3.4.3. Модификации средневзвешенных величин

В работе [91. Цветков Э. И. Об оценке качества сложных многофункциональных измерительных систем.— Труды ВНИИЭП, 1969, № 2. [Тульчин ЭИП] ] предлагаются зависимости, являющиеся сочетанием вышеперечисленных, например:

(10.21.)

(10.22.)

Проблема определения наилуч­шего вида средней является проблемой статистической. Так, еще в XVII в. между Галилеем и Каццолино велась дискуссия об относительных преимуществах средней ариф­метической и средней геометрической. Причем Галилей отдавал предпочтение первой, а Каццолино — второй [22. Джини К. Средние величины.— М.: Статистика, 1970. у [Тульчин ЭИП]].

Существуют психологические объяснения предпочтения того или иного вида средней [Шор], по­добно тому как в задачах оценки полезности различных вариантов в условиях неопределенности для индивидуу­мов, склонных к риску, предпочтительной является муль­типликативная форма функции свертки f, а для относя­щихся к риску нейтрально - аддитивная форма функции f.

3.4.4.Доказательство эквивалентности формул [Шор]

Заметим, что эти три варианта формул в определенном смысле эквивалентны. Поясним это, учитывая, что показатели качества величины переменные К= var, Q_i=var, а параметры весомости – фиксированные величины M_i=const.

Логарифмируя уравнение (10.15.), получим

Выносим значение степени:

Логарифм суммы равен сумме логарифмов:

Учитывая, что M_i=const :

Выносим значение степени:

Поскольку величины К_кв, Q₁ , Q₂ …, Q_n являются показателями качества, то и их логарифмы также будут показателями качества. Вводя обозначения

,

получим из уравнения (10.15.), уравнение вида, эквивалентного (10.14.).

Рассмотрим теперь уравнение (10.16.). Поскольку величины К_гар, Q₁, Q₂, …, Q_n являются показателями качества, то их обратные значения также будут показателями качества. Вводя обозначения

, ,

получим из уравнения (10.16.) уравнение вида, эквивалентного (10.14.).

→ →

3.4.6. Рекомен­дации по выбору вида средневзвешенной величины Общие требования, предъяв­ляемые к комплексным показателям качества произвольного вида:

1. Репрезентативность (представительность) комплексного по­казателя, согласно которому он должен включать основные харак­теристики изделия, по которым оценивается его качество.

2. Монотонность. Комплексный показатель является обяза­тельно строго монотонной функцией оценок единичных показате­лей. Тогда улучшение любого из показателей качества при фикси­рованных остальных показателях должно вызвать соответствующее повышение комплексного показателя.

3. Критичность (чувствительность) к варьируемым параметрам. В соответствии с этим требованием комплексный показатель каче­ства должен соответствующим образом реагировать на изменение каждого из единичных показателей. Это особенно важно, когда по­следний выходит из допустимых пределов. В данном случае ком­плексный показатель качества должен значительно уменьшать свое значение (вплоть до нуля).

Чувствительность комплексного показателя качества опреде­ляется первой производной

т. е. в общем случае она является функцией оценок единичных по­казателей качества.

4. Нормированность. Согласно этому свойству численное зна­чение комплексного показателя качества заключено между макси­мальным и минимальным значениями относительных показателей качества:

Это требование не влияет на результат оценки уровня качества. Оно носит чисто нормировочный характер и определяет размах шкалы измерений комплексных показателей качества.

5. Сравниваемость результатов комплексной оценки качества. Согласно этому требованию результаты комплексной оценки не должны зависеть от выбора нормирующих показателей качества. Иначе говоря, если

(3-8)

то

где

(P_iH — нормирующие показатели; tiPi_H — измененные нормирую­щие показатели; t_i — постоянная величина).

		Среднее арифметическое взвешенное	Среднее гармоническое взвешенное	Среднее геометрическое взвешенное
1.Репрезентативность (представительность) включение основных харак­теристик изделия - Очевидна
2.Монотонность повышение любого Qi ведет к повышению К		очевидна	очевидна	очевидна
3.Критичность (чувствительность) Реакция К на любые изменения Qi	значение	крайне мала	средняя	очень высока
	опасность	даже при К≠0 за счет множества других Pi	если есть Qi =0 1/Qi® ¥ и К® ¥ при любых остальных Qi	Даже при неважном Qi=0 K=0
	выход	применяют коэффициент «вето»	применяют только при небольшом разбросе зна­чений Qi	неважное Qi искусственно принимается Qi=1
4.Нормированность определяет размах шкалы измерений Qmax≥К≥ Qmin - Очевидна
5.Сравниваемость К не зависит от Pi^баз		не обладает	не обладает	обладает