6. Сумісна дія згинання та кручення для стержнів круглого або кільцевого перерізу

У сучасних силових пристроях широко використовується вали – циліндричні стержні круглого або кільцевого перерізів, за допомогою яких передається та розподіляється потужність (крутний момент) між елементами механічної системи. Навантаження на вали з боку зубчатих коліс, натягу ременів, власної ваги вала та шківів спричиняють просторове згинання і кручення, чи складне згинання, кручення та розтягання (стискання). Тому у поперечних перерізах валів виникають такі внутрішні силові фактори: – згинальні моменти,– крутний момент,– поперечні зусилля,– поздовжня сила.

Отже, в будь-якому перерізі можуть одночасно виникнути нормальні напруження , а також дотичні напруження . Зазначимо, що у даному випадку, як і при складному згинанні, впливом дотичних напружень від поперечних сил можна знехтувати по зрівнянню з дотичними напруженнями, спричиненими крученням. Якщо відсутні і поздовжні сили , то у перерізах вала залишаються лише згинальніта крутниймоменти. Згинальні і крутний моменти діють у трьох взаємно-ортогональних площинах. Якщо площина дії моменту проходить крізь вісь балки, то такий момент є згинальним. Моменти, що діють у площині, ортогональній до осі вала, приводять к його крученню.

Наступним кроком до вирішення задачі є визначення небезпечного перерізу. Для круглого та кільцевого профілів ця операція спрощується завдяки променевій симетрії перерізу. Оскільки усі осі, які проходять крізь центр ваги кола або кільця, є головними, то просторове згинання можна завжди звести до плоского, у площині дії сумарного згинального моменту

. (1.2.24)

Це легко пояснити, якщо згадати визначення вектора-моменту пари сил (рис. 1.13).

Рисунок 1.13

Величина цього вектора дорівнює діючому моменту, а його напрям ортогональний до площини, у якій розташований момент. Вектор-момент має додатне значення, якщо дивлячись з кінця цього вектора, обертання пари сил здійснюється проти годинникової стрілки.

Розглянемо, наприклад, деякий переріз вала, і позначимо внутрішні моменти (рис. 1.14).

Побудуємо вектори-моменти та. Згідно з їх визначенням, обидва вектори мають розташування у площині перерізуі можуть бути складеними у геометричну суму згідно (1.2.24). Кожен з цих векторів співпадає за напрямом з нейтральною лінією власного моменту, тому вектор-моментвказує спільну нейтральну лінію від одночасної дії обох згинальних моментівта. Нахил нейтральної лінії визначається кутом, для якого.

Рисунок 1.14

Площина дії сумарного згинального моменту ортогональна до спільної нейтральної лінії. Точки 1 та 2, що лежать у площині моменту, є найбільш віддаленими від нейтральної лінії і мають максимальні, рівні за абсолютною величиною напруження.

, (1.2.25)

де – осьовий момент опору кола.

Розподіл дотичних напружень від дії крутного моменту у тому ж перерізі наведений на рис. 1.15.

Розподіл свідчить, що в контурних точках 1 та 2 діють однакові максимальні дотичні напруження

,

де – полярний момент опору кола.

Рисунок 1.15

Таким чином, у точках 1, 2 маємо збіг найбільших нормальних та дотичних напружень. Напружений стан у цих точках – двохвісний (плоский) ,, тому для запису умови міцності треба використати відповідну гіпотезу міцності.

Будемо вважати, що матеріал вала є пластичним, до якого можна застосувати ІІІ або ІV гіпотезу міцності (1.1.1), (1.1.2), з яких, використовуючи (1.2.25), отримаємо

(1.2.26)

Вирази (1.2.26) свідчать, що розрахунок валів круглого та кільцевого перерізів при сумісній дії згинання та кручення формально зводиться до розрахунку на „звичайний згин ” під дією еквівалентного моменту

(1.2.27)

Таким чином, для визначення найбільш небезпечного перерізу слід зробити лише ряд розрахунків. Згідно з (1.2.27) треба підрахувати величини еквівалентних моментів у всіх потенційно небезпечних перерізах. Найнебезпечніший з них має максимальний еквівалентний момент. Зазначимо також, що знаки складових моментів (їх напрям) у виразах (1.2.27) не мають особливого значення, тому при підрахунках, перш за все треба звертати увагу до перерізів з максимальними за модулем згинальними та крутними моментами.