5.4 Кооперативные игры с бесконечным числом игроков

1. Природа и структура кооперативных игр с бесконечным числом игроков. Кооперативные игры с небольшим количеством игроков не могут служить адекватными моделями целого ряда экономических конфликтов, в которых отдельный участник не влияет (или почти не влияет) на выигрыши других игроков, а значит, и на выигрыши соответствующих коалиций. Анализ таких конфликтов путем построения кооперативных игр с очень большим числом игроков часто затемняет их смысл вследствие наличия несущественных мелких подробностей, препятствующих рассмотрению конфликта в «чистом виде». В связи с этим, как и в бескоалиционных играх, часто за множество игроков принимают единичный интервал с заданной на нем мерой Лебега.

Определение 5.16: Кооперативной игрой с континуумом игроков называется σ-алгебра θ (мы будем считать ее сигма-алгеброй борелевских подмножеств) сегмента с заданной на ней мерой Лебега и вещественной функцией v, удовлетворяющей условиям

, , , .

Для игр с континуумом игроков можно определять понятия дележа, доминирования, С-ядра, n-ядра, Н–М-решения и дележа Шепли. Например, дележом кооперативной игры с континуумом игроков будет счетно-аддитивная мера x (иногда допускаются конечно-аддитивные меры) на θ, для которой и выполняются условия индивидуальной рациональности. Указанные условия в этом случае не столь просты, как в конечных играх. Все эти множества не всегда существуют.

Можно определить аналоги аксиом Шепли для игр с бесконечным числом игроков. Например, аксиома симметрии будет иметь следующий вид: если T, сохраняющее меру Лебега, измеримое преобразование отрезка [0, 1], а для , то , где мера соответствует понятию вектора Шепли для конечных игр.В бесконечных играх функция Шепли не всегда существует.

5.5 Игра с тремя игроками. Справедливые дележи

1. Предположим теперь, что после заключения описанного в предыдущем разделе соглашения между предприятиями «Чайка» и «Сокол» было принято решение о разделении предприятия «Чайка», на базе которой в городке создаются два предприятия: «Чайка» и «Утро». В ходе разделения оборудования поделены были и штампы для изготовления программного обеспечения для ведения бухгалтерского учета. Кроме того, (уже единственно для упрощения предстоящих рассмотрений, которые и без того окажутся достаточно сложными) предположим, что программные продукты первого вида вовсе не будут пользоваться спросом, а второго ‑ покупаться только комплектами: один БПО и один СПО, причем прогнозируется спрос на 1000 таких комплектов.

2. «Сокол» может выпустить всю необходимую тысячу СПО. Пусть «Чайка» в состоянии на имеющемся у нее оборудовании произвести до N_Ч БПО, а «Утро» ‑ до N_У БПО, причем , .

Можно считать, что мы имеем здесь дело с некоторой игрой, которую опишем в несколько упрощенной, «нестратегической» форме (описанные в такой форме игры обычно называются кооперативными).

Участниками игры (игроками) являются те же предприятия: «Сокол», «Чайка» и «Утро».

Выясним, какой выигрыш может получить та или иная группа игроков (в теории игр такие группы называются коалициями) после объединения. Будем измерять этот выигрыш числом выпускаемых коалицией комплектов.

Ни один из игроков, действуя в одиночку, не в состоянии произвести ни одного комплекта программных продуктов, поэтому он не может получить никакого выигрыша. Не может также произвести ни одного комплекта программных продуктов и потому не может обеспечить себе какой-либо выигрыш коалиции предприятий «Чайка» и «Утро». Напротив, коалиция предприятий «Сокол» и «Чайка» может выпустить N_Ч комплектов программных продуктов, т. е. выиграть 2N_Ч; аналогично коалиция предприятий «Сокол» и «Утро» выигрывает 2N_У, а коалиция всех трех предприятий выигрывает 2000. Так, описанную игру обозначим буквой Г.

Очевидно, что каждое предприятие заинтересовано в сбыте как можно большего количества продукций. Ясно также, что для предприятия «Сокол» со всех точек зрения будет разумно фактически произвести тысячу СПО и договориться с предприятиями «Утро» и «Чайка» о поставке ими требуемой для составления комплектов тысячи БПО. Общие возможности предприятий «Утро» и «Чайка» превосходят число требуемых БПО. В связи с этим удовлетворить полностью потребности обоих предприятий, заказав у предприятия «Чайка» N_Ч, а у предприятия «Утро» N_У БПО, не представляется возможным. Возникает естественный вопрос, какие объемы, какие «квоты» продукции следует в игре Г считать для этих предприятий справедливыми.

Понятие справедливости принадлежит к числу весьма сложных «первичных» понятий, которые трудно поддаются наглядному сведению к более простым. В связи с этим математизацию этого понятия (подобно математизации многих других фундаментальных понятий) естественно совершать аксиоматическим путем. Это значит, что необходимо фиксировать некоторые черты, которые можно считать присущими справедливости, придать этим чертам характер аксиом и на их основе вывести дальнейшие свойства конкретных реализаций справедливости в том или ином конфликте и, в частности, расчетные формулы, позволяющие находить справедливые доли игроков в соответствующих играх. Разумеется, всякой попытке применить такое понимание справедливости должно предшествовать обретение разумной уверенности в соблюдении в этом случае положенных в основу аксиом.

Системы аксиом, определяющих справедливость в кооперативной игре, можно составлять различным образом.

Одним из наиболее удобных вариантов является следующий.

Аксиома 5.11. Предположим, что некоторая коалиция может вполне уверенно выиграть некоторую сумму; при этом включение в коалицию новых членов не увеличит указанного выигрыша, а выбытие из нее любого члена «обессиливает» коалицию так, что оставшиеся игроки уже не могут добиться ничего (такие игры в теории игр называются простейшими). В данном случае будем считать справедливым, если при дележе общего выигрыша члены рассматриваемой («минимальной выигрывающей») коалиции получили равные доли полученного выигрыша, а не вошедшие в минимальную выигрывающую коалицию члены не получили бы ничего.

Аксиома 5.12. Предположим, что некоторый игрок участвует в играх Г₁, Г₂ ... , и его справедливая доля в каждой из них равна соответственно g₁, g₂ , ... Рассмотрим новую игру Г, состоящую в проведении а₁ партий игры Г₁, а₂ партий игры Г₂ и т. д. Тогда справедливой долей игрока игре Г будем считать: . Эту аксиому будем трактовать достаточно широко, допуская в ней в качестве «кратностей» а₁, а₂ ... партий отрицательные и даже дробные числа. Проще всего интерпретировать эти числа как коэффициенты, с которыми начисляются выигрыши в обычных (однократных) партиях.

Применим сформированное представление о справедливости к описанной в п. 1 игре. С данной целью рассмотрим следующие простейшие игры:

Г_Ч, в которой «Чайка» выпускает N_Ч БПО, «Сокол» выпускает достаточное для составления комплектов количество СПО, а «Утро» не выпускает ничего;

Г_У, в которой «Утро» выпускает N_У БПО, «Сокол» по-прежнему выпускает достаточное количество СПО, «Чайка» не выпускает ничего;

Г_Общ, которая с точки зрения повседневного представления о производстве выглядит несколько странно; поскольку в ней все три предприятия работают по производству программных продуктов на полную мощность - «Сокол» выпускает тысячу СПО, «Чайка» и «Утро» ‑ соответственно N_Ч и N_У БПО. Но итогом и основным показателем производства является избыток числа БПО относительно числа СПО, т. е. (формально Г_Общ ‑ обыкновенная игра, и возразить против нее нечего).

Все эти игры являются простейшими, причем выигрывающую коалицию в Г_Ч составляют «Чайка» и «Сокол», в Г_У ‑ «Утро» и «Сокол», а в Г_Общ ‑ «Чайка», «Утро» и «Сокол». Образуем из этих трех простейших игр новую игру Г^*, состоящую в том, что игра Г_Ч играется два раза, игра Г_У ‑ тоже два раза, а игра Г_Общ ‑ (‑2) раза. Описание выигрышей коалиций в этих играх сведено в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Игра Коалиция	ГЧ	ГУ	ГОбщ	Г^*
«Сокол»	0	0	0	0
«Чайка»	0	0	0	0
«Утро»	0	0	0	0
«Чайка» и «Утро»	0	0	0	0
«Чайка» и «Сокол»		0	0
«Утро» и «Сокол»	0		0
«Чайка», «Утро» и «Сокол»				2000

Данные последнего столбца табл.5.1. дают основания полагать, что новая игра Г^* фактически совпадает с исследуемой нами игрой Г: любой игрок, равно как и любая коалиция игроков, получает в ней столько же, сколько в игре Г. В связи с этим и справедливые доли игроков в ней будут именно те, которые мы ищем. Но справедливые доли игроков в играх Г_Ч, Г_У и Г_Общ находятся на основании аксиомы 1, а в игре Г^* ‑ на основании аксиомы 2. Результаты этих подсчетов приведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Игра Игрок	ГЧ	ГУ	ГОбщ	Г^*
«Сокол»	NЧ	NУ
«Чайка»	NЧ	0
«Утро»	0	NУ

4. Приняв аксиомы справедливости, мы таким образом должны принять и соответствующие выводы и в том числе признать справедливыми доли предприятий, приведенные в последнем столбце табл.5.2. Однако приходится признать, что эти результаты выглядят несколько неожиданно.

Если, например, производственные мощности предприятий «Чайка» и «Утро» одинаковы, т. е. если , то их справедливые доли будут равны каждая. Эти доли с ростом N убывают и, как это ни странно, чем более мощными хозяйственно будут «Чайка» и «Утро», тем на меньшую долю они могут рассчитывать при справедливом дележе. Например, при N, близком к 500, каждая доля равна , а при она уменьшается до .

Доля предприятия «Сокол» в этом дележе возрастает с 500 до 667.

Данное явление может провоцировать хозяйственников на не вполне этичные поступки, на что следует обратить внимание.

Предположим, например, что «Чайка» располагает на самом деле производственными возможностями , а возможности предприятия «Утро» будут . Тогда справедливой долей предприятия «Чайка» будет , а предприятия «Утро»: .

Наконец, справедливой доля предприятия «Сокол» .

Допустим теперь, что «Чайка» утаит часть своих производственных резервов и заявит лишь о наличии кажущихся возможностей . Тогда справедливые доли предприятий изменятся и станут равными: «Чайка»- ,«Утра»= .

Подобные действия предприятия «Чайка», хотя и принесут ему ущерб, но обеспечат вдвое больший выигрыш предприятию «Утро», которому «Чайка» может предъявить требование на солидную компенсацию. Очевидно, что увеличение суммарного выигрыша предприятий «Чайка» и «Утро» произойдет за счет предприятия «Сокол». Из указанного выше следует, что справедливость нужно не только уметь описать и найти, но и охранять.