14. Блок-схема алгоритма метода секущих для решения нелинейных уравнений

Если итерации и расположены достаточно близко друг к другу, то в методе Ньютона можно заменить производную первой конечной разностью, найденной но двум последним итерациям, т.е. заменить касательную секущей (рис.1).

Тогда получим:

Для начала итерационного процесса необходимо задать два начальных приближения и . Скорость сходимости метода секущих несколько ниже, чем метода касательных, однако он не требует вычисления производной левой части уравнения.

15. Интерполяция функции каноническими полиномами

Интерполяция функции , заданной , где заключается в нахождении полинома , значения которого в узловых точках совпадают со значениями , позволяющего найти значения в промежутках между узлами.

Обычно полагают, что, используя большее число соседних точек и аппроксимируя истинную кривую более сложной линией, можно уточнить полученный результат. В этом случае для аппроксимации функции используют функцию со свободными параметрами и соответствующим их выбором.

Пусть функция задана таблицей значений , полученной из эксперимента или путем вычисления в последовательности значений аргумента . Выбранные значения аргумента называются узлами таблицы.

При интерполяции каноническими полиномами аппроксимирующая функция имеет вид (1)

Свободные параметры определяются из условия Лагранжа

_или

Свободными параметрами интерполяции являются коэффициенты полинома. Интерполяция полиномами обладает такими преимуществами, как простота вычислений их значений, дифференцирования и интегрирования. Если среди узлов нет совпадающих, то определитель системы отличен от нуля и ее решение относительно может быть найдено одним из известных методов решения СЛАУ (Гаусса, Крамера, обратной матрицы). Формула (1) позволяет достаточно просто вычислять значения полинома в любой точке заданного интервала [ ].

Интерполяция – способ приближенного вычисления значения величины, находящегося между двумя известными значениями.

Аппроксимация – замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Полином - многочлен

16. Интерполяция функции полиномами Лагранжа

Интерполяция функции , заданной , где заключается в нахождении полинома , значения которого в узловых точках совпадают со значениями , позволяющего найти значения в промежутках между узлами.

Пусть задано значение функции в узлах .

Интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:

или

.

В отличие от канонического интерполяционного полинома для вычисления значений полинома Лагранжа не требуется предварительного определения коэффициентов полинома путем решения системы уравнений. Однако для каждого значения аргумента полином приходится пересчитывать вновь, коэффициенты же канонического полинома вычисляются только один раз. С известными коэффициентами для вычисления значений канонического полинома требуется значительно меньшее количество арифметических операций по сравнению с полиномом Лагранжа. Поэтому практическое применение полинома Лагранжа оправдано только в случае, когда интерполяционная функция вычисляется в сравнительно небольшом количестве точек .

Интерполяция – способ приближенного вычисления значения величины, находящегося между двумя известными значениями.

Аппроксимация – замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным.

Полином - многочлен