1369

Рис. 4.8

соответствии с которыми при z = 0 линейное перемещение (0) = 0 и

угловое перемещение (0)= 0, а при z = l	линейное перемещение (l)
= 0.

Возьмём соответствующие производные от выражения (4.21)

Q

2

coskz Bk

2

sinkz .

z Aksinkz Bkcoskz

и

z Ak

F

Подставим в (4.20) и производные z = 0, соответственно

z = l. То-

гда

Q

0 Аcosk0 Bsink0

l 0;

F

Q

0;

(4.22)

0 Aksink0 Bkcosk0

F

2

2

coskl Bk

sinkl 0.

l Ak

Ненулевое решение этой системы уравнений будет при условии

1

0

l

D

0

k

1

0.

k2 coskl

k2 sinkl

0

После раскрытия этого определителя получается триго-

нометрическое уравнение tgkl kl , которое удовлетворяет-

ся при kl = 4,443. Отсюда находим k 4,443/l. Из этого

следует k2

2

. Тогда критическая сила для рассмат-

(0,7l)2

риваемого стержня может быть определена из формулы

F

2EJmin

.

(4.23)

кр

0,7l 2

При рассмотрении сжатого стержня (рис. 4.8), защемлённого с обеих сторон, для вывода формулы по определе-

нию критической силы был использован приведенный метод для трёх предыдущих видов закрепления стержня. В результате была получена формула

	F		2EJ	.	(4.24)
		(0,5l)2
	кр

Сопоставляя формулы для определения критической силы Fкр

для различных видов закрепления стержня, нетрудно заметить, что отличаются они друг от друга только знаменателем. Обозначая в фор-

51

мулах (4.10), (4.17), (4.23) и (4.24) коэффициент в знаменателе, стоя-
щий перед длиной стержня l, символом , получим формулу
			F	2EJ .					(4.25)
			кр	( l)2
Это формула в сопротивлении материалов носит название фор-
							мулы	Эйлера		и
				2EJ			применяется			для
Fкр		2	EJ				определения значе-
				Fкр		2	ния	критической
		l2		(2l)
	1			2			силы Fкр		при	раз-
							личных	видах		за-
							крепления		сжатого
							вдоль	его		оси
							стержня. В формуле
							Эйлера	μ	является
							коэффициентом,
							описывающим			спо-
0,7							соб	закрепления
							стержня, а его про-
				0,5
	2EJ						изведение на длину
F				Fкр	2EJ
кр	(0,7l)2				(0,5l)2		стержня l называет-
							ся свободной (при-
		Рис. 4.9					ве-дённой)		длиной
							l0 = l стержня. На
рис. 4.9 показаны различные схемы стержней со значениями их сво-
бодных длин.

4.3. Пределы применимости формулы Эйлера

Инженерная практика применения формулы Эйлера показала, что она действительна только тогда, когда в поперечном сечении стержня нормальные напряжения не превышают предела pr пропорциональности.

52

Для установления предела применимости формулы Эйлера выполним следующие преобразования. Критическое напряжение кр в поперечном сечении сжатого стержня можно определить из формулы

кр		Fкр	.
		А

Подставив в (4.26) формулу Эйлера, получим

	кр			2EJ	min	.
			l 2 A

(4.26)

(4.27)

Отношение в (4.27)	Jmin	imin2	представляет собой квадрат ми-
	A

нимального радиуса инерции, который перенесём в знаменатель фор-

мулы (4.27):

	кр		2Е			.	(4.28)
			l		2

imin

Отношение в скобках знаменателя формулы (4.28) в сопротивлении материалов носит название гибкости стержня:

l .

					i
	Тогда формула (4.26) примет вид				(4.29)
	кр		2	E .	(4.30)
			2

Приравнивая (4.30) пределу пропорциональности pr , получим формулу для определения предельного 0 значения гибкости:

		E	.	(4.31)
0	pr

Если в результате расчёта оказывается, что 0, можно применять формулу Эйлера. В случае, если 0, – нельзя. Так, для некоторых видов стали при модуле упругости E=2,1·107 Н/см2 и при пре-

53

деле	пропорциональности			pr =			2	·	104	Н/см2
0	10 2,1 107
		100.
	2 104
Таким образом, с помощью предельной гибкости 0									могут быть
определены границы применимости формулы Эйлера.
Ф.С. Ясинский обработал большое число опытных данных по
оценке устойчивости сжатых стержней и предложил простую эмпири-
ческую зависимость, с помощью которой определяют критическое
нормальное напряжение:
			кр a b .							(4.32)
В формуле (4.32), носящей имя Ф.С. Ясинского, параметры a и b
представляют собой постоянные, полученные для каждого материала
экспериментальным путём. Например, для мягких сталей a = 310
МПа;	b = 1,14 МПа, для дерева a = 29,3 МПа; b = 0,194 МПа.
	Формула			Схематически изложенное для
				стали	можно		проиллюстрировать
e	Ясинского			(рис.	4.10)	следующим				образом:
		Формула
pr		Эйлера		при гибкости,			находящейся в пре-
				делах 0 50,				стержень является
				настолько		коротким			(гибкость
				очень мала), что решающим в та-
0	50	100		ком случае		оказывается обычный
	Рис. 4.10			прочностной расчет. При гибкости,
				находящейся				в		пределах
50 100, стержень работает в упругопластичной стадии, когда для
определения		критического	напряжения		кр	используется				формула
Ясинского. При гибкости 100 при расчёте на устойчивость исполь-
зуется формула Эйлера.

4.4.Практические расчеты на устойчивость однопролетных стержней

При расчете сжатых стержней должны выполняться два расчета – на прочность и устойчивость. При этом должно быть соблюдено следующее условие:

		F		Fкр	pr ,	(4.33)
		Abr		Abr

54

где F – действующая сжимающая сила; Fкр – сила, определённая по формуле Эйлера.

Для надежной работы сжатого стержня необходимо предусмотреть определенный запас устойчивости

		F		кр	.	(4.34)
		Abr		ny

В формуле (4.34) Аbr представляет собой площадь поперечного

сечения сжатого стержня, а ny – коэффициент запаса устойчивости.

Запишем формулу для расчета на прочность стержня при его растяжении:

	F	R.	(4.35)
	Ant

В (4.35) Ant представляет собой только ту площадь поперечного сечения растянутого стержня, которая испытывает растяжение.

Обозначим отношение правых частей этих формул (4.34) и (4.35)

за некий коэффициент кр . Из этого отношения следует ny R

кр

R.

(4.36)

ny

Коэффициент называется коэффициентом продольного изгиба или коэффициентом понижения напряжений. Коэффициент зависит от критического напряжения и поэтому зависит от гибкости сжатого стержня, что очевидно из формулы (4.31).

В СНиПе на создание любой строительной конструкции коэффициент нормируется в зависимости от материала. В табл. 4.1 даны значения коэффициента , взятые из СНиП II-23-81*.

Таблица 4.1

Таблица коэффициентов продольного изгиба

Гиб-				Сталь							Дюра-	Де-	Бетон
кость	R	у	= 200	R	у	= 400	R	у	= 600	Чугун	люми-		тяжё-	лёг-
											ний	рево	лый	кий
		МПа			МПа			МПа
0	1,000			1,000			1,000			1,00	1,000	1,00	1,00	1,00
10	0,988			0,982			0,977			0,97	0,999	0,99	1,00	1,00
20	0,967			0,949			0,936			0,91	0,998	0,97	0,96	0,96
30	0,939			0,905			0,887			0,81	0,835	0,92	0,90	0,86
40	0,906			0,854			0,820			0,69	0,700	0,87	0,84	0,73
50	0,869			0,796			0,729			0,57	0,568	0,80	0,76	0,68
60	0,827			0,721			0,608			0,44	0,455	0,71	0,70	0,59
70	0,782			0,623			0,494			0,34	0,353	0,61	0,63	0,52
80	0,734			0,532			0,386			0,26	0,269	0,49	0,57	0,46

55

90	0,665	0,447	0,305	0,20	0,212	0,38	0,51
100	0,599	0,369	0,250	0,16	0,172	0,31	0,45
110	0,537	0,306	0,209		0,142	0,28
120	0,479	0,260	0,178		0,119	0,22
130	0,425	0,223	0,153		0,101	0,18
140	0,376	0,195	0,134		0,087	0,16
150	0,328	0,171	0,118		0,076	0,14
160	0,290	0,152	0,105			0,12
170	0,259	0,136	0,094			0,11
180	0,233	0,123	0,085			0,10
190	0,210	0,111	0,077			0,09
200	0,191	0,161	0,071			0,08
210	0,174	0,093	0,069
220	0,160	0,086	0,060

Условие устойчивости центрально сжатого элемента имеет вид

расч			F	R.	(4.37)
			A
			br

Одной из задач любого расчёта является определение размеров поперечного сечения рассматриваемого элемента конструкции.

Определение размеров поперечного сечения сжатых стержней является более сложным, чем растянутых, так как коэффициент φ сам зависит от геометрических характеристик поперечных сечений стержня и поэтому заранее не может быть назначен. В связи с этим подбор сечения в данном случае является итерационным процессом. В сопротивлении материалов сформировалось несколько алгоритмов определения размеров поперечного сечения стержня исходя из условия его устойчивости. Один из алгоритмов предполагает такие шаги: 1) задаются первоначальным значением коэф-

фициента φ1 (как правило, принимают 1 = 0,5);	2) из выражения A	F	находят значение размера площади
	1R

сечения рассчитываемого сжатого стержня; 3) по найденному значению A, зная форму поперечного сечения стержня,

находят минимальный радиус инерции imin; 4) по найденному значению радиуса инерции iminпоперечного сечения стержня находят по формуле (4.29) гибкость λ рассчитываемого стержня; 5) по найденному значению гибкости λ, ис-

пользуя таблицу коэффициентов φ понижения напряжений, находят новое значение 1;					6) используя найденное
значение	, по формуле	F		находят значение нормального напряжения;	7) сравнивают это напря-
1	1A

жение с расчётным сопротивлением материала R, если оказывается, что σ <R, то уменьшают размеры поперечного сечения стержня, а если σ > R, – увеличивают. В обоих случаях изложенный процесс повторяется до тех пор, пока σ ≈R с заданной точностью.

Другой алгоритм аналогичен предыдущему вплоть до пятого действия. Шестым действием ведётся сравнение найденного значения1 с предыдущим значением φ1. Если они отличаются друг от друга на величину больше, чем заданная точность (например, 1%), то дела-

ется следующий шаг итерации с новым 2		1 1	, и так до тех пор,
	2

пока не будет достигнута заданная точность.

56

5.РАСЧЁТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ НА УДАРНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ

Впредыдущих разделах настоящего учебного пособия при расчёте элементов конструкций рассматривалось статическое приложение к стержням внешней нагрузки, когда внешняя нагрузка прикладывалась

кстержню достаточно медленно, меняясь от 0 до какого-то конечного значения, и после этого оставалась неизменной в процессе создания и эксплуатации этого элемента конструкции.

Винженерной практике достаточно часто встречаются нагрузки, которые не остаются неизменными на всех стадиях создания и эксплуатации элемента конструкции.

Нагрузки, которые изменяют во времени свою величину и направ-

ление, называются динамическими нагрузками.

Всё многообразие динамических нагрузок условно классифицируют следующим образом: 1) вибрационные (гармонические); 2) ударные; 3) импульсные; 4) подвижные; 5) сейсмические.

Вцелом динамическая нагрузка представляет собой достаточно

сложную систему, влияние которой как на отдельный элемент кон-

струкции, так и на всё сооружение учесть в полном объёме не все-

гда представляется возможным. В сопротивлении материалов

обычно рассматривается только ударная нагрузка (удар).

Под ударом понимается взаимодействие движущихся тел в результате их соприкосновения, связанное с резким изменением скорости точек этих тел за весьма малый промежуток времени.

На рис. 5.1 показан график изменения силы удара падающего груза в зависимости от времени. В наивысшей точке графика сила удара достигает максимального значения. Вертикаль, проведённая через эту точку, разделяет график на две части, именуемые первой и второй фазами удара.

В первой фазе центры тяжести соударяемых тел сближаются, и сила взаимодействия между ними возрастает до

максимального Fmaxзначения в момент наибольшего сближения тел, когда скорость относительного движения ста-

новится равной нулю.

Во второй фазе центры тяжести тел удаляются друг от друга (отскок), и силы взаимодействия, уменьшаясь, становятся равными нолю или становятся постоянными, равными весу падающего груза, если имеет место неупругий удар.

Импульс силы удара равен изменению количества движения, и может быть найден с достаточно высокой точностью:

Sуд F t dt.	(5.1)
0

57

Рис. 5.2

дин

Максимальную силу Fmax удара и время τ точно определять пока не научились, что связано с несовершенством техники измерения, поэтому проводят условный расчет на удар.

								Главная	цель	расчёта на
F								удар, как правило, заключается
								в том, чтобы найти перемеще-
								ние точки, по которой наносит-
								ся удар, а через это перемеще-
								ние найти внутренние усилия и
								напряжения.	Это перемещение
								называют динамическим, а силу
						Время		Fд, вызывающую это переме-
								щение, – динамической силой.
								Рассмотрим		классический
								пример, когда падающее тело
		Рис.
								весом G ударяется по другому
5.1								телу весом	G0, закрепленному

на невесомой упругой пружине (рис. 5.2). Удар считается абсолютно неупругим. Обозначим жесткость пружины через С (жесткость – сила, вызывающая перемещение пружины на единицу).

Если силу, создаваемую массой G, прижать статически, то можно записать, что

ст = G/C. После удара вследствие полученной первоначальной скорости пружина пере-

местится на дин = Fд/C. Скорость падения груза G,

что известно из курса физики, определяется из формулы

2 2gh.

После соприкосновения оба тела перемещаются вместе с одинаковой скоростью 1. Предполагая, что время τ удара очень мало, считается, что груз G0, получив скорость 1, начал вместе с грузом G сжимать пружину после того, как кончился удар.

Тогда по теореме изменения количества движения можно записать

G	G			G	0				G
						1	=> 1			.	(5.2)
g				g
	g								G G0

58

При дальнейшем совместном движении двух тел пружина сжимает-

ся, а скорость постепенно падает. В момент, когда происходит мак-

симальное сжатие пружины, сила сжатия достигает своего макси-

мума и оказывается равной Fmax = Fд + G0.

Из теоремы об изменении кинетической энергии, согласно которой

приращение кинетической энергии материальной системы за неко-

торый промежуток времени равно сумме работ, приложенных к

системе сил на совершенном ими пути,

V2 V1 A,

(5.3)

где V2 – кинетическая энергия в момент наибольшего сжатия пружины (так как при этом скорость равна нолю, то и кинетическая энергия V2 = 0); V1 – кинетическая энергия после удара в начальный момент движения. С учётом выражения (5.2) она может быть определена из формулы

	G G				G2
V	0		2			2 .	(5.4)
1	2g 1				2g(G G )
					0

Работа всех сил А, приложенных к двум движущимся телам на пути дин , определится из следующей формулы:

A (G G0) дин .

(5.5)

Со стороны пружины на тело действует переменная сила. В начальный момент времени удара эта сила равна весу G0 ударяемого тела. В конце времени удара эта сила будет равна G0 + Fд. График изменения силы во время удара показан на рис. 5.3.

Численно работа равна площади этой эпюры. Работа этой силы будет отрицательна, так как она действует в сторону, противоположную движению. Учитывая, что дин = Fд/C, найдём площадь заштрихованной части графика (см. рис. 5.3) и с учётом (5.5) запишем

59

A (G G0) дин (G0 дин 0,5 динFд)

G дин G0 дин G0 дин 0,5 дин2 С G дин

0,5 2динС.

(5.6)

Исходя из равенства V1 A подставим найденные значения в ра-

венство (5.3) и после арифметических преобразо-

ваний получим

G2

2 G

0,5 C .

(5.7)

2g(G G0)

дин

дин

Из

равенства

стат G/C

следует,

что

G C стат , учтя,

что 2

2gh,

получим

сле-

дующее квадратное уравнение относительно ис-

дин

комого динамического перемещения дин:

Рис. 5.3

2

2 стат дин 2h

стат

дин

0.

G0

1

G

(5.8)

Решая уравнение (5.8), найдём

2

2h

стат

дин стат

стат

.

(5.9)

G0

1

G

Вынесем в (5.9)

стат за скобки:

1

1

2h

.

(5.10)

G

дин

стат

0

1

G

стат

В (5.10) выражение в скобках называется динамическим коэффициентом, который обозначается символом . С учётом этого выражение (5.10) принимает вид

дин стат .

(5.11)

В соответствии с изложенным динамический коэффициент можно

определить по формуле

60