам:

Направляющие косинусы главных осей тензора напряжений , , в старой системе координат х, у, z обозначим так:

(31)

Эти направляющие косинусы найдем, решая три системы уравнений. Положение главной оси будем характеризовать направленным по ней единичным вектором , компоненты которого в произвольной системе координат

найдем, решая систему уравнений . Например, направляющие косинусы l₁, m₁, n₁ главной оси найдем, решая систему уравнений:

(32)

при условии

. (33)

Формулы Крамера для решения системы линейных алгебраических уравнений:

ит.д.,

где - определитель матрицы,

- определитель, полученный из заменой i-гo столбца, столбцом свободных членов.

Система уравнений (32) однородная (справа стоят нули) поэтому решить её по формулам Крамера нельзя, поскольку в числителях будут нули. Поэтому определитель

системы (32) равен нулю, тогда имеем неопределенность .

Последовательность решения системы уравнений следующая. Из первых двух уравнений (32) выражаем l₁ и m₁ через n₁ , например, по формулам Крамера:

. (34)

Полученные выражения l₁ и m₁ через n₁ подставляем в выражение (33). Получаем квадратное уравнение относительно n₁. Решая его, находим n₁. При этом принимаем n₁>0. Затем находим l₁ и m₁. Случай, если принять n₁ < 0, рассмотрен в задаче 13.

Аналогично находим направляющие косинусы 1₂, m₂, m₂ главной оси .

Направляющие косинусы l₁, m₁, n₁ главной оси находим из условия, что направляющий вектор главной оси есть векторное произведение направляющих векторов и главных осей и , т. е.

, (35)

так как главные оси , , образуют правую прямоугольную декартову систему координат.

Запишем формулу (35) через направляющие косинусы главных осей:

. (36)

Разложением определителя по первой строке, получим:

откуда и найдем, что

. (37)

Уравнения направляющих векторов главных осей тензора напряжений в системе координат х, y, z:

Результаты расчета направляющих косинусов (31) записываем в столбце 1 табл. А.1

.

Углы между главными осями , , и осями х, у, z обозначим и вычислим так:

(38)

При этом нужно иметь в виду, что arccos(-х) = - arccos x . Найденные значения углов между главными осями и осями х, у, z записываем в столбец 2 табл. А.1.

.

Задача 13. Построение главных осей тензора напряжений

Показать на рисунке взаимное расположение главных осей , , и осей х, у, z.

Выбираем аксонометрическую проекцию и проводим оси х, у, z (рисунок 8). Выбираем масштаб. Главную ось проводим через точку М (0, 0, 0) и через точку А с координатами (l₁, m₁, n₁). Главную ось проводим через точку с координатами (l₂, m₂, n₂). Главную ось проводим через точку М и через точку с координатами (l₃, m₃, n₃).

Замечания:

1) Если при решении задачи 12 принять n₁ < 0 и n₂ < 0, то оси и будут иметь противоположные направления. При этом ось сохранит прежнее направление. Действительно, если в формулах (37) поменять знаки всех величин, стоящих в определителях, получим те же значения и те же знаки направляющих косинусов l₃, m₃, n₃;

2) Если принять n₁ > 0, а n₂ < 0, то ось сохранит свое направление, а оси и заменят свои направления на противоположные;

3) Если принять n₁ < 0, а n₂ > 0, то ось сохранит свое направление, а оси и изменят свои направления на противоположные.