- •Мiнiстерство освiти і науки україни національний технічний університет
- •Стержньових систем методом сил”
- •Енергетичні методи визначення переміщень в стержньових системах
- •Інтеграл Максвелла – Мора
- •Обчислення інтегралів Мора способом перемноження епюр (способом Верещагіна).
- •Перемноження епюр за правилами трапецій і Сімпсона – Карнаухова.
- •Приклади визначення переміщень.
- •Статично невизначувані системи
- •Основні поняття та визначення
- •Метод сил
- •Канонічні рівняння методу сил
- •Використання властивостей симетрії при виборі основної статично визначуваної системи
- •Перевірка правильності розрахунків
- •Приклади розкриття статичної невизначуваності
- •Розрахунково – проектувальне завдання
- •Задача 1. Визначення внутрішніх зусиль у статично невизначуваних балках
- •Чисельні дані до задачі №1.
- •Задача 2. Визначення внутрішніх зусиль у статично невизначуваних рамах
- •Чисельні дані до задачі №2
- •Задача 3. Визначення внутрішніх зусиль в статично невизначуваних плоскопросторових рамах та визначення розмірів поперечного перерізу
- •Чисельні дані до задачі 3
- •Типи перерізів до задачі 3
- •Контрольна задача № 4. (Для самостійної роботи)
- •Контрольна задача № 5. (Для самостійної роботи)
- •Чисельні дані для контрольних задач №4, №5
- •Зразок виконання розрахунку статично невизначуваної балки
- •Зразок виконання розрахунку статично невизначуваної рами
- •Зразок виконання розрахунку статично навизначуваної плоскопросторової рами
Канонічні рівняння методу сил
Додаткові рівняння переміщень, що виражають рівність нулю переміщень (лінійних чи кутових) у напрямках зайвих невідомих, зручно складати в так званій канонічній формі, тобто за певною закономірністю.
Спочатку розглянемо систему, один раз статично невизначувану (рис. 17а). Як зайву невідому виберемо шарнірно-рухому опору В. Тоді, навантаживши основну систему заданим навантаженням і зайвою невідомою силою (рис.17б), прирівняємо до нуля повне переміщення точкиВ основної системи в напрямі : |
(2.1)
Обчислюючи , застосуємо принцип незалежності дії сил:
де – переміщення від заданого навантаження (рис. 17в);
–переміщення від сили .
Якщо – переміщення в напрямівід сили(рис.17г), то, і рівняння переміщень (2.1) набирає вигляду:
(2.2)
Це канонічна форма рівняння переміщень для один раз статично невизначуваної системи.
Для системи з двома зайвими зв’язками додаткові рівняння мають вигляд: де– повне переміщення в напрямівід заданого навантаження та зайвих невідомих силі;– повне переміщення в напрямівід заданого навантаження та зайвих невідомих силі.
Виходячи з принципу незалежності дії сил, запишемо переміщення тау вигляді сум переміщень, спричинених окремо кожною з невідомих сил,та заданим навантаженням. Використовуючи вибрані раніше позначення переміщень, знаходимо:
(2.3)
За аналогією можна записати в канонічній формі рівняння переміщень для будь-якої n разів статично невизначуваної системи:
(2.4)
Повне переміщення можна визначити як добуток питомого переміщення, спричиненого дією одиничної сили, на відповідну узагальнену силу –.
(2.5)
Система канонічних рівнянь методу сил для загального випадку навантаження має вигляд:
(2.6)
де – кількість зайвих зв'язків (ступінь статичної невизначуваності) системи.
Коефіцієнти рівнянь (2.6) являють собою лінійні зміщення та кути повороту в основній (статично визначуваній) системі від дії сил і моментів, доданих по напрямкамневідомих зусиль. Вільні членивизначають відповідні переміщення, викликані заданим зовнішнім навантаженням.
Коефіцієнти і вільні члени канонічних рівнянь (2.6) обчислюються за допомогою інтегралу Мора, що представляється в загальному випадку формулою[1].
(2.7)
де складання проводиться по усім дільницям пружної системи.
В прийнятій системі координат (вісь співпадає з віссю стержня, аі– головні центральні осі поперечного перерізу) крутний моменті згинальні моментиі, поздовжнята поперечні сили і є сукупністю проекцій головного вектору і головного моменту сил в довільному перерізі стержня.
При застосуванні графоаналітичних методів для визначення інтегралів Мора (2.7) необхідно мати відповідні епюри від одиничних навантажень , які будують для основної системи навантаженою тільки силамикожною окремо.
Епюри , будують також для основної системи, але від заданого зовнішнього навантаження. Ординати епюр згинальних моментів відкладають з боку стислого волокна.
Для багатопрольотної балки відмінними від нуля внутрішніми зусиллями вважати згинальний момент та поперечну силу.
Для плоскої рами - згинальний момент, поперечну і поздовжню сили.
Згідно з п.1.1, на підставі формули (2.7) знаходимо
(2.8)
Питомі переміщення, що мають однакові індекси й називаються головними коефіцієнтами канонічних рівнянь, визначають таким чином
(2.9)
Очевидно, що ці переміщення додатні.
Питомі переміщення, в яких індекси не однакові, називають побічними коефіцієнтами й визначають за формулою
(2.10)
Вони можуть бути додатними або від’ємними, а також дорівнювати нулю.
На підставі теореми про взаємність переміщень [1].
Плоскопросторові рами являють собою особливий клас стержньових конструкцій, у яких плоска рамна система навантажена силами, діючими в площинах, не співпадаючих з площиною самої рами .
Очевидно, що при дії сил, перпендикулярних площині рами (рис. 18), відмінними від нуля внутрішніми зусиллями в перерізі рами є
Якщо ж площина дії зовнішніх сил співпадає з площиною рами, відмінними від нуля є
Оскільки будь-яке зовнішнє навантаження можна розкласти на дві складові, одна з яких розміщена в площині рами , а інша – в перпендикулярній площині, ці невідомі поділяються на дві самостійні групи і можуть бути визначені незалежно друг від друга.
Таким чином, система канонічних рівнянь (2.6) для плоскопросторової рами в загальному випадку розпадається на дві незалежні системи:
(2.11)
Де – невідомі зусилля і моменти, діючі в площинах, ортогональних до площини рами;
–невідомі і моменти, що лежать в площині рами.
В випадку, якщо зовнішнє навантаження є антиплоским ,, вільні членисистеми (2.11) звертаються в нуль, що призводить до нульових рішень для зусиль в площині рами.
Отже, для плоскопросторових рам, навантажених ортогонально до її площини, ступінь статичної невизначуваності визначається числом додаткових зв'язків, накладених на раму в площині дії зовнішнього навантаження. Відмінними від нуля невідомимиє зусилля, що призводять до появи згинальних і крутних моментів в площинах, перпендикулярних площині рами, причому нехтуємо впливом поздовжніх та поперечних сил:
(2.12)
Значення коефіцієнтів канонічних рівнянь, як показують вирази (2.7), залежать від співвідношення згинальних , та крутноїжорсткостей поперечних перерізів стержньової системи та довжинвідповідних ділянок стержня.
Якщо рама зібрана з прямолінійних стержнів постійної згинальної і крутної жорсткості, то безпосереднє інтегрування в формулі Мора можна замінити перемноженням епюр по способу Верещагіна (1.8).