1369

			B3O3			O1B1		.									(1.19)
			O3O2
						O1O2									ор
B O C O C O							1				3					;
3	3	3		3	2	2			2			2					(1.20)

O1B1 C1O1 C2B2 ос ор .

2 2

Подставим (1.20) в (1.19) и, проводя арифметические преобразования, получим

			1 3		OP		OP .				(1.21)
						OC
В выражении			OP	b;		OP a.
		OC
Соответствующая предельному состоянию формула (1.21) принимает
вид								OP
		расч 1				3				R,	(1.22)
									OC
где R – расчетное сопротивление при растяжении.
Отношение	OР	учитывает различные свойства сопротивляющегося
OC

материала растяжению и сжатию.

1.3. Понятие о неклассических теориях прочности

Рассмотренные классические теории прочности в настоящее время широко применяются для таких материалов, как сталь и бетон, используемых практически повсеместно во всех видах строительства. Однако в последние десятилетия появилось много новых материалов, для которых эти теории не подходят. К таким материалам относятся пластмассы, пластики, композиты и другие.

При построении классических теорий составлялись условия соответствия напряженного состояния на основе трех главных напряжений 1, 2 ,3. В общем виде названные условия описываются следующей функцией:

f ( 1, 2, 3) 0.

(1.23)

В соответствии с энергетической теорией (1.23) можно записать:

21

2	2	2		2		3		1	2	0.	(1.24)
1	2	3	1		2		3		0

Построение неклассических теорий прочности осуществляется путем отыскания и подбора таких функций, которые позволили бы как можно более полно учитывать различные механические свойства материалов. Так, в одной из теорий предлагается (Ю.И. Ягн) полином второй степени

( 1 2)2 ( 2 3)2 ( 3 1)2 m( 1 2 3)2 n 1 2 3 l. (1.25)

Коэффициенты m, n и l находят из опыта при испытании материала соответственно на растяжение, сжатие и кручение. В первом случае (на растяжение), когда 2 = 3 = 0, а 1 = R, а для сжатия 1 = 3 = 0; 2 =

= Rсж , и, наконец, для кручения 1 = 2 = Rкр, а 3 = 0, находят

2R	2	mR		2	nR		2	l;
	p			p			p
2R	2		mR		2	nR2			l;	(1.26)
	сж			cж				сж
6R	2		l.
	кр

Из решения этой системы получают

		6R2		2R		R
m		кр				p сж			;
			RpRсж
	6R2		(R		R		p	)
n		кр		сж						;	(1.27)

RрRсж

l 6Rкр2 .

Подставив (1.27) в (1.25), получают искомое условие прочности

	( 1 2)	2	( 2 3)		2	( 3 1)	2			6Rкр2	2RpRсж
										RpRсж
				6Rкр2 Rсж Rp
	( 1 2		3)2					1 2			3 6Rкр2 . (1.28)
						RрRсж

Представленная теория прочности является более общей и ее частным случаем является энергетическая теория прочности. Недостатком этой теории прочности является то, что она пока недостаточно подтверждена экспериментом.

22

23

2.ОСНОВЫ РАСЧЁТА БАЛОК, ЛЕЖАЩИХ НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

2.1.Общие положения расчета

Встроительстве как транспортных, так и других сооружений имеется много конструкций, которые работают, находясь непосредственно на грунте. Например, ленточные фундаменты, шпалы, бордюры проезжей части и другие. Грунт в зависимости от его составляющих и состояния может быть как упругой, так и вязкопластичной средой.

Вопросы, связанные с рассмотрением грунта как вязкопластичной среды, являются предметом отдельного направления в науке о механике деформируемого твёрдого тела.

Всопротивлении материалов в соответствии с одной из его гипотез рассматривается только упругая среда, когда возникшие в результате действия на нее нагрузки деформации после снятия этой нагрузки полностью восстанавливаются. Расчет балки, лежащей на сплошном упругом основании, не может быть выполнен с помощью только трех уравнений статики, так как система «балка+основание» (рис. 2.1, а) является бесконечно большое число раз статически неопределимой системой. Уравнения статики в этой задаче позволяют найти только суммарную реакцию со стороны основания, но не дают возможность найти закон распределения реакции основания по длине балки. Величина реакции в каждой точке контакта балки

соснованием функционально связана с прогибом, т.е. r f .

Для упрощения решения этой бесконечно большое число раз статически неопределимой системы, как это принято в сопромате, вводят упрощения (гипотезы).

Штамп

Упругое основание
	Винклерово основание
а	б
	Рис. 2.1

Гипотеза о пропорциональной зависимости между реакцией и осадкой основания. Среди большого количества моделей упругого основания наиболее простой и соответствующей инженерным расчетам является модель, предложенная Винклером. Он предложил представлять упругое основание (рис. 2.1, б) в виде бесконечно большого числа абсолютно упругих пружин. Тогда работу такого основания можно проиллюстрировать.

24

Гипотеза – упругое основание одинаково работает на восприятие сжатия и растяжения.

Гипотеза (косвенно связана с винклеровым основанием) – деформация основания за пределами балки не учитывается.

F

Рис. 2.2

Работа винклерова основания иллюстрируется на рис. 2.2, когда рассматриваются нагружение и разгружение этого основания с использованием круглого штампа. При приложении к штампу силы F будут деформироваться только те пружины, которые находятся непосредственно под штампом.

2.2.Вывод дифференциального уравнения изогнутой оси балки, лежащей на сплошном упругом основании

Покажем балку (рис. 2.3), лежащую на сплошном упругом основании и загруженную по произвольному q(z) закону распределённой нагрузкой. В результате такого действия основание просядет и в произвольном сечении z просадка будет равна z .

Согласно первой гипотезе реакция r(z) основания, возникающая по всей длине балки, будет прямо пропорциональна просадке z основания, что аналитически соответствует выражению

r z k z .

(2.1)

q(z)

z

y

(z)

r(z)

z

Рис. 2.3

25

В выражении (2.1) коэффициент пропорциональности k представляет собой силу, приложенную к единице длины балки со стороны основания при просадке (z) = 1.

Коэффициент пропорциональности k связан с шириной балки b зависимостью k k b, в которой k является коэффициентом податливости основания (коэффициент постели), имеющим размерность кН/м³. При b = 1 справедливо равенство k k , что и используется в дальнейших теоретических выводах.

Рассмотрим равновесие системы «нагрузка + балка + упругое основание», спроецируем на вертикальную ось все силы, действующие на эту

систему и найдём выражение (2.2)			для определения полной q z			на-
грузки:
у q z q z k z .						(2.2)
Далее воспользуемся известной из теории изгиба зависимостью
	d2			M z	.	(2.3)
	dz2
				EJ

Однако воспользоваться зависимостью (2.2) напрямую трудно, так как функция изгибающего момента М z выражается через функцию z просадки с помощью интеграла. Поэтому в данном случае удобно воспользоваться другими дифференциальными зависимостями, известными из теории изгиба:

dM

d

d2

d3

dQ

d

d3

d4

Q

EJ

EJ

и q

EJ

EJ

.

2

3

3

4

dz

dz

dz

dz

dz

dz

dz

dz

Тогда, полагая qп(z) равномерно распределенной нагрузкой и жёсткость EJ постоянной по длине балки, на основе приведённых дифференциальных зависимостей составим равенство

	d4			q z k z				.		(2.4)
	dz4
					EJ
Преобразуем выражение (2.4), перенося все слагаемые, связанные с
прогибом, в левую часть:
	d4		k z				q z		.	(2.5)
	dz4
				EJ			EJ

Приводя полученное неоднородное дифференциальное уравнение (2.5), описывающее изгиб системы «балка + упругое основание», к виду, удоб-

ному для интегрирования, обозначим отношение k 4 4.

EJ

26

Отсюда 4 k . После такого преобразования уравнение (2.5) при-

4EJ

мет вид

d4	4 4 z	q z			.	(2.6)
dz4		EJ

Для случая, когда q(z) = 0, уравнение (2.6) становится однородным и им удобно пользоваться. Если же q линейно зависит от z, то уравнение (2.6) целесообразно преобразовать. Для этого продифференцируем уравнение (2.6) дважды:

	4			4		1
		z	4		z			q z .	(2.7)

EJ

Перенесём в уравнении (2.7) изгибную жёсткость EJ в левую часть, сделав при этом арифметические преобразования, связанные с обозначениями производных:

	IV	4	4			(2.8)
EJ z				EJ z q z .

В уравнении (2.8) нетрудно заметить, что слагаемые в левой части, взятые в скобки, представляют собой согласно приведённой дифференциальной зависимости изгибающий момент M z EJ z . Подставляя это в уравнение (2.8), получим

d4M	4	4		(2.9)
dz4
			M z q z .

Дифференциальные уравнения (2.6) и (2.9) являются равносильными и ими пользуются при решении различных задач расчёта балок, лежащих на сплошном упругом основании.

2.3.Понятие о расчете коротких балок, лежащих на сплошном упругом основании

Воспользуемся уравнением (2.9), в котором примем, что q линейно зависит от z. В этом случае правая часть этого уравнения окажется равной нулю. Тогда

	d4M	4 4M z 0.	(2.10)
	dz4

Для решения подобных дифференциальных уравнений используется известный метод, разработанный академиком А.Н. Крыловым. В соответ-

27

ствии с этим методом решение однородного дифференциального уравнения (2.10) записывают следующим образом:

M z A Y1 z B Y2 z C Y3 z D Y4 z .

(2.11)

В решении (2.11) Y1(z), Y2(z), Y3(z), Y4(z) представляют собой так называемые специальные функции Крылова:

Y1 z ch z cos z;
		z	1	ch z sin z sh z cos z ;
Y
			2
	2				(2.12)
Y z sh z sin z;
	3
		z	1	ch z sin z sh z cos z .
Y
			4
	4

Характерным свойством функций Крылова является их дифференциальная зависимость между собой. В качестве примера рассмотрим функцию Y1(z). Распишем в ней гиперболические функции через соответствующие им показательные функции:

Y z ch z cos z	e z	e z	cos z	1	e z cos z	1	e z cos z.
1		2	2		2

Возьмём первую производную от функции Y1(z):

Y z 1 e z cos z 1e z sin z 1 e z cos z

2			2	2
	1	e z sin z ch z sin z cos z sh z			4	4 Y	z . (2.13)
2					4	4

Аналогичные преобразования можно провести и с другими функциями Крылова. В табл. 2.1 приведены зависимости, которые используются в дальнейших теоретических обоснованиях работы коротких балок, лежащих на сплошном упругом основании.

Вернемся к уравнению (2.11) и возьмем первую производную от этого уравнения по параметру z:

dM					z
dz	Q AY1 z BY2		z CY3	z DY4
4 AY4 z BY1 z CY2 z DY3 z .						(2.14)

Проводя с использованием данных в приведённой таблице дальнейшее дифференцирование, получим

28

d2M dQ

dz2 dz qп z k z

AY1

z BY2 z CY3 z

2

AY3 z 4

2

Y4 z

2

CY1 z

2

DY2 z ; (2.15)

DY4 z 4

ddz3M3 q z k z 4 3AY2 z 4 3BY3 z 4 3CY4 z 3DY1 z . (2.16)

					Таблица 2.1
	Дифференциальные зависимости между функциями Крылова
№	Функции		Производные
п/п
		I	II	III		IV
1	Y1(z) = ch z cos z	– 4 Y4(z)	– 4 2Y3(z)	– 4 3Y2(z)		– 4 4Y1(z)
2	Y2(z) = (ch z sin z + cos z sh z) / 2	Y1(z)	– 4 2Y4(z)	– 4 3Y3(z)		– 4 4Y2(z)
3	Y3(z) = sh z sin z	Y2(z)	2Y1(z)	– 4 3Y4(z)		– 4 4Y3(z)
4	Y4(z) = (ch z sin z – cos z sh z) / 4	Y3(z)	2Y2(z)	3Y1(z)		– 4 4Y4(z)

Для определения постоянных интегрирования A, B, C и D используем граничные условия, обозначив внутренние силовые факторы, перемещения

ивнешние нагрузки, имеющиеся в начале координат, куда помещён левый край рассчитываемой балки, следующим образом: при z = 0 M = M0; Q = Q0

иq – k = q0 – k 0; q k q0 k z .

Подставим в функции Крылова (2.12) z = 0. Тогда Y1(0) = 1; Y2 =Y3 = = Y4 = 0. Подставляя полученные значения Y1(0), Y2(0), Y3(0) и Y4(0) соответственно в (2.14), (2.15) и (2.16), а также в (2.11), найдем значения

постоянных интегрирования: А М0;	B	1	Q0;	C	1	q0 k 0 и
					2

1

D q0 k 0 . Подставим значения постоянных интегрирования A, B,

3

C и D в исходные уравнения, запишем

M z M Y z Q						1	Y z			q0		k 0		Y z				q k 0			Y z .				(2.17)
																			3
0 1					0 2							2		3							4
Q z M	0		4 Y		z Q Y z						q0 k 0				Y z				q0 k 0			Y z .			(2.18)
				4	0			1						2					2		3
q z k z M		0		4 2Y z Q				0	4 Y z q				0	k		0	Y z			q0 k 0			Y	2	z . (2.19)
					3				4								1

29

Рис. 2.4

		3			2
		Y2	z Q04 Y3 z
q z k z M04
	4 q0 k 0 Y4 z q0 k 0 Y1 z .							(2.20)
Таким образом, все интересую-						F>0			q>0
щие нас величины внутренних уси-			M>0
лий, перемещений и распределён-
ных нагрузок выражены через их
начальные значения (начальные па-
раметры). Но выражения (2.17)

(2.20) учитывают действие лишь распределенных нагрузок, действующих по всей длине балки или для пер-

вого участка загружения, описываемого одним дифференциальным уравнением. Если на балке имеется несколько участков загружения, то для каждого из них необходимо записывать соответствующее дифференциальное уравнение, учитывающее как внешние сосредоточенные факторы (рис. 2.4) F и M, так и распределённые нагрузки. Опуская доказательства, запишим итоговые выражения, с помощью которых можно определять количественные значения внутренних усилий в сечениях балки и их перемещения, а также строить эпюры этих усилий и перемещений.

z Y z

1

Y z

1

M

0

Y z

1

Q

Y z

0

0 1

0 2

2 EJ

x

3

3 EJ

x

4

F

m

Mi

1

n

j

1

Y z b

p

q 1

Y z a

Y z c Y z d

;

i 1EJx

2

3

i

j 1 EJx 3

4

j

l 1EJx 4

1

l

1

l

z z 4 Y z Y z

1 M

0

Y z

1 Q

Y z

0

4

0 1

EJx

2

2 EJx

3

m M 1

z ai

n Fj

1

Y3

p q 1

Y4

z cl Y4 z dl ;

i

Y2

z bj

i 1EJx

j 1EJx 2

l 1EJx 3

2

Y z

Y z M

Y z

1

Q0

Y z

4 EJ

4 EJ

z M z

x

x

EJx

0

3

0

4

0 1

2

m

n

Fj

p

M

Y

z a

Y

z b

q

Y

z c

Y

z d

;

i 1

i

1

i

j 1

2

j

l 1 2

3

l

3

l

Q z 4

3

EJx 0Y2 z 4

2

EJx 0Y3 z 4 M0Y4 z Q0Y1 z

z

m

n

p

1

4 M Y z a

F Y z b

j

q Y z c Y z d

l

.

i 1

i 4

i

j 1

j

1

l 1

2

l

2

30