217

4.27

4.26							0,		x 0;
									аx
0,		x 0;					ƒ(x) =						, x 0.
								(1 x		2	)	2
	аsin2x,				0 x		;
ƒ(x) =
						2
0,		x		.
		2

4.28

0,		x 0;
ƒ(x) =	ае 2x,		x 0.

4.29

а

4.30

							,		x		4;
ƒ(x) =	16 x2
			x		4.
0,

ƒ(x)

а ----------

х

0 3

Задача 5

Случайное отклонение размера детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами а и σ. Стандартными являются те детали, для которых отклонения от номинала лежат в интервале (а-α, а+α). Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.

Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее β среди них была хотя бы одна стандартная?

Номер	а	σ	α	β
варианта
1	0,2	0,1	0,1	0,99

2	0,2	0,05	0,06	0,995
3	0	0,1	0,15	0,98
4	0	0,05	0,06	0,97
5	20	5	5	0,96
6	20	50	15	0,94
7	-20	10	14	0,992
8	0	10	12,5	0,93
9	-40	20	32	0,995
10	0,2	0,02	0,04	0,99

Случайное отклонение размера детали от номинала распределено по нормальному закону с параметрами а и σ. Записать формулу плотности распределения и построить график плотности распределения.

Какой ширины должно быть поле допуска, чтобы с вероятностью не более α получалась деталь с размером вне поля допуска, если за середину поля допуска принять отклонение размера, равное математическому ожиданию?

Номер	а	σ
варианта
11	15	15	0,01
12	15	5	0,02
13	30	5	0,025
14	-15	15	0,015
15	-30	10	0,005
16	0	25	0,03
17	100	100	0,012
18	-100	100	0,018
19	50	50	0,014
20	0	30	0,016

Ошибки измерений прибора подчиняются нормальному закону. Прибор имеет

систематическую ошибку а			и среднеквадратическую ошибку σ. Записать формулу
плотности распределения и построить график плотности распределения.
Найти вероятность того, что ошибка измерений попадёт в интервал (α, β).
	Номер		а	σ	α	β
	варианта
	21		5	75	0	80
	22		0	5	-5	5
	23		5	25	0	10
	24		5	50	-20	65
	25		-5	5	-5	8
	26		0,1	1	1	2
	27		0,1	2	1	2
	28		1	2	-1	1
	29		0	3	-2	2

30

2

5

0

4

Задача 6

Закон распределения системы дискретных случайных величин (Х, У) задан таблицей. Найти коэффициент корреляции rxy и вероятность

попадания случайной величины (Х, У) в область D.

			6.1							6.2
У			Х				У			Х
	1	2		3	4			-2	-1		0	1
-2	0,03	0,02		0,06	0,04		-1	0,02	0,05		0,04	0,10
0	0,03	0,10		0,10	0,09		0	0,03	0,08		0,05	0,20
2	0,05	0,08		0,20	0,20		2	0,02	0,05		0,06	0,30
	D = x ; 1 y 3							D = 1 x 0;0 y 2
			6.3							6.4
У			Х				У			Х
	-2	0		2	4			0	2		4	6
1	0,03	0,03		0,05	0,15		0	0,05	0,03		0,06	0,05
3	0,04	0,07		0,20	0,08		2	0,07	0,10		0,20	0,06
5	0,02	0,10		0,03	0,20		4	0,08	0,07		0,09	0,14
	D = 1 x 3; 2 y 6							D = 0 x 4;1 y 4
								D = 1 x 2; 2 y 3
										6.6
			6.5
							У			Х
								0	2		4	6
У			Х				1	0,02	0,05		0,15	0,10
	-2	-1		0	1		2	0,10	0,08		0,10	0,06
1	0,02	0,04		0,02	0,04		3	0,05	0,04		0,20	0,05
2	0,08	0,05		0,07	0,20			D = 0 x 3;1 y 2
3	0,03	0,10		0,20	0,15
			6.7

У			Х
	0	1		2	3		У				Х
2	0,04	0,04		0,06	0,07			-2		0		2	4
4	0,03	0,08		0,09	0,10		-1	0,03		0,04		0,06	0,08
6	0,05	0,09		0,15	0,20		0	0,05		0,06		0,09	0,10
	D = x ;3 y 5						2	0,06		0,08		0,15	0,20
									D = x2 y2 1
			6.8
			6.9								6.10
У			Х				У				Х
	0	2		4	6			-1		1		3	5
0	0,08	0,10		0,06	0,03		-1	0,04		0,10		0,09	0,07
1	0,10	0,15		0,09	0,05		0	0,05		0,08		0,10	0,06
2	0,09	0,12		0,07	0,06		2	0,06		0,09		0,20	0,06

D = 1 x 4; 2 y 3

			6.11
У			Х
	0	1		2	3
0	0,04	0,09		0,20	0,06
2	0,04	0,08		0,10	0,08
4	0,05	0,07		0,10	0,09

D = (x 1)2 y2 1

			6.13
У			Х
	-1	0		1	2
1	0,03	0,03		0,05	0,06
3	0,04	0,09		0,10	0,12
5	0,05	0,08		0,15	0,20

D = x ; 2 y 4 6.15

		D = x2 y2 4
				6.12
У				Х
	1		2		3	4
-1	0,02		0,03		0,05	0,05
1	0,04		0,09		0,10	0,09
3	0,06		0,07		0,20	0,20

D = x ; 0 y 4

			6.14
У			Х
	-1	0		1	2
0	0,01	0,04		0,03	0,10
1	0,04	0,09		0,06	0,20
3	0,02	0,05		0,06	0,30

D = 0 x 1;1 y 3

УХ

	-1	1	3	5
0	0,02	0,01	0,04	0,15
2	0,05	0,08	0,20	0,10
4	0,02	0,10	0,03	0,20

D = 0 x 4;1 y 5

			6.16
			6.17
У			Х
	-1	0		1	2
2	0,01	0,03		0,01	0,03
3	0,09	0,06		0,08	0,20
4	0,04	0,10		0,20	0,15

D = 0 x 3;3 y 4

		6.19
У			Х
	-3		-1	1		3
0	0,02		0,03	0,05		0,07
1	0,06		0,07	0,10		0,10
2	0,07		0,08	0,15		0,20
		D = x2		y	1

			6.21
У			Х
	-1	0		1	3
0	0,03	0,10		0,08	0,06
1	0,06	0,09		0,10	0,07
2	0,06	0,09		0,20	0,06

D = x2 y2 4

6.23

У			Х
	-2	0		2	4
2	0,04	0,02		0,05	0,04
4	0,08	0,10		0,20	0,06
6	0,08	0,08		0,10	0,15

D = 1 x 3; 2 y 5

6.18

УХ

	-1	1	3	5
1	0,01	0,04	0,15	0,10
2	0,10	0,09	0,10	0,05
3	0,06	0,04	0,20	0,06

D = 1 x 2;1 y 2

6.20

УХ

	-2	0	2	4
-1	0,03	0,04	0,06	0,08
0	0,05	0,06	0,09	0,10
2	0,06	0,08	0,15	0,20

D = 1 x 3;1 y 2

			6.22
У			Х
	-1	0		1	2
-1	0,03	0,08		0,20	0,05
1	0,05	0,09		0,10	0,09
3	0,05	0,07		0,10	0,09

D = x2 (y 1)2 1

У			Х
	-1	0		1	2		У			Х
-1	0,03	0,03		0,06	0,05			-2	-1		0	1
0	0,02	0,10		0,10	0,08		0	0,03	0,04		0,07	0,08
3	0,06	0,07		0,20	0,20		2	0,02	0,07		0,08	0,10
	D = x ;0 y 2						3	0,06	0,10		0,15	0,20
								D = (x 1)2 y2 1
			6.24
			6.25							6.26
У			Х				У			Х
	-1	1		2	4			-3	-1		0	1
-1	0,03	0,02		0,15	0,05		2	0,05	0,03		0,06	0,05
2	0,03	0,10		0,09	0,20		3	0,06	0,07		0,20	0,05
3	0,03	0,07		0,20	0,03		4	0,09	0,10		0,09	0,15
	D = 0 x 3; 1 y 2							D = 3 x 0; 2 y 3

			6.27							6.28
У			Х				У			Х
	-4	-2		0	2			-1	1		3	4
-2	0,02	0,04		0,04	0,03		-1	0,05	0,04		0,20	0,05
-1	0,07	0,05		0,20	0,06		1	0,10	0,08		0,10	0,06
1	0,04	0,10		0,15	0,20		2	0,02	0,05		0,15	0,10
	D = 2 x 2; 1 y 2							D = 1 x 2; 1 y 2

			6.29							6.30
							У			Х
У			Х					-3	-1		0	1
							-2	0,03	0,06		0,10	0,08
	-2	-1		1	2
							-1	0,05	0,09		0,15	0,10
-1	0,03	0,04		0,06	0,08
0	0,06	0,07		0,10	0,10		0	0,06	0,07		0,12	0,09
3	0,05	0,07		0,14	0,20			D = 4 x 0;0 y 1

D = (x 1)2 y2 1

Задача 7

Задана плотность распределения системы двух случайных величин ƒ(x, у). Найти коэффициент А, коэффициент корреляции rху (табл. 1).

Таблица 1

Номер

f(x,y)

Область D

варианта

1

2

3

1

A(2x y) в обл. D;

0 х 2,

f(x,y)

вне обл. D

0 у 2

0

Acos(2x y) в обл. D;

х

,

2

4

4

f(x,y)

вне обл. D

0

y

4

4

3

A(x y) в обл.D;

0 х 3,

f(x,y)

внеобл.D

0 у 3

0

x y

в обл. D;

0 х ,

4

A(x y)е

f(x,y)

0 у

вне обл. D

0

5

Axy

в обл.D;

у 1 х,

f(x,y)

внеобл.D

х 0, у 0

0

Asin(x y) в обл. D;

0 х

,

6

2

f(x,y)

вне обл. D

0

0 y

2

7

A(x 3y) в обл. D;

0 х 3,

f(x,y)

вне обл. D

0 у 3

0

Продолжение табл. 1

1

2

3

8

A(x 2y) в обл. D;

0 х 2,

f(x,y)

вне обл. D

0 у 2

0

Asin(x y) в обл. D;

х 0,

9

2

f(x,y)

вне обл. D

0

y 0

2

10

Axy

в обл. D;

x y 2 0,

f(x,y)

вне обл. D

0

x 1, у 0

11

A(x y) в обл. D;

2x y 2 0,

f(x,y)

вне обл. D

x 0, y 0

0

2

y

2

) в обл. D;

x

2

y

2

4,

12

A(x

f(x,y)

x 0, y 0

вне обл. D

0

13

A(3x y) в обл. D;

0 х 3,

f(x,y)

вне обл. D

0 у 3

0

14

A(x y) в обл. D;

х2 y2

9,

f(x,y)

вне обл. D

x 0, у 0

0

15

Axy

в обл. D;

3х 2у 6,

f(x,y)

вне обл. D

x 0,

у 0

0

16

A(x y) в обл.D;

2х 3у 6,

f(x,y)

вне обл. D

x 0,

у 0

0

17

Axy

в обл. D ;

х 2

y 2

2,

f(x,y)

вне обл. D

x 0, у 0

0

18

2

y

2

) в обл. D ;

х

2

y

2

9,

A(x

f(x,y)

x 0, у 0

вне обл. D

0

19

Asin(2x y) в обл.D ;

f(x,y)

0 х

,

вне обл.D

4

0

0 y

2

20

A(x y) в обл.D ;

х2 y2

1,

f(x,y)

вне обл. D

x 0, у 0

0

21

Axy

в обл.D ;

2х y 2 0,

f(x,y)

вне обл. D

x 0, у 0

0

22

Axy

в обл. D ;

х2 y2

16,

f(x,y)

вне обл. D

x 0, у 0

0

Окончание табл. 1

1							2													3
23	Asin(x 2y) в обл.D ;
	f(x,y)															0 х										,
								вне обл.D														2
	0
																0 y
																						4
24	A(x y) в обл.D ;														х2 у2							16,
	f(x,y)							вне обл. D							x 0, y 0
	0
25	A(x y) в обл.D ;															3х 2y 6,
	f(x,y)							вне обл. D								x 0, y 0
	0
26				2	y				2	) в обл. D ;					х			2	у		2	5,
	A(x
	f(x,y)														x 0, у 0
								вне обл.D
	0
27											2x y			в обл. D ;			0 х ,
	A(2x y)e
	f(x,y)																0 у
								вне обл. D
	0
28					x		2		y			2	в обл.D ;				0 х ,
	Axye																0 у
	f(x,y)
								вне обл. D
	0
29				2	y				2	) в обл. D ;						х		2	y		2			4
	A(x
	f(x,y)
								вне обл.D
	0
30		2	x			2		y				2	в обл. D ;		x	2		y		2	A						2	,
	A
	f(x,y)							вне обл. D							(A 0)
	0
													Задача 8

Неравенство Чебышева. Теорема Муавра-Лапласа

8.1.Среднее значение длины равно 50 см, а дисперсия равна 0,1. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что приготовленная деталь окажется по своей длине не менее 49,5 см и не более 50,5 см.

8.2.Пусть всхожесть семян некоторой культуры равна 0,75. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что из посеянных 1000 семян число взошедших окажется от 700 до 800 включительно.

8.3.При штамповке пластинок из пластмассы по данным ОТК брак составляет 30 %. Найти вероятность того, что при просмотре партии в 1000 пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше чем на 1 %.

8.4.Суточная потребность электроэнергии в населённом пункте является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 3000 кВт/ч, а дисперсия равна

2500. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход электроэнергии в этом населённом пункте будет от 2500 до 3500 кВт/ч.

8.5. Сколько нужно проверить деталей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,97, можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения частоты годных деталей от вероятности детали быть годной, равной 0,8, не превысит 0,1.

8.6.Вероятность наличия зазубрин на металлических брусках равна 0,2. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что в партии из 1000 брусков отклонение числа пригодных брусков от 800 не превышает 5 %.

8.7.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Используя теорему Муавра-Лапласа, найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не более 75 раз.

8.8.Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что частота появления герба при 50 бросаниях монеты отклонится от вероятности не более чем на 0,1. Найти ту же вероятность, применяя терему Муавра-Лапласа.

8.9.В радиоаппаратуре, содержащей 350 ламп, применяются лампы с вероятностью годности 0,75. Найти вероятность того, что 500 подобных ламп достаточно для того, чтобы полностью укомплектовать эту аппаратуру.

8.10.По мишени проводится 100 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,75. Найти вероятность того, что число попаданий будет не менее 80.

8.11.Вероятность появления события А в каждом из 1000 испытаний равна 0,4. Найти вероятность того, что частота появления этого события отклоняется от его вероятности не более чем на ± 0,01.

8.12.Завод выпускает 90 % изделий первого сорта и 10 % изделий второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий. Найти вероятность того, что число изделий первого сорта окажется в пределах от 900 до 940.

8.13.Проверкой качества изготовляемых радиоламп установлено, что из них 96 % служат не меньше гарантируемого срока. Наугад выбирают 15000 радиоламп. Найти вероятность того, что со сроком службы менее гарантируемого будет от 570 до 630 радиоламп.

8.14.Известно, что 60 % всего числа изготовляемых заводом изделий выпускаются первым сортом. Приемщик берёт попавшиеся 200 изделий. Чему равна вероятность того, что среди них изделий первого сорта окажется от 120 до 150 штук?

8.15.Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,3. Сколько нужно произвести выстрелов для того, чтобы с вероятностью 0,99 отклонение частоты попадания в мишень от вероятности не превышало

±0,04?

8.16.Производится 900 независимых испытаний. В каждом испытании событие А появляется с вероятностью 0,36. Какое максимально возможное отклонение частоты появления события А от 0,36 можно ожидать с вероятностью 0,95?

8.17.Автоматическая линия выпускает с вероятностью 0,8 деталь высшего качества. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что в партии из 1000 деталей доля повышенных по качеству отклоняется от средней не более чем на 0,05.

8.18.Стрелок стреляет по мишени 300 раз, причем вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 2/3. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что стрелок попадает в мишень от 185 до 215 раз.

8.19.Число телевизоров повышенного качества составляет в среднем

40 % общего числа их выпуска. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что в партии из 500 телевизоров доля повышенных по качеству отклоняется от средней не более чем на 0,06.