5) y’ = x + siny, y(1)=1, 1≤x≤2, h=0,1.

Задание 2. Решить задачу Коши методом Рунге–Кутта 4 порядка:

1)y’ = x – 2sin(y), y(2)=1, 2≤x≤3, h=0,05;

2)y’ + 2y = x, y(0)=0, 0≤x≤1, h=0,1;

3)y’ – y = x, y(0)=1, 0≤x≤1, h=0,05;

4)y’ = x – y + 2, y(1)=0, 1≤x≤2, h=0,1;

5)y’ + cosx = 2y, y(1)=3, 1≤x≤2, h=0,1.

11.7. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Задание. Решить систему дифференциальных уравнений методом Эйлера и методом Рунге–Кутта и построить графики функций, h=0,1:

y1'= −3y1 +12;

y1(0)

И

1)

'= 2,5y1

−1,25y2;

= 0, y2(0)

= 0, x [0;3];

y2

Д

2)

y

'= y

+ x;

y1(1)

1

1

= 0, y2(1) =1, x

[1;2];

y2'= 2y2 + 2x;

А

y

'= −0,5y

;

3)

y1(0)

= 0, y2(0) =1, x [0;2];

1

2

y2'= 3y1;

б

y

'=10

− x;

и

4)

1

y1(0) = 0, y2(0) = 0, y3(0) = 0, x [0;2].

y2'= 2y1 − y3;

y

'= 2,5y

+

3y

2

−

2y

;

3

1

3

С

11.8. Решение краевой задачи

Задание. Решить краевую задачу для ОДУ второго порядка на соответствующем отрезке с точностью ε = 0,0001 и построить графики полученных функций:

1) y'' + (x – 1)y'+ 3,125y = 4x; y(0) = 1; y(1) = 1,368; [0; 1]; 2) y''+ xy'+ y = 2x; y(0) = 1; y(1) = 0; [0; 1];

3) х2y''– xy' = 3x3; y(1) = 2; y(2) = 9; [1; 2];

44

4)х2y'' – 2y = 0; y(1) = 0; y(2) = 4.5; [1, 2];

5)х2y'' + xy' – y = x2; y(1) = 1,333; y(3) = 3; [1; 3].

11.9. Решение дифференциальных уравнений в частных производных

Задание 1. Методом сеток найти решение уравнения Лапласа в точках p, g, r, s квадрата при краевых условиях, указанных на

рис. 11.1, α=0,9, β=1,01.

0 17,98α 38,25α 50

		0	s	r	И
					30,1
		0	p	Д
				q	12,38
		0	29,05α	29,05β
		Рис. 11.1. Краевые условия
Задание 2.		Пр меняя методАсеток с шагом h=0,1, найти решение
уравнения	С		б2	2
			∂ u	∂ u
		и∂t2 =		∂x2	,
удовлетворяющее условиям
u(x,0)=f(x),		u’(x,0)=ϕ(x),

u(0,t)=ϕ(t), u(1,t)=ψ(t)

при 0≤t≤0,5, 0≤x≤1. f(x)=(ax2+1,1)sinπx, ϕ(x)=0, ϕ(t)=ψ(t)=0.

11.10. Численное интегрирование

Задание 1. Вычислить интеграл 3∫sin xdx :

1

•по формуле Ньютона–Лейбница;

45

•по формулам левых, правых и центральных прямоугольников

(n=10, 20, 30, 40).

Задание 2. Вычислить интегралы по формулам левых, правых и центральных прямоугольников (n=30).

2		x		2		5
1) ∫	(sin x +				)dx;	3) ∫(0,5x cos x)dx;
			2
1						0
−1			3			3
2)	∫ (ex sin(				+ 3))dx;	4) ∫(x2 − cos2x)dx.
−5			x			1

Задание 3. Вычислить интегралы:

•по формуле Ньютона–Лейбница; И

•по формулам левых, правых и центральных прямоугольников

(h=0,1). Д2 А2

2)

∫ x dx;

4)

∫

(2x

−3x)dx.

б

1

и

−1

Задание 4. Выч сл ть

нтегралы при n=30:

С

•

по формуле Ньютона–Лейбница;

•

методом трапеций;

•

методом

импсона.

2

3

(x3 + 3x2 +1)dx;

2

x

3,5

1)

∫

2) ∫

(sin x +

)dx;

3)

∫cos xdx.

2

−2

1

2

Задание 5. Вычислить интегралы методом трапеций и методом Симпсона (h=0,1).

	5			5		dx
1)	∫(0,5x cos x)dx;		3)	∫				;
	0			3 ln x
2)	4	(sin(2x +3) − 2cos5x)dx;	4)	1,5			e−x2 dx;
	∫				∫
	0			0,5

46

	4		0	(ex sin(3х+3))dx.
5)	∫sin x2dx;	6)	∫
	1		−5

Рекомендуемый список литературы

1. Блюмин, А.К. Численные методы вычисления интегралов и решения задач для обыкновенных дифференциальных уравнений : методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Численные методы» / А.К. Блюмин, А.А. Федотов, П.В. Храпов. – М. – МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.

–74 с.

2.Методическое пособие по курсу «Численные методы» / сост. : С.В. Каверин, И.А. Каверина. – Тольятти, 2002. – 53 с.

3.Мухамадеев, В.Г. Алгоритмы вычислительной математики : курс лекций / В.Г. Мухамадеев. – Уфа, 2007. – 76 с. И

4.Численные методы: конспект лекций для студентов специальностей

8.091 501 «Компьютерные системы и сети» и 7.091 503 «Специализированные компьютерные системы» всех форм обученияД/ сост. : А.К. Тимовский, Л.М. Карпуков, С.Н. Романенко. – Запорожье : ЗНТУ, 2004. – 130 с.А

	б
и
С

47

		Оглавление
Введение....................................................................................................................................					3
1. Математическое моделирование ........................................................................................					4
2. Решение систем линейных уравнений ...............................................................................					8
2.1. Метод Гаусса .................................................................................................................					9
2.2. Метод Крамера ..............................................................................................................					9
2.3. Матричный метод........................................................................................................					10
2.4. Итерация Якоби для линейных систем .....................................................................					10
2.5. Итерация Гаусса-Зейделя		...........................................................................................			11
3. Плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений........................					12
3.1. Метод регуляризации для решения плохо обусловленных систем........................					13
3.2. Метод вращения (Гивенса).........................................................................................					14
4. Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений .............................					17
4.1. Решение нелинейных уравнений			...............................................................................		17
4.2. Решение систем нелинейных уравнений				..................................................................	20
5. Метод наименьших квадратов ..........................................................................................					22
5.1. Линейная регрессия ....................................................................................................					23
5.2. Показательная регрессионная модель.......................................................................					24
				Д
6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений...............................................					25
6.1. Метод Эйлера (метод Рунге–Кутта 1-го порядка) ...................................................					26
6.2. Метод Рунге–Кутта 4-го порядка ..............................................................................					28
			А
7. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравненийИ..................................					28
8. Краевая задача ....................................................................................................................					29
8. 1. Метод стрельбы (пристрелки)...................................................................................					29
		б
9. Решение дифференциальных уравнений в частных производных...............................					30
9.1. Метод сеток для решения смешанной задачи для уравнения параболического
типа ......................................................................................................................................					32
9.2. Решение задачи Д р хле для уравнения Лапласа методом сеток .........................					34
10. Численное интегрирован е .............................................................................................					36
С
10.1. Метод прямоугольн ков...........................................................................................					37
10.2. Метод трапеций.........................................................................................................					39
10.3. Метод импсона........................................................................................................	и				40
11. Задания для практических занятий.................................................................................					41
11.1. Решение систем линейных уравнений ....................................................................					41
11.2. Решение систем нелинейных уравнений ................................................................					41
11.3. Плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений...............					41
11.4. Решение уравнений методом простой итерации....................................................					42
11.5. Метод наименьших квадратов .................................................................................					42
11.6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений......................................					43
11.7. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений .........................					44
11.8. Решение краевой задачи ...........................................................................................					44
11.9. Решение дифференциальных уравнений в частных производных.......................					45
11.10. Численное интегрирование ....................................................................................					45
Рекомендуемый список литературы…………………………………………………….47

48