- •Прямое и обратное преобразование Лапласа. Изображение производных от переменных состояния при нулевых и ненулевых начальных условиях.
- •Прямое и обратное преобразование Фурье. Связь изображений по Лапласу с изображениями по Фурье.
- •Вывод сду, описывающих динамику нагруженного lcr-фвч 2 порядка.
- •Вывод выражений для ачх, фчх и лачх нагруженного lcr-фнч 2 порядка.
- •Вывод выражений для ачх, фчх и лачх нагруженного lcr-фвч 2 порядка.
- •12. Блок-схема алгоритма метода дихотомии для решения нелинейных уравнений.
- •13. Блок-схема алгоритма метода касательных (метода Ньютона) для решения нелинейных уравнений
- •14. Блок-схема алгоритма метода секущих для решения нелинейных уравнений
- •15. Интерполяция функции каноническими полиномами
- •16. Интерполяция функции полиномами Лагранжа
- •17. Интерполяция функции полиномами Ньютона
- •18. Интерполяция функции кубическими сплайнами
- •19. Метод Эйлера для решения дифференциальных уравнений.
- •21. Метод Рунге-Кутта второго порядка с полным шагом для решения дифференциальных уравнений.
- •22. Метод Рунге-Кутта второго порядка с половинным шагом для решения дифференциальных уравнений.
- •23. Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка для решения дифференциальных уравнений.
- •24. Дискретное преобразование Фурье.
Вывод сду, описывающих динамику нагруженного lcr-фвч 2 порядка.
Рисунок 1 – Схема LCR-фильтра верхних частот
Так как в данной задаче требуется получить и проанализировать частотные характеристики, то можно осуществить переход к комплексной схеме замещения (рис. 2).
Рисунок 2 – Комплексная схема замещения LCR-фильтра верхних частот
Эквивалентируем полученную комплексную схему замещения. Для этого используются следующие выражения:
1 . емкостное сопротивление 2. индуктивное сопротивление
, где s – оператор Лапласа.
Согласно данным выражениям исследуемая комплексная схема замещения может быть упрощена следующим образом:
Рисунок 3 – Комплексная схема замещения LCR-фильтра верхних частот после упрощения
В данной схеме эквивалентное сопротивление определяется следующим образом:
;
Система алгебраических уравнений в изображениях, описывающих состояние ФВЧ:
Частотные характеристики получаются из передаточной функции, которая связывает координаты выхода и входа.
;
Произведем алгебраические преобразования:
;
Следовательно передаточная функция имеет вид:
Вывод выражений для ачх, фчх и лачх нагруженного lcr-фнч 2 порядка.
Пусть w – частота входного сигнала (напряжения) ФНЧ, а j – мнимая единица. Заменим оператор Лапласа s на комплексную переменную jw:
.
Преобразуем знаменатель предыдущего выражения, выделив действительную и мнимую
части:
.
Избавимся от мнимой единицы в знаменателе и запишем выражение для комплексной частотной характеристики ФНЧ:
.
Запишем выражение для амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) ФНЧ:
;
– фазочастотная характеристика (ФЧХ) ФВЧ
;
– логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) ФВЧ
.
Вывод выражений для ачх, фчх и лачх нагруженного lcr-фвч 2 порядка.
Пусть w – частота входного сигнала (напряжения) ФВЧ, а j – мнимая единица. Заменим оператор Лапласа s на комплексную переменную jw:
.
Преобразуем данное выражение для выделения вещественной и мнимой частей, учитывая, что знаменатель не должен содержать мнимой единицы. Получаем:
– вещественно – частотная характеристика (ВЧХ) ФВЧ
;
– мнимочастотная характеристика (МЧХ) ФВЧ
.
Используя полученные выражения получаем частотные характеристики исследуемого ФВЧ:
– амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) ФВЧ
;
– фазочастотная характеристика (ФЧХ) ФВЧ
;
– логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) ФВЧ
.
7. Составление нелинейных уравнений для поиска f0 и fпп по АЧХ для нагруженного LCR-ФНЧ 2 порядка.
Для определения необходимо найти производную , т.к. в данной точке касательная параллельна оси X, тогда
Для определения необходимо найти точку перемещения графиков и , т.е.
- нелинейное уравнение (2)
Решив эти уравнения найдем и , затем
8. Составление нелинейных уравнений для поиска f0 и fпп по АЧХ для нагруженного LCR-ФВЧ 2 порядка.
Для определения необходимо найти производную , т.к. в данной точке касательная параллельна оси X, тогда
Для определения необходимо найти точку перемещения графиков и , т.е.
- нелинейное уравнение (2)
Согласно команде Mathcad , тогда
Решив эти уравнения найдем и , затем
9. Составление нелинейных уравнений для поиска f0 и fпп по ЛАЧХ для нагруженного LCR-ФНЧ 2 порядка.
- проведем потенцирование функции по основанию 10.
Таким образом, имея можно найти , решив уравнение
Найдем : ЛАЧХ:
Решив это уравнение найдем => .
10. Составление нелинейных уравнений для поиска f0 и fпп по ЛАЧХ для нагруженного LCR-ФВЧ 2 порядка.
- проведем потенцирование функции по основанию 10.
Таким образом, имея можно найти , решив уравнение
Найдем : ЛАЧХ:
Решив это уравнение найдем => .
11. Алгебраическая и показательная форма записи комплексной частотной характеристики. Пояснить на рисунке векторную форму комплексной частотной характеристики.
Операторной передаточной функцией ФВЧ называется отношение изображение выходного сигнала ко входному :
запишем выражение для операторной передаточной функции ФВЧ:
Заменим оператор Лапласа s на комплексную переменную j·ω:
где (25)
– вещественно-частотная характеристика (ВЧХ) ФВЧ,
(26)
– мнимочастотная характеристика (МЧХ) ФВЧ,
(27)
– амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) ФВЧ,
(28)
– фазочастотная характеристика (ФЧХ) ФВЧ.