В случае n отрезков интегрирования для всех узлов, за исключением крайних точек отрезка, значение функции войдет в общую сумму дважды (так как соседние трапеции имеют одну общую сторону).

I = ∑Si ≈h (	f (a) + f (b) +∑ f (xi )).		(10.6)
n−1		n−1
i=0	2	i=1

10.3. Метод Симпсона

Суть метода Симпсона (парабол) заключается в том, что весь интервал интегрирования [a; b] разбивается на четное число

одинаковых	отрезков n,		на	каждом		интервале	[xk+1–xk]
подынтегральная функция приближается					квадратичной параболой
y=aix2+bix+ci , проходящей					И
			через	точки	(xk;	f(xk)), (xk+1;	f(xk+1)),
((xk+1+xk)/2; f(xk+1+xk)/2)) (рис. 10.6).				Д
						aix2+bix+c
			А
		б
	и
	С	xi	xi+h/2		xi+1

Рис. 10.6. Формула Симпсона

Это делается для того, чтобы в качестве приближенного значения определенного интеграла взять значение площади параболической трапеции, которое мы можем вычислить по формуле Ньютона– Лейбница.

Формула Симпсона имеет вид
	h		n−1	n−1		h
I =			f (a) + f (b) + 2 ∑ f (xi ) + 4	∑	f (xi +			(10.7)
	6					2	) .
			i=1	i=0

40

11. Задания для практических занятий

11.1. Решение систем линейных уравнений

Задание. Решить системы уравнений итерационными методами (итерация Якоби и Гаусса–Зейделя) с точностью ε=0,00001.

5x +0,5x

+0,5x

= 6;

2x

+

0,1x

+0,01x =1,6;

1

2

3

1

2

3

1)

x1

+5x2 +0,5x3 = 6,5;

3)

0,2x1 +3x2 +0,01x3 =1,7;

+ x2 +5x3 = 7.

+0,02x2 + 4x3 =1,4.

x1

0,2x1

3x −

0,5x

+0,5x

=

2;

10x

+ 2x

+6x

= 28;

1

2

3

1

2

3

2)

0,5x1 +3x2 + x3 = 4,5;

4)

x1

+10x2 +8x3 = 7;

−

2x

−4x

+13x

= 4.

2x

−

7x

−10x

= −17.

1

2

3

1

2

3

11.2. Решение систем нелинейных уравнений

Задание. Отделить и уточнить

с

И

точностью

ε =10−6 все корни

системы нелинейных уравнений.

Д

sin(x1 + x2 ) − x2 −1,2 = 0;

1) + x2 −0,1 = 0;

1)

А

4)

sin(x1 −

2 = 0.

2x1 +cos x2 −

x1 −sin(x2 +1) −0,8 = 0.

cos(x1 −1) + x2 −0,5 = 0;

cos(x1 +0,5) + x2 −0,8 = 0;

2)

5)

2 = 0.

б

2x1 −1,6 = 0.

sin x1 + 2x2 −

sin x2 −

3)

sin(0,5x1 + x2 ) −1,2x2

−1 = 0;

6)

tan(x x

) − x

2 = 0;

2

2

−1 =

0.

и

1 2

2

x1

+ x2

2

+

2x2

2

−1 = 0.

0,8x1

11.3. ПлохоСобусловленные системы линейных алгебраических

уравнений

Задание. Решить плохо обусловленные системы алгебраических уравнений различными методами.

1.	1,03x1 + 0,991x2		= 2,51;	3.	1,05x1 +0,992x2		= 2,53;
		+ 0,94x2	= 2,41.			+0,942x2 = 2,43.
	0,991x1				0,991x1
2.	1,04x1 +0,992x2		= 2,52;	4.	1,06x1 +0,994x2		= 2,54;
		+0,941x2 = 2,42.				+0,943x2 = 2,44.
	0,991x1				0,991x1

41

5.	1,07x1 +0,995x2 = 2,55;	6.	1,08x		+0,996x			= 0,502;
				1			2
	0,991x1 +0,944x2 = 2,45.		0,991x			+0,944x		2	= 0,482.
					1

11.4. Решение уравнений методом простой итерации

Задание:

1.Отделить корни уравнения таблично и графически:

•составить таблицу значений функции f(x);

•построить график функции (убедиться в наличии корней уравнения);

•в таблице выделить отрезки, на которых функция меняет знак.

2.Преобразовать уравнение к виду x=ϕ(x).

3.Вычислить значение ϕ’(x) на каждомИотрезке и проверить условие сходимости.

4.Уточнить корни уравнения наДкаждом отрезке с точностью

ε=0,0001.

1)х3 – 6x + 3 = 0, на отрезке [0; 1] с точностью =0,00005;

2)x + lnx – 3 = 0, на отрезкеб[0,1; 5];

3)2ex + 5x + 1 = 0, на отрезке [-4; 4];

4)e-x – x – 2 = 0, ина отрезке [-2; 2], замена вида x=-ln(x+2);

5)х3 – 4x –1 = 0, на отрезке [-0,5; 0] с точностью =0,0003;

6)x5 – 5x + 5 = 0, замена в да x=x – 0,01 f(x);

7)х3 – 3x +С1 = 0, на отрезке [0; 0,9] с точностью =0,0005.А

X	45	36	25,89	12,54	10,5	10,25	15,45	25,9	31,8
F(x)	120	100	75	40,5	36,8	10,5	20,5	50,3	65

1.Построить график функции (тип – точечная).

2.Добавить на диаграмме линию тренда линейного типа.

3.Скопировать диаграмму и вставить 2 копии.

4.Изменить тип линии тренда: для первой копии – на степенной, для второй – на полиномиальный второй степени.

42

5.Сравнить величину R2 для каждой линии тренда (линейной, степенной, полиномиальной).

6.Получить уравнения регрессии с помощью линий тренда.

7.Получить уравнения регрессии с помощью сервиса «Поиск решений».

8.Получить уравнения регрессии с помощью соответствующих формул для вычисления параметров приближающих функций.

9.Вычислить для линейной зависимости коэффициент корреляции по формуле и с помощью встроенной функции Excel.

10.Построить на одной диаграмме графики трех полученных функций (вид – сглаженная линия без маркеров) и исходных данных из таблицы (вид – маркеры).

							И
Задание 2. Для приведенных ниже исходных данных найти
уравнение линейной регрессии и уравнение регрессии вида
y = b + a1x1 + a2x2 + a3x12		+ a4x22			Д
				+ a5x1x2.
Выполнить оценку достоверности полученного уравнения
регрессии и его коэффициентов.
	X1		X2				Y
	1		2				100
	и
	4		5				800
			А
	6		10				1000
	7		11				1100
С
	8 б12						1200
9			13				1100
	10		14				900
	12		15				750
	13		17				500
	15		18				300
	17		20				100

11.6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Задание 1. Решить задачу Коши методом Эйлера:

1)y’ = yx2 + x3, y(0)=1, 0≤x≤1, h=0,1;

2)y’ = y + cosx, y(2)=2, 2≤x≤3, h=0,05;

3)y’ + y = x2, y(0)=2, 0≤x≤1, h=0,1;

4)y’ = 2y + 3x + 1, y(0)=0, 0≤x≤1, h=0,1;

43