217

8.20.По данным ОТК брак при выпуске деталей составляет 2,5 %. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что при просмотре партии из 8000 деталей будет установлено отклонение от средней доли брака менее 0,005.

8.21.Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

Х	1	2	3	4	5
Р	0,38	0,26	0,20	0,14	0,02

Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что Х М(Х) 2.

8.22.Вероятность получения с конвейера изделий 1-го сорта равна 0,75. Принята партия в 1000 изделий. Определить вероятность того, что изделий первого сорта окажется от 720 до 800.

8.23.Вероятность выхода за время Т одного конденсатора равна 0,2. Найти вероятность того, что из 100 конденсаторов за время Т выйдет из строя более 12, но менее 26 конденсаторов.

8.24.Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

	Х	1	2	3	4	5
	Р	0,10	0,19	0,35	0,24	0,12
Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что								Х М(Х)			2.

8.25. Проверкой качества изготовляемых радиоламп установлено, что из них 96 % служат не меньше гарантируемого срока. Наугад выбирают 15000 радиоламп. Найти вероятность того, что со сроком службы менее гарантируемого будет меньше 615 радиоламп.

8.26.Вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется бракованной, при каждой проверке одна и та же и равна 0,2. Определить вероятность того, что среди 50 наудачу отобранных деталей бракованных окажется не менее 6.

8.27.Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

	Х	-1	2	3		4		5
	Р	0,09	0,24	0,34		0,20		0,13
Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что										Х М(Х)		2.
Найти точное значение вероятности.				Какую	погрешность			даёт		неравенство
Чебышева?

8.28. Вероятность приёма некоторого сигнала равна 0,75. Используя неравенство Чебышева, определить, каково должно быть общее число принятых сигналов, чтобы частота приёма этого сигнала отличалась от вероятности его приёма не более чем на ε = 0,05 с надёжностью γ = 0,967.

8.29. Длина изготовляемых деталей является случайной величиной, среднее значение которой равно 50 мм. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,2 мм. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что отклонение длины изготовленной детали от её среднего значения по абсолютной величине не превысит 0,4 мм.

8.30. Вероятность некоторого события равна 2/3. В каких границах находится та частота события, вероятность отклонения которой от р = 2/3 равна 0,985? В каких границах заключено число появлений события? Число испытаний 1000.

Задача 9

9.1. Случайные величины Х и У независимы.

				1		е	(у 2)2
ƒ1(х) = С, x 0,4 ,	ƒ1(х) = 0, x 0,4 ,	ƒ2(у) =					2 .
				2

Найти М (2Х + 5У + 1), М(Х – 3У2), D(2X-3У+1), D(XY).

9.2.Случайные величины Х и У независимы.

	2е 2х,		х 0;	1					(у 1)2
	ƒ1(х) =	х 0,		ƒ2(у) =				е 2 .
						2
	0,

Найти М(3Х - 5У2 +1), М((Х-У)2), D(X-5У +2), D(XУ). 9.3. Случайные величины Х и У независимы.

С, x [1,5];

ƒ1(х) =

0, x [1,5],

	3y	, y 0;
3е
ƒ2(y) =	y 0.
0,

Найти М(Х2-2У +1), D(3Х-2У+5), D(2XУ).

9.4.Дано: Х, У – случайные величины, У = 3Х +2, M(Х)= 2, D(Х) = 4.

Найти M(У), D(У), μху, rху.

9.5.Случайные величины Х и У независимы.

		1					(х 1)2		С,	у [1,7];
ƒ1(х) =					е	18 ,			ƒ2(у) =
			2
3										y [1,7].
									0,

Найти М(2Х-3У2+5), D(3Х+2У-4), D(XУ-3). 9.6. Случайные величины Х и У независимы.

1					(х 3)2		1				1	у
									е	3		, у 0;
ƒ1(х) =				е 2 ,			ƒ2(у) =	3
		2
											у 0.
							0,

Найти М(3Х-У2+5), М(ХУ-3), D(5X - У + 1), D(XУ –3).

9.7. Дано: Х,У – случайные величины, У = 5Х – 1, M(Х) = 2, σ(Х)= 3.

Найти M(У), D(У), μху, rху.

9.8. Х и У – независимые случайные величины.

С,	х [0,3];		1			1	у
					е	2	, у 0;
ƒ1(х) =		ƒ2(у) = 2
0,	x [0,3],					у 0.
		0,

Найти М(Х2 – 2У +1), D(4Х2У +3), M(2XУ+5), D(2XУ+5). 9.9. Дано: Х, У – случайные величины, У = 5-3Х, M(Х) = 1, σ(Х)= 3.

Найти М(У), D(У), μху, rху.

9.10. Случайные величины Х и У независимы.

С,

х [0,6];

1

(у 2)2

32

ƒ1(х) =

ƒ2(у) =

е.

x [0,6],

4

2

0,

Найти М(ХУ + Х2 – 2У), D(2Х – 3У + 1), D(3 – 2ХУ).

9.11. Случайные величины Х и У независимы.

1

(х 2)2

1

1

у

е

3 ,

у 0;

е

8 ,

ƒ1(х) =

ƒ2(у) = 3

2 2

у 0.

0,

Найти М(Х – 2ХУ + У2 –3), D(4X – 5У +2), D(5+2XУ).

9.12. X и У – независимые случайные величины.

4е

4х

,

х 0;

С,

y [1,6];

ƒ1(х) =

0,

х 0,

ƒ2(у) =

y [1,6].

0,

Найти М(У2 – 2XУ +3), D(5X –У +2), D(3+2XУ).

9.13. X и У – независимые случайные величины.

1

1

х

1

(y 3)2

е

4 ,

х 0;

8 .

е

ƒ1(х) =

4

ƒ2(у) =

х 0,

2

2

0,

Найти М(Х2 – 3ХУ +3), D(3X – 4У +1), D(3XУ + 2). 9.14. X и У – независимые случайные величины.

0,	х 0;
ƒ1(х) =		x 0,
е x,

С,	x [2,4];
ƒ2(у) =
	x [2,4].
0,

Найти М(3Х2 – 2У + 1), D(2X-У+3), M(XУ+4), D(XУ). 9.15. X и У – независимые случайные величины.

	С,	х [2,8];			1			(x 2)2
	ƒ1(х) =		ƒ2(y) =				е 2 .
					2
		x [2,8],
	0,

Найти М(Х-3У2 +4), D(3-XУ), М(3ХУ +2). 9.16. Дано: Х, У – случайные величины, У = 1-2Х.

Найти: M(У), D(У), μху, rху, если M(Х)= 5, σ(Х)= 2. 9.17. X и У – независимые случайные величины.

		1				(х 3)2		0,	y 0;
	ƒ1(х) =				е 8 ,			ƒ2(y) =	y 0.
		2 2
								е y,

Найти М(3Х –2У +ХУ –1), D(2X – 4У +1), D(XУ).

9.18. X и У – независимые случайные величины.

С,

х 1,9 ;

1

(x 2)2

18

ƒ1(х) =

ƒ2(y) =

е.

х [1,9],

3

2

0,

Найти М(3Х2 – ХУ +2У), D(XУ –3).

9.19. Дано:

(y 3)2

е x

,

x 0;

1

ƒ

1

(х) =

ƒ (y) =

е

8

, r

0,3

0,

x 0,

2 2

Найти М(3Х –2У + ХУ –1), D(2X – 4У + 1).

С,

х 0,6 ;

1

1

y

9.20. Дано: ƒ

1

(х) =

ƒ

2

(y) =

е 2 ,

y 0;

r

= 0,7.

2

ху

0,

х [0,6],

y 0,

0,

Найти М(Х2 –3У +2ХУ – 1), D(3X – У + 2). 9.21. X и У – независимые случайные величины.

			1			(x 2)2
	ƒ1(х) =				е 2 ,
			2

С,	y [0,4];
ƒ2(y) =
	y [0,4].
0,

Найти М(3Х2 –2У –5), D(2X +3У – 4), D(XУ –3).

1

(x 3)2

е y,

y 0;

9.22. Дано: ƒ

1

(х) =

е 8 ,

ƒ

2

(y) =

r = 0,4.

2 2

0,

y 0,

Найти М(2Х – 3У –ХУ +1), D(4X – 2У –1). 9.23. X и У – независимые случайные величины.

С,	х 0,5 ;
ƒ1(х) =
	х 0,5 ,
0,

	3y	, y 0;
3е
ƒ2(y) =	y 0.
0,

Найти М(2Х- У2 –1), D(2X-3У-5), D(2XУ).

9.24. Случайные величины Х и У независимы.

1					(х 3)2		1				1	у
									е	3		, у 0;
ƒ1(х) =				е 2 ,			ƒ2(у) =	3
		2
											у 0.
							0,

Найти М(3Х-У2+5), М(ХУ-3), D(5X - У + 1), D(XУ –3).

9.25. Дано: У = 3X + 2, M(Х) = 3, D(Х) = 4. Найти M(У), D(У), μху, rху.

9.26. X и У – независимые случайные величины.

С,

x [0,7];

1

(x 1)2

ƒ1(х) =

ƒ2(y) =

е. 18

2

x 0,7 ,

3

0,

Найти М(3Х2- 2У +5), D(X+3У-1), D(XУ).

9.27. Случайные величины Х и У независимы.

1

е

(у 2)2

ƒ1(х) = С, x 0,4 ,

ƒ1(х) = 0, x 0,4 ,

ƒ2(у) =

2 .

Найти М (2Х + 5У + 1), М(Х – 3У2), D(2X-3У+1), D(XУ).

2

9.28. Дано:

1

1

х

С,

y [0,6];

ƒ

1

(х) =

е

2

,

х 0;

ƒ

2

(y) =

r = 0,6.

2

ху

х 0,

0,

y [0,6],

0,

Найти М(У2 –3ХУ + 2Х), D(X-3У-2).

9.29. Дано: У = 5Х – 6, M(X) = 4, σ(X) = 3.

Найти M(У), D(У), μxy, rху.

9.30. X и У – независимые случайные величины.

1

С,

y [0,3];

1

х

е

2

,

х 0;

2

ƒ1(х) =

ƒ2(y) =

x 0,

0,

y [0,3].

0,

Найти М(2Х5У2 –1), D(2Х-4У-3), D(2ХУ +5), D(2ХУ).

Задача 10

Случайная величина Х имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием а и неизвестной дисперсией σ2. По выборке (х1, х2, …..,

1 n

хn) объёма n вычислено выборочное среднее х ni 1xi. Определить доверительный

интервал для неизвестного параметра распределения а, отвечающий заданной доверительной вероятности α (табл. 2).

				Таблица 2
Номер варианта		n	σ2	α
	x
1	2	3	4	5
1	110	150	100	0,95
2	110	130	100	0,94
3	110	120	100	0,93
4	110	90	100	0,92

5	120	150	144	0,95
6	120	130	144	0,94

				Окончание табл. 2
1	2	3	4		5
7	120	110	144		0,93
8	120	90	144		0,92
9	110	150	100		0,94
10	110	130	100		0,93
11	110	120	100		0,92
12	110	90	100		0,95
13	120	150	144		0,94
14	120	130	144		0,93
15	120	110	144		0,92
16	120	90	144		0,95
17	110	150	100		0,93
18	110	130	100		0,92
19	110	120	100		0,95
20	110	90	100		0,94
21	100	150	144		0,93
22	100	130	144		0,92
23	100	110	144		0,95
24	100	90	144		0,94
25	130	150	100		0,92
26	130	120	100		0,95
27	130	110	100		0,94
28	130	90	100		0,93
29	120	150	144		0,92
30	120	130	144		0,95

Задача 11

Случайная величина Х имеет нормальное распределение с неизвестным, математическим ожиданием а и дисперсией σ2. По выборке (х1, х2, …….,хn) объёма n

	1	n	2	*	1	n		2
вычислены оценки x		xi	и (σ	) =		(xi	x)		неизвестных параметров.
	ni 1				n 1i 1

Найти доверительный интервал для математического ожидания а, отвечающий доверительной вероятности α (табл. 3).

						Таблица 3
Номер варианта		2	)	*	n	α
	x	(σ
1	2	3			4	5

1	2,1	0,5	31	0,8
2	2,1	0,5	28	0,9
3	2,1	0,5	26	0,5
4	2,1	0,5	24	0,98
5	1,7	0,8	31	0,8
6	1,7	0,8	28	0,9
7	1,7	0,8	26	0,95
8	1,7	0,8	24	0,98
9	2,2	0,5	31	0,9
10	2,2	0,5	28	0,95
11	2,2	0,5	26	0,98
12	2,2	0,5	24	0,8
13	1,8	0,8	31	0,9
14	1,8	0,8	28	0,95
15	1,8	0,8	26	0,98
16	1,8	0,8	24	0,8
17	2	0,5	31	0,95
18	2	0,5	28	0,98
19	2	0,5	26	0,9
20	2	0,5	24	0,8
21	1,6	0,8	31	0,95
22	1,6	0,8	28	0,98
23	1,6	0,8	26	0,9
24	1,6	0,8	24	0,8
25	2,1	0,5	31	0,98
26	2,1	0,5	28	0,9
27	2,1	0,5	26	0,8
28	2,1	0,5	24	0,95
29	1,7	0,8	31	0,98
30	1,7	0,8	28	0,95

Список рекомендуемой литературы

1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1977.

2.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 1977.

3.Захаров В.К., Севостьянов Б.А., Чистяков В.П. Теория вероятностей.

–М.: Наука, 1983.

4.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. – М.: Высшая школа, 1972.

Приложение 1

ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ e x

x	e x	x	e x	x	e x	x	e x
0,00	1,000	0,40	0,670	0,80	0,449	3,00	0,050
0,02	0,980	0,42	0,657	0,82	0,440	3,20	0,041
0,04	0,961	0,44	0,644	0,84	0,432	3,40	0,033
0,06	0,942	0,46	0,631	0,86	0,423	3,60	0,027
0,08	0,923	0,48	0,619	0,88	0,415	3,80	0,022
0,10	0,905	0,50	0,606	0,90	0,407	4,00	0,0183
0,12	0,887	0,52	0,595	0,92	0,399	4,20	0,0150
0,14	0,869	0,54	0,583	0,94	0,391	4,40	0,0123
0,16	0,852	0,56	0,571	0,96	0,383	4,60	0,0101
0,18	0,835	0,58	0,560	0,98	0,375	4,80	0,0082
0,20	0,819	0,60	0,549	1,00	0,368	5,00	0,0067
0,22	0,803	0,62	0,538	1,20	0,302	5,20	0,0055
0,24	0,787	0,64	0,527	1,40	0,247	5,40	0,0045
0,26	0,771	0,66	0,517	1,60	0,202	5,60	0,0037
0,28	0,756	0,68	0,507	1,80	0,165	5,80	0,0030
0,30	0,741	0,70	0,497	2,00	0,135	6,00	0,0025
0,32	0,726	0,72	0,487	2,20	0,111	6,20	0,0020
0,34	0,712	0,74	0,477	2,40	0,091	6,40	0,0017
0,36	0,698	0,76	0,468	2,60	0,074	6,60	0,0014
0,38	0,684	0,78	0,458	2,80	0,061	6,80	0,0011
0,40	0,670	0,80	0,449	3,00	0,050	7,00	0,0009

									Приложение 2
		ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ				me
						m!
m
	0,1	0,2	0,3		0,4			0,5	0,6
0	0,9048	0,8187	0,7408		0,6703			0,6065	0,5488
1	0,0905	0,1638	0,2222		0,2681			0,3033	0,3293
2	0,0045	0,0164	0,0333		0,0536			0,0758	0,0988
3	0,0002	0,0011	0,0033		0,0072			0,0126	0,0198
4		0,0001	0,0002		0,0007			0,0016	0,0030
5					0,0001			0,0002	0,0004
m				λ
	0,7	0,8	0,9		1,0			2,0	3,0
0	0,4966	0,4493	0,4066		0,3679			0,1353	0,0498
1	0,3476	0,3595	0,3659		0,3679			0,2707	0,1494
2	0,1217	0,1438	0,1647		0,1839			0,2707	0,2240
3	0,0284	0,0383	0,0494		0,0613			0,1804	0,2240
4	0,0050	0,0077	0,0111		0,0153			0,0902	0,1680
5	0,0007	0,0012	0,0020		0,0031			0,0361	0,1008
6	0,0001	0,0002	0,0003		0,0005			0,0120	0,0504
7					0,0001			0,0034	0,0216
8								0,0009	0,0081
9								0,0002	0,0027
10									0,0008
11									0,0002
12									0,0001
m				λ
	4,0	5,0	6,0		7,0			8,0	9,0
0	0,0183	0,0067	0,0025		0,0009			0,0003	0,0001
1	0,0733	0,0337	0,0149		0,0064			0,0027	0,0011
2	0,1465	0,0842	0,0446		0,0223			0,0107	0,0050
3	0,1954	0,1404	0,0892		0,0521			0,0286	0,0150
4	0,1954	0,1755	0,1339		0,0912			0,0572	0,0337
5	0,1563	0,1755	0,1606		0,1277			0,0916	0,0607
6	0,1042	0,1462	0,1606		0,1490			0,1221	0,0911
7	0,0595	0,1044	0,1377		0,1490			0,1396	0,1171
8	0,0298	0,0653	0,1033		0,1304			0,1396	0,1318
9	0,0132	0,0363	0,0688		0,1014			0,1241	0,1318
10	0,0053	0,0181	0,0413		0,0710			0,0993	0,1186
11	0,0019	0,0082	0,0225		0,0452			0,0722	0,0970
12	0,0006	0,0034	0,0113		0,0264			0,0481	0,0728
13	0,0002	0,0013	0,0052		0,0142			0,0296	0,0504
14	0,0001	0,0005	0,0022		0,0071			0,0169	0,0324
15		0,0002	0,0009		0,0033			0,0090	0,0194
16		0,0001	0,0003		0,0015			0,0045	0,0109
17			0,0001		0,0006			0,0021	0,0058