- •Министерство образования и науки
- •Раздел I. Введение в математический анализ
- •§ 1. Функция одной независимой переменной
- •§ 2. Основные свойства функций
- •§ 3. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности
- •§ 4. Предел функции
- •§ 5. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •§ 6. Замечательные пределы
- •§ 7. Эквивалентные функции
- •§ 8. Односторонние пределы
- •§ 9. Непрерывность функции
- •§ 10. Точки разрыва функции
- •Раздел IV. Производная и дифференциал
- •§ 1. Производная функции одной независимой переменной
- •§ 2. Правила дифференцирования функций
- •§ 3. Дифференциал. Геометрический смысл дифференциала
- •§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •Раздел V. Приложения производной
- •§ 1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
- •§ 2. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •§ 3. Формула Тейлора
- •§ 4. Промежутки возрастания и убывания функций
- •§ 5. Экстремумы функций
- •§ 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •§ 7. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба
- •§ 8. Асимптоты
- •§ 9. Общий план исследования функций и построение графиков
- •Раздел VI. Комплексные числа
- •§ 1. Основные понятия
- •§ 2. Операции над комплексными числами в алгебраической форме
- •§ 3. Связь комплексных и действительных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, модуль и аргумент комплексного числа, главное значение аргумента
- •§ 4. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа
- •§ 5. Решение квадратных уравнений, не имеющих действительных корней
- •Раздел VII. Неопределенный интеграл
- •§1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства
- •§ 2. Таблица основных интегралов
- •§ 3. Методы интегрирования
- •§ 4. Интегрирование рациональных дробей
- •§ 5. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций
- •Раздел VIII. Определённый интеграл
- •§ 1. Определенный интеграл. Геометрический смысл определённого интеграла.
- •Свойства определённого интеграла.
- •§ 2. Формула Ньютона-Лейбница.
- •§ 2. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле
- •§ 3. Несобственные интегралы
- •Раздел IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •§ 1. Определение функции двух и более переменных
- •§ 2. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке и на множестве
- •§ 3. Частные производные. Полный дифференциал
- •§ 4. Производная по направлению и градиент функции двух переменных
- •§ 5. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Раздел X. Интегральное исчисление функций нескольких переменных.
- •§ 1. Двойной интеграл
- •§ 2. Криволинейные интегралы
- •Раздел XI. Дифференциальные уравнения
- •§1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Определение и основные понятия
- •§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •§3. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •Раздел XII. Ряды
- •§ 1.Числовые ряды: основные понятия
- •§ 2. Признаки сходимости числовых рядов
- •§ 3. Знакочередующиеся ряды
- •§ 4. Функциональные ряды
- •§ 5. Ряд Маклорена
- •§ 5. Методы разложения функций в ряд Тейлора
- •§ 7. Ряды Фурье
- •Раздел XIII. Теория функции комплексного переменного
- •§ 1. Функции комплексного переменного
- •§ 2. Дифференцируемость функции комплексной переменной.
§ 2. Дифференцируемость функции комплексной переменной.
Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки z = x + iy ∈ C. Производной функции w = f(z) в точке z называется предел . Функция, имеющая конечную производную в точкеz, называется дифференцируемой в этой точке. В этом определении важно, что стремление Δz → 0 может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной f’(z) не сводится к существованию частных производных функций u(x, y) и v(x, y), а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия - аналитичности функции в точке и в области. Опр. Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Однозначная функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области. Примеры. 1. f(z) = z 2. В этом случае f (z + Δz) = (z + Δz)2 = z 2 + 2 z·Δz + (Δz) 2; . Таким образом , эта функция дифференцируема в любой точке, и её производная равна 2z. 2.f(z) = | z |2 = x2 + y2. Докажем, что эта функция не имеет производной ни в какой точке z ≠ 0. Будем стремить Δz → 0 по двум путям: по прямой, параллельной действительной оси Ох (в этом случае Δz = Δx), и по прямой, параллельной мнимой оси Оу (в этом случае Δz = i Δy). В первом случае ,во втором . Эти пределы равны, только если2х = −2iy ⇒ х = y = 0. Таким образом, функция f(z) = | z |2 = x2 + y2 может быть дифференцируема в единственной точке z = 0, во всех остальных точках пределы различны в зависимости от способа стремления Δz → 0, т.е. не существует. Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).
Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно, аналитичности) функции. Для того, чтобы функция w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) была дифференцируема в точке z = x + iy, необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) = Re f(z) и v(x, y) = Im f(z) были дифференцируемы в точке (х,у), и чтобы в этой точке выполнялись соотношения . Доказательство. Необходимость. Здесь мы применим идею, которой воспользовались, когда доказывали, что функция f(z) = | z |2 = x2 + y2 не имеет производных в точках z ≠ 0: подойдём к точке z двумя путями - по направлениям Δz = Δх (Δy = 0) и Δz = iΔy (Δx = 0). В первом случае: Δw = (u(x + Δx, y) + iv(x + Δx, y)) − (u(x, y) + iv(x, y)) = = (u(x + Δx, y) − u(x, y)) + i(v(x + Δx, y) − v(x, y)) = Δxu + iΔxv; . Во втором случае: (напомню, что) Δw = (u(x, y + Δy) + iv(x, y + Δy)) − (u(x, y) + iv(x, y)) = = (u(x, y + Δy) − u(x, y)) + i(v(x, y + Δy) − v(x, y)) = Δyu + iΔyv; . Пределы должны быть равны, поэтому. Достаточность. По предположению теоремы, функции u(x, y), v(x, y) дифференцируемы в точке (х,у), поэтому где α(Δx, Δy), β(Δx, Δy) - бесконечно малые более высокого порядка по сравнению с , т.е.,. Найдём.. Последнее слагаемое - бесконечно малая высшего порядка по сравнению с
Δz = Δx + iΔy:
; далее, в предыдущих слагаемых, пользуясь формулами Коши-Римана, оставим только частные производные по х, т.е. заменим на,на; тогда. Отсюда следует, что существует, т.е. функция дифференцируема в точке (х,у). Производная дифференцируемой функции может находиться по любой из формул , эти равенства следуют из условий Коши-Римана. При вычислении производных можно пользоваться всеми правилами действительного анализа:
(в точках, где g(z) ≠ 0.
Примеры вычисления производных. 1. Выше мы доказали, что функция f(z) = z2имеет производную, равную 2z, в каждой точке. Проверим, что для этой функции выполняются условия Коши-Римана. Так какw = z2 = (x + iy)2 = x2 - y2 + 2 ixy, то . Тогда. 2. Для функцииw = e z мы получили u(x, y) = e z cos y, v(x, y) = e z sin y. Поэтому , т.е. функция дифференцируема..Геометрический смысл производной.
Равенство означает, что Δw = f ′(z)·Δz + γ(Δz)·Δz, где γ(Δz) → 0 при Δz → 0. Отсюда, в частности, следует, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Будем писать Δw ≈ f ′(z)·Δz, пренебрегая слагаемым высшего порядка малости. Пусть в точке z существует f'(z) ≠ 0. Возьмём точки z и z + Δz; пусть w = f(z), тогда Δw ≈ | f ′(z)|·e i arg f ′ (z)·Δz = | f ′(z)|·|Δz|·e i (arg f ′ (z) + arg Δz). Таким образом, |Δw| в |f ′(z)| больше |Δz|, arg Δw больше arg Δz на arg f ′(z)для любого arg Δz (с точностью до бесконечно малых высшего порядка). Следовательно, в окрестности любой точки z, в которой
f ′(z) ≠ 0 отображение z → w = f (z) действует следующим образом: любой вектор растягивается в |f ′(z)| раз и поворачивается на угол arg f ′(z).
Конформность дифференцируемого отображения. Пусть через точку z проходят две гладкие кривые L1 и L2, касательные l1 и l2 к которым образуют с осью Ох углы, соответственно, θ1 и θ2. Образы этих кривых L'1 и L'2 при дифференцируемом отображении z → w = f (z) имеют касательные l1' и l2', образующие с действительной осью Ou углы θ1' и θ2'. Согласно предыдущему пункту,θ1' = θ1 + arg f '(z), θ2' = θ2 + arg f '(z), т.е. θ2' − θ1' = θ2 − θ1. Таким образом, дифференцируемое отображение при f '(z) ≠ 0сохраняет углы между кривыми. Сохраняется и направление отсчёта углов (т.е. если θ2 > θ1, то θ2' > θ1'). Любое преобразование плоскости в плоскость, обладающее эти свойством (т.е. свойством сохранения углов), называется конформным. Если при этом сохраняется направление отсчёта углов, то преобразование называетсяконформным преобразованием первого рода; если направление отсчёта углов меняется на противоположное, то преобразование называется конформным преобразованием второго рода. Мы доказали, что аналитическая в некоторой области G функция w = f(z) осуществляет конформное отображение первого рода во всех точках, в которых производная отлична от нуля. Пример конформного отображения второго рода – недифференцируемая функция .
Гармоничность действительной и мнимой частей аналитической функции. Дифференцируя первое соотношение Коши-Римана по переменнойх, второе соотношение по переменнойу, получим , т.е. Δu = 0 (Δ - оператор Лапласа), т.е. u(x, y) - гармоническая функция. Дифференцируя первое соотношение Коши-Римана по переменной у, второе соотношение по переменной х, получим , т.е. Δv = 0, т.е. v(x, y) - тоже гармоническая функция. Пара гармонических функций, связанных соотношениями Коши-Римана, называется сопряжёнными функциями. Легко доказать, что для любой гармонической в односвязной области D функции u(x, y) существует единственная (с точностью до постоянного слагаемого) сопряжённая с ней гармоническая функция v(x, y), т.е. такая функция, чтоw = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) - аналитическая функция; и наоборот, для любой гармонической v(x, y) существует сопряжённая с ней гармоническая u(x, y). Пусть, например, дана u(x, y), обозначим . Эти функции удовлетворяют условию, т.е. векторное полепотенциально. Функциюv(x, y) можно найти теперь из системы (как это делается при решении уравнения в полных дифференциалахP(x, y)·dx + Q(x, y)·dx = 0), и как потенциальную для поля функцию.
Пример восстановления аналитической функции по ее действительной (мнимой части). В качестве примера рассмотрим задачу, аналогичную задаче 5 из домашнего задания. Может ли функция v(x, y) = e -y(xcos x - ysin x) быть мнимой частью некоторой аналитической функции w = f(z)? В случае положительного ответа найти функцию w = f(z). Решение. Докажем, что v(x, y) - гармоническая функция. vx′ = e - y(cos x − x sin x − y cos x); vxx″ = e - y(−sin x − sin x − x cos x + y sin x) =
= e - y(−2 sin x − x cos x + y sin x); vy′ = −e - y(x cos x − y sin x + sin x);
vyy″ = e - y(x cos x − y sin x + sin x + sin x) =
= e - y(−2 sin x − x cos x + y sin x); , т.е.v(x, y) - гармоническая функция и, следовательно, может являться мнимой частью аналитической функции. Найдём эту функцию. Для действительной части u(x, y) справедливы соотношения
|
− e− y y cos x + e− y cos x = − e− y( x sin x + y cos x) + φ(y), |
для нахождения φ(y) используем второе уравнение системы: φ ′(y) = 0 ⇒ φ(y) = C = const. Формально мы можем выписать w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) =
= e –y [- (xsin x + ycos x) + i(xcos x - ysin x)] + C, но толку в этой записи нет, так как не видна зависимость f от z. Поэтому сделаем по-другому. Выпишем производную f ′(z): . На действительной оси (приу=0, т.е при z = x) функция w = f(z) превращается в функцию действительной переменной f(x), её производная - в f ′(x). Положим в f ′(z) у = 0, x = z : f ′(z)|y = 0, z = x = −e−y[(x cos x − y sin x + sin x) + i(cos x − x sin x − y cos x)]|y = 0, z = x = − z cos z − sin z + i(cos z − z sin z); проинтегрировав это выражение, получим f(z). Техника нахождения неопределённых интегралов в теории функций комплексной переменной в основном та же, что и в математическом анализе; таблица основных интегралов в обоих случаях одинакова, поскольку одинакова таблица производных. Поэтому = −z sin z + iz cos z + C = iz (cos z + i sin z) + C = iz e iz + C, где С – произвольная вещественная постоянная интегрирования. Постоянная интегрирования будет действительной, если по условию задачи задана функция v(x, y), и с точностью до произвольной постоянной находится действительная часть u(x, y) функции f(z); если же задана функция u(x, y), то с точностью до произвольной постоянной интегрирования находится мнимая часть v(x, y), т.е постоянная будет чисто мнимым числом Ci (C - произвольное вещественное число). Проверим полученный результат. Если f(z) = iz e iz + C, то f(z) = (ix − y) eix − y + C = = e−y(ix − y)(cos x + i sin x) + C = i e−y x cos x − e−y x sin x − e−y y cos x − i e−y y sin x + C = ;; условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функцияf(z) = iz e iz + C - аналитическая на всей комплексной плоскости функция. Во всех этих рассуждениях мы проигнорировали вопрос о том, имеют ли функции u и v производные порядка выше первого? (Существование первых производных следует, как мы видели, из дифференцируемости f(z)). Дальше мы докажем, что, в отличие от действительного случая, ФКП обладает удивительным свойством - если она аналитична в некоторой области (т.е. в каждой точке этой области имеет первую производную), то она бесконечно дифференцируема в этой области (т.е. в каждой точке этой области она имеет производную любого порядка). Как следствие, функции u и v тоже бесконечно дифференцируемы.