2.3. Интерполяционная формула Лагранжа

Интерполяционный полином Лагранжа имеет следующий вид:

, (2.17)

где - пока неизвестные полиномы n-й степени. Легко видеть, что условия интерполяции (1) в данном случае означают

(2.18)

Таким условиям удовлетворяют следующие полиномы

(2.19)

Поскольку степенная интерполяция единственна, то формулы Лагранжа (17), (19) отличаются от формул Ньютона (15), (16) только формой записи.

2.4. Погрешность и трудоемкость интерполяции

Известные в литературе априорные оценки погрешности интерполяции на практике неприменимы, т.к. они требуют знания производных от функции y(x).

Для апостериорной оценки погрешности возможны два подхода.

А. Формула (15) представляется как частичная сумма ряда

(2.20)

где первые n+1 слагаемое - это правая часть формулы (15), а r - остаток ряда, погрешность этой формулы. Если , то можно рассчитывать на быструю сходимость ряда и оценивать погрешность так:

(2.21)

или

(2.22)

Б. Один из узлов сетки x_n+1 (т.н. контрольный узел) не используется для интерполяции. Тогда погрешность интерполяции в этом узле

(2.23)

Если погрешность интерполяции недопустимо велика, то уменьшить ее можно двумя путями.

А. Можно увеличить число узлов интерполяции. Но более пяти узлов использовать не рекомендуется, т.к. полином высокой степени чувствителен к погрешностям исходных данных и округления.

Б. Можно выбрать сетку с более мелким шагом, что ускоряет сходимость ряда (20).

Трудоемкость вычислений для ЭВМ приближенно оценивается по количеству наиболее трудоемких вычислительных операций.

А. Формула Ньютона (15) содержит n(n-1)/2 делений для вычисления разделенных разностей (9) и столько же умножений при вычислении функции (15) для каждого значения х.

Б. Вычисление функции по формуле (16) использует всего n умножений.

В. В формулах Лагранжа для вычисления знаменателей функций (19) требуется (n+1)(n-1) умножений и для вычисления самой функции (17) - (n+1)*(n+1) умножений и делений.

2.5. Нелинейная интерполяция

Полиномиальная интерполяция не всегда сходится. Ряд (17) расходится для быстро изменяющихся функций (для сетки с большим шагом). В этом случае следует применить метод выравнивания, заключающийся в следующем.

1. После изучения характера поведения функции y(x) подбирается такое преобразование переменных

(2.24)

чтобы зависимость была медленно изменяющейся функцией, близкой к линейной.

2. Функция интерполируется полиномиальными формулами и после обратного преобразования задача интерполяции решена.

Такая интерполяция называется квазилинейной, в отличие от существенно нелинейной (3).

Погрешность интерполяции следует оценивать для функции y(x), но не для .

Выравнивающее преобразование (24) используется и в случае аппроксимации.

2.6. Эрмитова интерполяция

Постановка задачи эрмитовой интерполяции: таблично задана функция y(x), а также ее производные:

(19)

(порядок производной).

Требуется найти такой интерполяционный полином, значения которого и соответствующие производные совпали бы в узлах интерполяции со значениями и производными функции y(x). Очевидно, что это полином степени (p+1)(n+1)-1. Его можно построить, используя формулы лагранжевой интерполяции после предельного перехода.

Например, если в двух узлах задана функция, а также ее производные, то записывается четырехузловой интерполяционный полином

(20)

Затем устремляются . В результате после предельного перехода получается эрмитов полином

(21)

Общие формулы эрмитовой интерполяции ввиду громоздкости малоупотребительны.