- •Министерство образования и науки
- •Раздел I. Введение в математический анализ
- •§ 1. Функция одной независимой переменной
- •§ 2. Основные свойства функций
- •§ 3. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности
- •§ 4. Предел функции
- •§ 5. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •§ 6. Замечательные пределы
- •§ 7. Эквивалентные функции
- •§ 8. Односторонние пределы
- •§ 9. Непрерывность функции
- •§ 10. Точки разрыва функции
- •Раздел IV. Производная и дифференциал
- •§ 1. Производная функции одной независимой переменной
- •§ 2. Правила дифференцирования функций
- •§ 3. Дифференциал. Геометрический смысл дифференциала
- •§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •Раздел V. Приложения производной
- •§ 1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
- •§ 2. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •§ 3. Формула Тейлора
- •§ 4. Промежутки возрастания и убывания функций
- •§ 5. Экстремумы функций
- •§ 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •§ 7. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба
- •§ 8. Асимптоты
- •§ 9. Общий план исследования функций и построение графиков
- •Раздел VI. Комплексные числа
- •§ 1. Основные понятия
- •§ 2. Операции над комплексными числами в алгебраической форме
- •§ 3. Связь комплексных и действительных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, модуль и аргумент комплексного числа, главное значение аргумента
- •§ 4. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа
- •§ 5. Решение квадратных уравнений, не имеющих действительных корней
- •Раздел VII. Неопределенный интеграл
- •§1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства
- •§ 2. Таблица основных интегралов
- •§ 3. Методы интегрирования
- •§ 4. Интегрирование рациональных дробей
- •§ 5. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций
- •Раздел VIII. Определённый интеграл
- •§ 1. Определенный интеграл. Геометрический смысл определённого интеграла.
- •Свойства определённого интеграла.
- •§ 2. Формула Ньютона-Лейбница.
- •§ 2. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле
- •§ 3. Несобственные интегралы
- •Раздел IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •§ 1. Определение функции двух и более переменных
- •§ 2. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке и на множестве
- •§ 3. Частные производные. Полный дифференциал
- •§ 4. Производная по направлению и градиент функции двух переменных
- •§ 5. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Раздел X. Интегральное исчисление функций нескольких переменных.
- •§ 1. Двойной интеграл
- •§ 2. Криволинейные интегралы
- •Раздел XI. Дифференциальные уравнения
- •§1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Определение и основные понятия
- •§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •§3. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •Раздел XII. Ряды
- •§ 1.Числовые ряды: основные понятия
- •§ 2. Признаки сходимости числовых рядов
- •§ 3. Знакочередующиеся ряды
- •§ 4. Функциональные ряды
- •§ 5. Ряд Маклорена
- •§ 5. Методы разложения функций в ряд Тейлора
- •§ 7. Ряды Фурье
- •Раздел XIII. Теория функции комплексного переменного
- •§ 1. Функции комплексного переменного
- •§ 2. Дифференцируемость функции комплексной переменной.
Раздел XII. Ряды
§ 1.Числовые ряды: основные понятия
Пусть задана последовательность чисел:
Опр. 1. Выражение u1+u2+…+un= называется числовым рядом; числа u1+u2+…+un называются членами ряда; число un называется общим членом ряда.
Опр. 2. Сумма п первых членов ряда Sn= u1+u2+…+un называется п-ой частичной суммой ряда.
Опр. 3. Если существует конечный предел , то числоS называют суммой ряда , а сам ряд называютсходящимся. Если же предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что рядрасходящийся.
Рассмотрим ряд .Это сумма геометрической прогрессии, q – знаменатель прогрессии. Если , прогрессия называется убывающей. Сумму первых п членов этой прогрессии находят по формуле .Если , тои. Значит, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия всегда сходится. Если, тои прогрессия расходится.
Опр. 4. Если числовой ряд сходится, то разность Rn между его суммой S и частичной суммой Sn называется п-м остатком ряда, то есть Rn=S-Sn.
Замечание. Остаток ряда Rn является той погрешностью, которая получится, если вместо S взять Sn. Поскольку , то, взяв достаточно много первых членов сходящегося ряда, можно сумму этого ряда вычислить с любой точностью.
Свойства рядов:
Если ряды исходятся и их суммыU и V, то ряд также сходится и его сумма равна U V.
Если ряд сходится и его сумма равнаS, то ряд , гдеА=const, также сходится и его сумма равна АS.
Конечное количество членов ряда на его сходимость не влияет.
§ 2. Признаки сходимости числовых рядов
Теорема (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд сходящийся, то предел его общего члена равен нулю.
Следствие. Если , то рядрасходящийся.
Замечание. Условие является необходимым условием сходимости ряда, но не достаточным, то есть выполнение этого условия не гарантирует сходимости ряда.
Первый признак сравнения. Пусть члены рядов иудовлетворяют условиюп=1,2,3,… . Тогда, если ряд сходящийся, то сходящийся и ряд, а если рядрасходящийся, то расходящийся и ряд.
Второй признак сравнения. Пусть члены рядов иположительны, причём существует конечный предел. Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Сравнивать ряды удобно с рядами и , сходимость которых известна.
Ряд является суммой бесконечной геометрической прогрессии. Он сходится при (когда прогрессия убывающая) и расходится при.
Ряд называется обобщенным гармоническим рядом. Он сходится прии расходится при.
Признак Даламбера. Если для членов ряда с положительными членамисуществует предел, то ряд будет сходящимся прии расходящимся при.
Радиальный признак Коши. Если для членов ряда с положительными членамисуществует предел, то ряд будет сходящимся прии расходящимся при.
Интегральный признак Коши. Если , где– положительная невозрастающая непрерывная функция, то ряди интегралсходятся или расходятся одновременно.
§ 3. Знакочередующиеся ряды
Опр. 1. Знакочередующимися называют ряды, в которых знаки членов строго чередуются (1), где.
Признак Лейбница. Если для членов ряда (1) выполняется два условия:
1) ,
2) ,
то этот ряд сходится, его сумма положительна и не превышает .
Следствие. Если сумму S сходящегося ряда (1) заменить суммой Sn его п первых членов, то допущенная при этом погрешность не превышает абсолютной величины первого из отброшенных членов, то есть .
Это следствие широко используется при приближённых вычислениях.
Опр. 2. Знакопеременными называются ряды, у которых члены имеют разные знаки.
Опр. 3. Знакопеременный ряд называетсяабсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов.
Опр. 4. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходящийся, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходящийся.
Теорема 1. Любой абсолютно сходящийся ряд сходится.
Теорема 2. Абсолютно сходящийся ряд остаётся абсолютно сходящимся при произвольной перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.
Теорема 3. Члены условно сходящегося ряда всегда можно переставить так, чтобы его сумма равнялась наперёд заданному числу. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что новый ряд будет расходящимся.