1369

V	M>0	F>0		q>0

a	z
b	c
	d
Рис. 2.5

В формулах, ограниченных фигурной скобкой, знаки «+» перед последними тремя слагаемыми поставлены из следующей схемы (рис. 2.5) действия M, F и q.

3. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

3.1. Сочетания видов деформирования стержня

Ранее мы рассматривали простейшие виды деформаций: осевое растяжение или сжатие, сдвиг, кручение, изгиб в главной плоскости. В общем случае, как известно, в поперечном сечении стержня от воздействия на него внешних нагрузок может возникнуть шесть компонент внутренних силовых факторов: Qx, Qy , Mx , My , Т и N.

Исходя из принципа суперпозиции, совместное действие ука-

занных усилий приводит к появлению в сечении стержня напря-

женного состояния, которое можно получить суммированием на-

пряженных состояний, вызванных действием каждого силового

фактора отдельно. Сказанное иллюстрируется следующим анали-

тическим выражением:

f Qx,Qy, Mx, My,T, N f Qx

31

f Qy f Mx f My f T f N .

(3.1)

Такой вид деформирования стержня, при котором в поперечном

сечении стержня возникает комбинация внутренних силовых фак-

торов, называется сложным сопротивлением. Однако на практике

одновременное возникновение всех шести внутренних силовых

факторов встречается достаточно редко.

В настоящем учебном пособии рассмотрим такие виды сложного сопротивления, как косой изгиб и изгиб с растяжением или сжатием.

3.2. Косой изгиб

Косой изгиб возникает тогда, когда плоскость действия внешних нагрузок не совпадает хотя бы с одной из главных плоскостей попе-

речного сечения стержня. Например, случай, показанный на рис. 3.1, когда плоскость действия силы F находится под некоторым углом к главным плоскостям равнополочного уголка, жёсткозаделанного в стену.

При действии косого изгиба в поперечном сечении стержня возникают два изгибающего момента Mх и Mу, действующих в двух вза- имно-перпен-дикулярных плоскостях.

Пусть на консольную балку (рис. 3.2), имеющую прямоугольное поперечное сечение, к ее свободному от закрепления краю в центре тяжести сечения под углом к оси 0y приложена сила F.

Главные оси

F

Рис. 3.1

32

				1		y	2
			z	Fx		0	x
				4
	z						3
				F
			F			Fy

Рис. 3.2

Проецируя эту силу на оси х и у соответственно, получим

Fy = F cos и Fx = F sin .

(3.2)

Тогда в сечении на расстоянии z от незакреплённого края стержня возникнут моменты

Мх Fy z F z cos и M y Fx z F z sin . (3.3)

Выражениями (3.3) доказывается, что в каждом сечении стержня возникают одновременно два изгибающих момента, которые создают изгиб в двух главных плоскостях.

Снова воспользуемся принципом суперпозиции и найдем напряжения отдельно от каждого из изгибающих моментов. Найдем напряжения в точке, расположенной в положительной четверти.

	M	x	y	My	x.	(3.4)
				Jy
	Jx

Для угловых крайних точек симметричного поперечного сечения стержня, для которых модули координат x и y достигают максимальных значений, выражение (3.4) можно переписать

σ2

M

x

My

,

(3.5)

σ1

Wx

Wy

σ1

y

σ2

где Wx и Wy – моменты сопро-

1

2

n

x

тив-ления.

На рис. 3.3 показаны эпю-

n

ры напряжений, возникающие

на гранях прямоугольного по-

перечного сечения стержня,

4

3 σ3

σ4

подверженного действию косо-

σ4

σ3

го изгиба.

Для точек 1, 2, 3, 4, учиты-

Рис. 3.3

33

вая при определении знаков физический смысл задачи, можно запи-

сать

Fy z

F z

Fy z

F z

Fy z

F

z

Fyz

F z

1

x ; 2

x

; 3

x

; 4

x .

Wx

Wy

Wx

Wy

Wx

Wy

Wx

Wy

(3.6)

Вычислив напряжения, можно построить (см. рис. 3.3) эпюры

и найти положение нулевой линии n – n, в которой напряжения во

всех точках равны нулю.

Замечание: формула (3.5) действительна только для тех точек,

которые принадлежат одновременно наиболее удаленным от главных

осей инерции волокнам. В случае не-

1

2 симметричной формы поперечного се-

Главные оси

3

чения стержня (рис. 3.4) для определе-

ния напряжений необходимо поль-

зоваться формулой (3.4).

Условие прочности при косом из-

Рис. 3.4

гибе записывается

M

x

My

extr

x R,

y

Jx

Jy

(3.7)

где R расчётное сопротивление материала стержня на изгиб.

3.3. Определение положения нулевой линии при косом изгибе

В отличие от плоского (прямого) изгиба, при котором нулевая линия обязательно совпадает с одной из главных осей (осей симметрии), при косом изгибе, как это видно из рис. 3.3, нулевая линия не совпадает ни с одной из осей симметрии.

Положение нулевой линии согласно её определению при косом изгибе можно установить, приравняв к нулю выражение (3.4):

	M	x	yn		My	xn	0.
					Jy
	Jx

(3.8)

В формуле (3.8) хn и yn координаты, которые нулевая линия отсекает на соответствующих осях. Находя из (3.8) отношение этих координат, получим

34

	y	n		M y		J	x	.	(3.9)
				Mx
	xn					Jy

Для случая, когда оси координат выбраны так, что My и Mx имеют одинаковые знаки, правая часть выражения (3.9) будет положительна, тогда выражение (3.9) удовлетворится в том случае, если хn и yn по знакам будут различны. Тогда справедливой будет запись

	tg	yn		My		Jx	.	(3.10)
		xn		Mx		Jy

На рис. 3.5 показано положение нулевой линии при косом изгибе.

			n		y
							x
	z						n
			F
			F

Рис. 3.5

Подставляя в выражение (3.10) соответствующие аналитические выражения (3.3), после арифметических преобразований получим

	tg	Jx	tg .	(3.11)
		Jy

Выражение (3.11) указывает на то, что угол между линией действия внешней нагрузки и нейтральной линией не всегда прямой. Это зависит от отношения Jx /Jy . В случае равенства осевых моментов

инерции (при круглой или квадратной формах поперечного сечения стержня) нейтральная линия будет перпендикулярна линии действия внешней нагрузки.

3.4. Прогибы при косом изгибе

Вначале определим прогибы при плоском изгибе, рассматривая ту же консольную балку (рис. 3.6), что былаиспользована в подразд. 3.2. Для определения прогибов используем известную из теории изгиба зависимость

35

y

F

d2

Mx z

.

(3.12)

dz2

EJx

O

z

z

В произвольном сечении изгибающий

L

момент Mx z F z . Подставив это вы-

Рис. 3.6

ражение изгибающего момента в выраже-

ние (3.12), полу-

чим

EJx z F L z .

(3.13)

Для получения аналитического выражения для определения прогиба z дважды проинтегрируем дифференциальное уравнение (3.13), описывающее изгиб рассматриваемого стержня.

EJx z F L z dz C1

(FLz F

z2

) C1.

(3.14)

L

2

EJ z FLzdz F

z2

dz C dz C

2

FL

z2

F

z3

C z C

2

.

x

L 2

L

1

2

6

1

L

(3.15)

Постоянные интегрирования С1 и С2 находят исходя из условий закрепления стержня. В данной задаче в защемлении при z = 0 прогиб0 0 и угол поворота 0 0. Подставляя z = 0 в (3.14) и (3.15), найдём, что С1 = 0 и С2 = 0. Тогда из (3.15) аналитическое выражение для прогиба рассматриваемой консольной балки примет вид

FLz2 Fz3

z	2	6	.	(3.16)
	EJx

Подставляя в (3.16) z = L, получим формулу для определения прогиба незакреплённого края консольной балки при действии в этой точке сосредоточенной силы F.

L	FL3	.	(3.17)
	3EJx

При косом изгибе, как известно, сосредоточенную силу F раскладывают на две составляющие: Fx и Fy . От действия этих сил формулы

для определения прогибов получатся

x		F	x	L3	и y		FyL3
								.	(3.18)
		3EJ y
							3EJx

36

Тогда полный прогиб можно найти как геометрическую сумму:
	полн х2	у2 .			(3.19)
Теперь найдем направление полного прогиба, записав отношение
прогибов х и	у :
х	tg FxL3 3EJx	Fsin Jx	tg Jx .		(3.20)
у	3EJy FyL3	Fcos Jy	Jy
Из сопоставления формул (3.11) и (3.20)				y
ясно, что = и что направление прогибов
перпендикулярно нулевой линии. Вместе с			n		x
тем необходимо сделать еще один важный
вывод направление полного прогиба не					n
совпадает с направлением действующей си-			υx
лы.					υy
Из анализа рис. 3.7 очевидно, что нуле-
			υполн
вая линия n – n не перпендикулярна линии
действия силы F. Отличие от прямого угла			F
тем больше, чем больше разница между дву-			Рис. 3.7
мя главными моментами инерции. И лишь в
частном случае для симметричного сечения,
когда линия действия силы F совпадает с одной из диагоналей, этот
угол становится прямым.

3.5. Одновременное действие изгиба и продольной силы
Расчеты на совместное действие изгиба и продольной силы можно
	n				на основе принципа суперпозиции
					свести к расчетам на изгиб (рис.
		М			3.8) при действии на стержень
				F	продольно-попе-речных нагрузок и
		N
y				2	расчету на внецентренное действие
					продольной силы (рис. 3.9).
	С				В этом случае (см. рис. 3.8) в
	n	N	y		поперечных сечениях бруса будут
				F1	возникать такие внутренние сило-
	Mx
My				A	вые факторы, как изгибающий мо-
	Рис. 3.8		y	x	мент M, продольная сила N и попе-
		x zC			речная сила Q. При этом нормаль-
					37

ные напряжения согласно при-нятым ранее гипотезам будут являться функциями только М и N.

Согласно изложенному нормальные напряжения в любой точке любого поперечного сечения можно найти из выражения

	N		M	x	у	M y	х. (3.21)
	A					Jy
			Jx

Пользуясь этой формулой, можно определить напряжение не только в любой точке стержня, но и найти наибольшее напряжение

в конкретной точке поперечного сечения стерж-

Рис. 3.9 ня.

Замечание: для определения наибольших напряжений в стержнях с простым поперечным сечением (круг, двутавр и другие) достаточно вычислить напряжения для характерных точек. При сложном поперечном сечении сначала находят положение нулевой линии n n и отыскивают наиболее удаленную от этой линии точку сечения.

3.6.Определение напряжений при внецентренном сжатии

Встроительстве часто встречаются задачи расчета опор, на которые передается воздействие от несущих конструкций (рис. 3.10).

Покажем рассматриваемую опору (рис. 3.11) в аксонометрии. В произвольном поперечном сечении тела опоры возникают нормальные напряжения, которые определяются нормальной сжимающей си-

лой N = F и двумя изгибающими моментами, которые соответственно равны Мх F yF и М y F xF .

Тогда нормальное напряжение к в любой точке К, лежащей в положительной четверти произвольного поперечного сечения, может быть определено по выражению

к		N		M	x	yк		M y	xк .	(3.22)
		A						J y
				Jx

38

e

y

F

	x	F
		y	x

			yK
			xK
	Рис. 3.10		Рис. 3.11
	Рассмотрим теперь жесткий стержень,		y
			B	F D
	имеющий прямоугольное поперечное сечение,
	сила F при этом действует в точке, располо-		e	x
	женной на одной из осей. Пусть yF = 0, а xF = e,		b
	тогда (3.22) для крайних точек B
	F Mx F		e	F
	A Wx	a b

	F e		F		6e
				1		.	(3.23)
	(a b2 /6)
			a b		b

Проанализируем выражение (3.23), меняя е, т.е. как бы перемещая силу F по оси Ox.

Так, при e = 0 напряжение F . Обозначим

A

для упрощения анализа d = b/6, тогда (3.23) запишем

	F		e
		1		.	(3.24)
	A		d
Пусть e < d, тогда e / d < 1; σB < 0;					σD < 0,

т.е. эпюра напряжений σ будет иметь один знак.

Пусть e = d, тогда e/d = 1; σB = 0, а D 2F A

0 N A

е = 0

0 N A

е < d

0 N A

e = d

0 N A

e > d

Рис. 3.12

0. Пусть e > d, то-

гда σB > 0, а σD < 0.

Таким образом, от положения силы F зависит знак напряжения σ. При этом эпюра σ может быть как однозначной, так и двухзначной.

39

3.7.Определение положения нулевой линии при внецентренном сжатии

Подставим в (3.22) выражение для Мх и Му , вынося отношение

F/A за скобку:

F

F y

F

y

F x

F

x

F

1

A

Jx

J y

A

y

F

y

x

F

x

.

(3.25)

J

x

J

y

A

A

Учтя, что знаменатели слагаемых в скобке представляют собой

2

Jx

2

Jу

квадраты радиусов инерции ix

и iу

, выражение (3.25)

A

A

примет следующий вид:

F

y

F

y

x

F

x

1

.

(3.26)

2

2

A

iX

iY

Поскольку требуется найти положение нулевой линии, представляющей собой совокупность точек, в которых нормальные напряжения равны нулю, приравняем выражение (3.26), поставив индекс n у координат, которые нулевая линия отсекает на соответствующих осях.

F

y

F

y

n

x

F

x

n

1

0.

(3.27)

2

2

A

ix

iy

Но отношение

F

не может быть равно 0, значит, в выражении

A

(3.27) должна быть равна 0 сумма слагаемых в скобке:

1

yF yn

xF xn

0.

(3.28)

i2

i2

X

Y

Используя выражение (3.28), можно определить отрезки xn = ax и yn = ay , отсекаемые нулевой линией на соответствующих осях координат.

Пусть xn = 0. Тогда

	1	yFaу	0.	(3.29)
		iх2

Пусть yn = 0. Тогда

40