2. Аппроксимация, интерполяция функций

2.1. Задачи аппроксимации и интерполяции

Часто функции либо имеют очень громоздкое аналитическое выражение, либо заданы таблично. В этом случае имеет смысл на некотором интервале заменить заданную функцию y(x) приближенным аналитическим, легко вычисляемым выражением (х).

Постановка задачи аппроксимации: задана функция . Требуется найти в аналитическом виде функцию, которая на некотором интервалеприближенно равна исходной:

. (2.1)

Функция называется аппроксимируемой, функция- аппроксимирующей функцией или - коротко - аппроксимацией. Интервал- интервал аппроксимации.

Общая методика аппроксимации:

1. сначала подбирают такой вид аппроксимирующей функции , чтобы ее поведение на интервале аппроксимации качественно соответствовало поведению функции;

2. затем определяют числовые значения свободных параметров таким образом, чтобы обеспечить приближенное равенство

(2.2)

на интервале аппроксимации.

Интерполяцией (лагранжевой) называется такая аппроксимация, при которой равенство (2.1) или (2.2) понимается как совпадение функции с таблично заданной функциейв (n+1)-й точке:

. (2.3)

Точки х_i называются узлами интерполяции, а совокупность узлов - сеткой.

После решения системы (n+1)-го уравнения (3) относительно (n+1)-го параметра интерполяции интерполирующая функцияполностью определена и, таким образом, задача интерполяции решена.

Интерполяция (аппроксимация) линейна, если свободные параметры присутствуют в функциив линейном виде:

. (2.4)

После подстановки (4) в (3) задача интерполяции сводится к решению системы линейных уравнений относительно искомых параметров а_к :

(2.5)

Для существования и единственности решения задачи линейной интерполяции (решения системы (5)) необходимо и достаточно, чтобы

(2.6)

Система функций , удовлетворяющая этому условию при любом расположении узлов, называетсячебышевской.

2.2. Интерполяционный многочлен Ньютона.

Наиболее проста и универсальна интерполяция степенными функциями

. (2.7)

Можно показать, что условие (6) при этом всегда выполняется и, таким образом, степенной интерполяционный многочлен

(2.8)

всегда существует и единствен. Ньютону удалось построить такой многочлен, не прибегая к решению системы уравнений вида (5).

Разделенные разности функции :

(1-я)

(2-я) (2.9)

...

Свойство разделенных разностей: порядок следования аргументов в них не играет роли.

Пусть - многочлен степени n. Тогда первая разделенная разность для него

- (2.10)

- многочлен степени n-1. Вторая разделенная разность

(2.11)

- многочлен степени n-2. Наконец, n-я разделенная разность

(2.12)

- многочлен нулевой степени, константа. Решая равенство (10) относительно Р(х) и исключая из равенств (10) - (12) все разделенные разности, содержащие переменную х, получаем формулу

Т.к. по условию интерполяции

(2.14)

то получаем интерполяционную формулу Ньютона

(2.15)

Этот многочлен можно представить согласно схеме Горнера (ф-ла Ньютона - Грегори)

(2.16)