6.3. Моделирование тенденций временного ряда

Одной из важнейших задач исследования показателей экономического временного ряда является выявление основной тенденции изучаемого процесса. Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения

трендов чаще всего применяются следующие функции:
СибАДИ
	линейный тренд:				характеризует, что уровни динамическо-
го ряда		наковой скоростью, т.е. с равным абсолютным при-
	зменяются с од y = a +bt
ростом (параметр b). Теоретические уровни ряда будут изменяться на величи-
ну параметра b, т.е. в ар фметической прогрессии;
	пербола:	= a+		характеризует снижение или возрастание уров-
ней рядагво времениy;
	тренд в форме степенной функции:							применяется при разной
пропорц ональности		зменений уровней во				времени:
							y = at
	проч е.
Оценка параметров уравнения тренда производится методом наимень-
ших квадратов. В качестве зависимой переменной								рассматриваются уравне-

ния динамического ряда, а в качестве независимой переменной – фактор времени, который выражается рядом натуральных чисел [3].

К основным методам выявления наличия тренда можно отнести:

1. Сравнение уровней ряда – временной ряд разбивается на две равные части, каждая из которых рассматривается как самостоятельная выборочная совокупность, которая подчиняется нормальному закону распределения. Для новых временных рядов определяются средние арифметические значения и выборочная дисперсия, гипотеза о равенстве дисперсий проверяется с помощью критерия Фишера. Наблюдаемое значение F-критерия определяется по

формуле	набл			. Критическое значение			критерия определяется для уровня
		двух степеней свободы						и		по таблице
значимости		=			равенстве генеральных дисперсий принима-
Фишера – Снедекора. Гипотеза о						=	−1		= − −1

ется, если наблюдаемое значение F-критерия больше критического значения, и отвергается, если наблюдаемое значение F-критерия меньше критического. Гипотеза о равенстве генеральных средних проверяется с помощью критерия Стъюдента. Критическое значение определяется для уровня значимости и степени свободы (N-2) по таблице распределения Стъюдента.

2. Метод серий, основанный на медиане выборки, – если временной ряд ранжируется, т.е. наблюдения упорядочиваются по возрастанию, определяется медиана ранжированного ряда. Начальные уровни временного ряда сравниваются с медианным значением. Если уровень ряда больше медианного значе-

47

ния, присваивается знак «+», а если меньше знак «-». Основная гипотеза об отсутствии тренда проверяется при уровне значимости 0,05. Гипотеза отклоняется, если не выполняются неравенства:

уровень значимости равен 0,05;



общее

количество

серий

исследуемого

ряда

>

1

+1 − 1,96√

−1

.

СибАДИ

3.

Метод Форстера –

Стьюарда – каждый уровень временного ряда

2

сравнивается со сво ми предыдущими значениями и определяются вспомога-

тельные переменные:

1,

>

0,в противном случае

1,

<

0,в противном случае

Гипотеза об отсутствии

тренда проверяется с помощью критерия Стъю-

=

− .

дента,

расчетное

значение

рассчитывается

по формуле

рас

= ,

где D – сумма

отклонении величины.

−

стандартное,

Критическое значение критерия Стъюдента определяется по таблице распределения Стъюдента в зависимости от уровня значимости числа степеней свободы (N-1) [5,6].

Основным способом представления тренда в аналитическом виде является метод аналитического выравнивания с помощью функций времени или кривых роста. Сущность способа заключается в аппроксимации временного

ряда определенной формой регрессионной зависимости.			ля оценки адекват-
ности подобранной модели применяются следующие способы:
	анализ остатков – модель считается адекватной,		если теоретические
значения уровня ряда		достаточно близко подходят к фактическим их значе-
ниям:	, где	– теоретические уровни временного ряда. Автокор-
реляцияė	в= − ́	́
	остатках рассчитывается с помощью коэффициента автокорреляции

остатков.

48

проверка независимости остатков на основе критерия Дарбина – Уотсона – базируется на гипотезе о наличии или отсутствии автокорреляции в рядах. Расчетное значение критерия рассчитывается по формуле

					=	∑	(ė	ė	)	,	(59)
							∑	ė
где – остатки регрессионной модели в наблюдении											– остатки регрессион-
ной ėмодели в наблюдении t, которые определяются с помощью уравнения рег-
рессии			;						в наблюдении t-1, рассчитываются
	остатки регрессионной модели
	ė –=	−	́
по формулеė			потеза		об	.			автокорреляции отклоняется, если
Основнаяė						отсутствии
			г=	−	́
расчетное значен			е кр	тер я Дар ина – Уотсона меньше критического значе-
ния его н жней гран цы,					принимается, если расчетное значение больше кри-
тического значен			я его верхней границы.
Методы механ ческого выравнивания										применяются в том случае, когда
графическая форма тренда не определяется.										При этом исходные уровня ряда
заменяются расчетными значениями с меньшими колебаниями. Механическое
выравнивание в			большинстве			случаев выполняется					методом сглаживания
скользящими средними, который							позволяет смягчить влияние не только слу-
чайных, но		периодических факторов. Длина интервала сглаживания опреде-
ляется как число последовательных уровней ряда и называется окном сглажи-

вания. Чем оно шире, тем более гладким становится преобразованный ряд. Ин-

тервал сглаживания изменяется по ряду с шагом, равным единице, т. е. первое
СибАДИ
окно состоит из значений	, а второе окно – из		. Среднее
арифметическое значение для,	каждого,	окна заменяется значениями, ,	, стоящими

в середине окна сглаживания. Отклонение значений элемента временного ряда от своего среднего значения характеризуется дисперсией [1].

6.4. Моделирование сезонных и циклических колебаний

Простейший подход к моделированию сезонных колебаний – расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной и мультипликативной модели временного ряда.

Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний.

Если амплитуда колебаний относительно постоянна, то строится аддитивная модель, в которой значения сезонной компоненты являются постоян-

49

ными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, то строится мультипликативная модель, ставящая уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной модели сводится к расче-

ту параметров временного ряда для каждого уровня:
1.	Нахождение уровней временного ряда				методом	скользящих
средних	.
2.	Оценка( )	сезонной компоненты ( и её корректировка (				).
3.	Эл м н рован е влияния сезонной)		компоненты, вычитая её значение
из каждого уровня сходного временного ряда:
4.	Построен е уравнения линейного тренда по уровням ряда и расчет
				=	− .

СибАДИдолжно быть на единицу меньше числа рассматриваемых параметров. Параметр b характеризует среднее абсолютное изменение уровней ряда под воздействием тенденции. Каждая фиктивная переменная отражает сезонную (циклическую) компоненту временного ряда для какого-либо одного периода. Она равна единице (1) для данного периода и нулю (0) для всех остальных.

выравненных значен й трендовой составляющей .

5.	Расчет теорет ческих значений уровней ряда с учетом сезонности:
6.	Расчет случайной компоненты [1].
	= + .

Пр менен е сезонных фиктивных переменных при моделировании сезонных колебан й позволяет построить регрессионную модель, в которой по-

мимо фактора времени включаются сезонные фиктивные переменные
		. Фактор времени позволяет учесть влияние тенден=-
ции. Сезонный фактор представлен фиктивными переменных, число которых
+ +	+	+ė

Модель с фиктивными переменными является аналогом аддитивной модели временного ряда, поскольку фактический уровень временного ряда представляет собой сумму трендовой, сезонной и случайной компоненты. Недостатком данной модели является наличие большого количества переменных.

Применение рядов Фурье при выявлении сезонной компоненты временного ряда – данный метод является разновидностью спектрального анализа. помощью спектрального анализа в структуре временного ряда можно определить отклонение от тренда, что позволит рассчитать длительность периодических колебаний периодической компоненты ряда. Суть спектрального анализа – случайный стационарный процесс может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний различных частот, которые называются гармониками. Функция, описывающая распределение амплитуд этого процесса по различным частотам, называется спектром, который показывает, какие именно колебания

50

преобладают в изучаемом процессе и какова его структура. Сезонную составляющую можно представить в виде модели разложения в ряд Фурье, где сезонные колебания представляют собой сумму нескольких гармоник с различными периодами. Цель спектрального анализа – оценка спектра ряда временного ряда. Графически распределение ряда можно представить в виде периодограммы, которая отражает зависимость дисперсии от частот или периодов. Перед применением спектрального анализа из исходного ряда необходимо

СибАДИудалить трендовую компоненту, чтобы определить сезонную компоненту временного ряда [2,3].

6.5. Модел рован е тенденции временного ряда при наличии структурных изменений

труктурные зменения в экономике или прочие факторы вызывают единовременные зменен я временного ряда, происходит изменение характера динам ки зучаемого показателя с некоторого момента времени , что приводит к зменен ю параметров тренда, описывающего эту динамику.

Момент t сопровождается значительными изменениями ряда факторов, оказывающих сильное воздействие на изучаемый показатель. Чаще всего эти изменения вызваны изменениями в общеэкономической ситуации или событиями глобального характера, приведшими к изменению структуры экономики. Если исследуемый временной ряд включает в себя соответствующий момент времени, то одной из задач его изучения становится выяснение вопроса о том, значительно ли повлияли общие структурные изменения на характер этой тенденции.

Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции данного временного ряда следует использовать кусочно-линейные модели регрессии, т.е. разделить исходную совокупность на две подсовокупности (до момента времени t после) и строить отдельно по каждой подсовокупности уравнения линейной регрессии.

Построения единого для всей совокупности уравнения тренда позволяет сохранить число наблюдений исходной совокупности, но остаточная сумма квадратов по этому уравнению будет выше по сравнению с кусочнолинейным уравнением [1].

Выбор модели будет зависеть от соотношения между снижением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе от единого уравнения к кусочно-линейному уравнению и осуществляется на основе теста Чоу. Применение данного теста предполагает расчет параметров уравнений тренда (табл.).

51

Таблица

Условные обозначения для алгоритма теста Чоу

№

Вид уравнения

Число на-

Остаточ-

Число па-

Число степеней свободы

урав-

блюдений

ная сумма

раметров

остаточной дисперсии

не-

в

совокуп-

квадратов

в уравне-

ния

ности

нии

Кусочно-линейная модель

1

=

+

ост

−

2

СибАДИ

=

+Уравнен е тренда

для всей совокупности

−

ост

3

=

+

ост

( −

) = (

+ )

−

В соответств

с

методикой

определятся

фактическое

значение

F-критер я

тьюдента по следующим дисперсиям на одну степень свободы.

факт = ∆Состкл /

+

− .

ост

сравнивается с табличным, получен-

Найденное факт ческое значение/

−

−

ным по табличным распределениям Фишера для уровня значимости и числа

степеней свободы

+

,

−

и

−

−

.

Если

факт >

клоняется, а

та л

гипотеза о структурной стабильности тенденции от-

влияние структурных изменений на динамику изучаемого показа-

теля признается значимыми и моделирование тенденции временного ряда сле-

дует осуществлять с помощь кусочно-линейной модели. Если

,

моделирование следует осуществлять с помощью единого для

всей совокуп-

факт

< табл

ности уравнения тренда [1,6].

Контрольные вопросы и задания

1. Какова специфика построения модели регрессии по временным рядам?

2. Преимущества

недостатки методов исключения тенденций.

3. Формула расчета критерия Дарбина – Уотсона.

4. Интерпретация параметров модели с распределенным лагом.

5. Сущность метода последовательных разниц.

6. Сущность метода отклонений от тренда.

52

	Тесты
1.	Модель временных рядов – это:
а)	зависимость результативного признака от переменной временной
или переменных, относящихся к другим моментам времени;
б)	зависимость факторного признака от переменной времени;
в)	зависимость факторного и результативного признака от переменной
СибАДИ
времени или переменных, относящихся к другим моментам времени;
г)	зав с мость результативного признака от средней вариации гене-
ральной совокупности.
2.	Ф кт вные переменные вводятся:
а)	только в л нейные модели;
б)	только во множественную нелинейную регрессию;
в)	только в нел нейные модели;
г)	как в л нейные, так и в нелинейные модели, приводимые к линейно-
му виду.
3.	Анал з автокорреляционной функции позволяет определить:
а)	знак коэфф ц ента автокорреляции;
б)	уровень наклона коррелограммы;
в)	структуру временного ряда;
г)	сезонную компоненту временного ряда.
4.	Автокорреляционная функция – это:
а)	корреляционная зависимость между настоящим и предыдущими зна-
чениями уровней данного ряда;
б)	корреляционная зависимость между прошлыми значениями ряда;
в) оценка коэффициента автокорреляции в зависимости от величины
временного лага между исследуемыми рядами;
г)	корреляционная зависимость между фиктивными переменными.
5.	К способам аналитического выравнивания относят:
а)	анализ остатков;
)	сглаживание скользящими средними;
в)	построение автокорреляционной функции;
г)	тест Чоу.
6.	Фиктивные переменные являются переменными:
а)	качественными;
б)	случайными;
в)	количественными;
г)	логическими.

53

7. Уровень ряда – это:

а) отдельные наблюдения, из которых состоит временной ряд; б) ряд фиктивных переменных; в) отдельные наблюдения, содержащие лаговые значения; г) трендовая компонента.

8. Основные виды моделей временного ряда:

а) аддитивная, мультипликативная, смешанная; СибАДИб) аддитивная, мультипликативная, временная;

в) адд т вная, смешанная, трендовая; г) адд т вная, сезонная, авторегрессии.

9. Моментные временные ряды – это:

а) уровень временного ряда, фиксирующий значения изучаемого показателя на определенный момент времени;

б) уровень ряда, при котором основные свойства изучаемого явления имеют тенденц ю разв т я;

в) уровень ряда, соответствующий периодическим колебаниям за определенный момент времени;.

г) уровень коле ан й временного ряда.

10. Величина сдвига между рядами наблюдений – это:

а) временной лаг; ) автокорреляционная функция; в) коррелограмма; г) гармоники.

РАЗДЕЛ 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СТОХАСТИЧЕСК Е ПРОЦЕССЫ

7.1. Определение стационарных стохастических процессов 7.2. Эргодичность

Стохастическим или случайным процессом называется процесс, развивающийся во времени в соответствии с законами теории вероятностей. На практике очень часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают существенных изменений с течением времени. Такие случайные процессы называются стационарными.

54

Каждый стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени неопределенно долго; при исследовании стационарного процесса в качестве начала отсчета можно выбрать любой момент времени. Исследуя стационарный процесс на любом участке времени, можно получить одни и те же его характеристики. Образно выражаясь, стационарный процесс «не имеет ни начала ни конца» [10].

лучайный процесс называется стационарным в узком смысле, если его
СибАДИ
функция распределения любого порядка не изменяется при сдвиге совокупно-
сти точек	,	… …	на величину	∆	,т.е.	(	,	… …	) = (	+
+∆ … … ..		+ ∆ )	словами, для стационарного процесса функция

распределен я любого порядка и, следовательно, его характеристики не зависят от положен я начала отсчета времени. Стационарность означает статистическую однородность процесса во времени. Физически стационарный случайный процесс представляет со ой случайный процесс в установившемся режиме.

Если пр веденное выше условие не выполняется, то процесс называется нестац онарным. Замет м, что далеко не все нестационарные случайные процессы являются существенно нестационарными на всем протяжении сво-

его разв	т я.
Из	определения стационарного процесса следует, чтo		от
		т.е. одномерная функция распределения не зависит( , )
= ( , + ∆ ) = ( ),			=

времени, а двумерная функция распределения зависит только от разностей

времен			. Отсюда следует, что для стационарного случайного про-
цесса	среднее значение и дисперсия являются постоянными величинами, т.е. не
		= −
зависит от времени, а корреляционная функция такого процесса зависит
только от одной переменной							.
	Случайный		процесс	называют стационарным в широком смысле, если
					=	−
его среднее значение дисперсия не зависят от времени,										а корреляционная
функция зависит только от разности времен									.	Стационарность в
широком		смысле	нетождественна			строгому		определению стационарности.
								= −

Случайные процессы, стационарные в строгом смысле, всегда стационарны в широком смысле, но не наоборот.

Процесс является стационарным, если:

математическое ожидание стационарного ряда является постоянным, т. е. среднее значение временного ряда, вокруг которого изменяются уровни, является величиной постоянной;

55

дисперсия стационарного ряда является постоянной, она характеризует вариацию уровней временного ряда относительно его среднего значения;

автоковариация стационарного ряда с лагом l является постоянной. тационарному стохастическому процессу соответствует стационарный

временной ряд. Стационарный временной ряд – стохастический временной ряд, математическое ожидание, дисперсия, автоковариация и автокорреляция

которого являются постоянными во времени. Основные подходы, используе-
СибАДИгде – белый шум, т.е. случайная = + ,
мые для распознания стационарности временных рядов [1,5]:
	анал з граф ческого представления временного ряда на наличие тен-
денции	пер од ческ х составляющих;
	анал з временного ряда на наличие автокорреляции;
	тесты на постоянство статистических характеристик.

Достаточно часто экономические показатели, представленные в виде временного ряда, меют сложную структуру. Моделирование таких рядов путем построен я модели тренда, сезонности и периодической составляющей не приводит к удовлетвор тельным результатам. Ряд остатков часто имеет статистическ е закономерности. Наи олее оптимальным является использование линейных моделей стационарных временных рядов.

К линейным моделям стационарных временных рядов относят:модели авторегрессии;модели скользящего среднего;

смешанные модели авторегрессии скользящего среднего. Авторегрессионная модель представляет собой динамическую эконо-

метрическую модель, в которой в качестве факторных переменных содержатся лаговые значения результативной переменной.

На практике чаще всего используются модели авторегрессии первого второго порядка. Авторегрессионная модель порядка р обозначается АР(р)

или AR(p).

Модель авторегрессии первого порядка имеет вид:

величина с нулевым математическим ожи-

данием;

– коэффициент авторегрессии.

Данная модель получила название «Марковский процесс», поскольку значение переменной y в текущий момент t зависит только от значений переменной y в предыдущий момент (t-1). Марковскими называются процессы, в которых состояние объекта в каждый следующий момент времени определя-

56

ется только состоянием в настоящий момент и не зависит от того, каким путем объект достиг этого состояния [1].

Модели скользящего среднего представляют класс моделей временного ряда с конечным числом параметров, которые можно получить, представив первый уровень временного ряда в виде алгебраической суммы членов ряда

белого шума с числом слагаемых q. Часто на показатель в текущий момент времени оказывает воздействие значение показателя в предыдущие моменты. Хотя воздействие отдаленных элементов незначительно, в сумме оно может оказывать существенное влияние на модель. Учесть это воздействие возможно в модели скользящего среднего. Моделирование воздействия всех предшествующих элементов ряда на показатель в текущий момент основано на предпо-

СибАДИгде q – порядок скользящего среднего;

сылке о том, что в ош	ках модели за несколько предшествующих периодов
сосредоточена нформац я о всей предыстории ряда.
Общая модель скользящего среднего порядка q имеет вид:
=	−	−	−	,

– неизвестные коэффициенты, подлежащие оцениванию.

Модель скользящего среднего уровня порядка q обозначается как СС(q), или МА(q). Часто на показатель в текущий момент времени оказывает воздействие значение показателя в предыдущие моменты. Хотя воздействие отдаленных элементов незначительно, в сумме оно может оказывать существенное влияние на модель. Учесть это воздействие возможно в модели скользящего среднего. Моделирование воздействия всех предшествующих элементов ряда на показатель в текущий момент основано на предпосылке о том, что в ошибках модели за несколько предшествующих периодов сосредоточена информация о всей предыстории ряда.

Для достижения большей гибкости при построении модели изучаемого временного ряда наиболее оптимальным является использование смешанной модели авторегрессии скользящего среднего, которая обозначается как АРСС (p,q) или ARMA(p,q). Наибольшее применение получила смешанная модель с одним параметром авторегрессии p=1 и одним параметром скользящего среднего q=1, которая имеет вид:

= + − .

57

Стационарность не является единственным свойством, которым могут обладать случайные процессы и которое дает возможность более подробного их исследования. Еще одним свойством такого рода является эргодическое свойство или эргодичность. Для случайных процессов свойство эргодичности формулируется по отношению к различным вероятностным характеристикам. Эргодичность – это свойство, позволяющее для оценки математических ожиданий использовать усреднение во времени. Суть этого свойства состоит в

СибАДИтом, что для эргодического ряда математическое ожидание его уровней в пространстве совпадает с математическим ожиданием его уровней во времени [5].

тац онарный случайный процесс называется эргодическим, если любая его вероятностная характеристика, полученная усреднением по множеству возможных реал зац й, с вероятностью, близкой к единице, равна временному среднему, полученному усреднением за достаточно большой промежуток времени з одной ед нственной реализации случайного процесса. Из этого определен я следует, что эргодический процесс представляет собой такой процесс, когда среднее по времени равно среднему по множеству возможных реализац й.

В отл ч е от среднего по времени среднее по множеству х для случайной функции x(t) определяется для каждого момента времени ti путем усреднения по всем реализациям процесса. Действительно, поскольку вероятностные характеристики случайного стационарного процесса не меняются с течением времени, длительное наблюдение за отдельной реализацией такого процесса на одном объекте должно дать в среднем ту же картину, что и наблюдения, сделанные в один и тот же момент на большом числе одинаковых объектов.

Свойство эргодичности сильно упрощает экспериментальное определение вероятностных характеристик случайных стационарных процессов, поскольку позволяет заменить эксперимент на большом числе объектов экспериментом на одном из них, правда, в течение достаточно длительного времени , соответственно, статистической обработкой одной реализации случайного процесса.

Контрольные вопросы и задания

1.Какова сущность и назначение стохастических процессов?

2.Методы выявления стационарных стохастических процессов.

3.Параметры, характеризующие стационарный процесс.

4.Основные модели стационарных временных рядов.

58

Тесты

1. Временной ряд называется стационарным, если:

а) среднее значение членов ряда постоянно; б) члены ряда образуют арифметическую погрешность;

в) члены ряда образуют геометрическую погрешность; г) среднее значение членов ряда постоянно растет.

СибАДИ2. В стационарном временном ряду трендовая компонента:

а) отсутствует; б) пр сутствует;

в) меет л нейную зависимость от времени; г) меет нел нейную зависимость от времени.

3. К моделям стац онарных временных рядов относят:

а) модели авторегрессии; б) нел нейные модели;

в) модели множественной регрессии; г) с стемы эконометрических уравнений.

4. Стохаст ческ м процессом называется:

а) процесс, развивающийся во времени в соответствии с законами теории вероятностей;

б) процессы, развивающиеся в соответствии с тенденцией развития факторных признаков;

в) процессы, развивающиеся по законам трендовой компоненты временного ряда;

г) процессы, не зависящие от времени.

5. Стационарный временной ряд – это:

а) стохастический временной ряд, математическое ожидание которого является постоянным во времени;

) временной ряд с параметрами линейной регрессии; в) аддитивная модель временного ряда; г) временной ряд, содержащий фиктивные переменные.

6. Процесс является стационарным, если:

а) математическое ожидание стационарного ряда является постоянным; б) стационарный ряд содержит лаговые переменные; в) результативный признак временного ряда зависит от фактора времени;

г) уровень ряда, при котором основные свойства изучаемого явления имеют тенденцию развития.

59

7. Подходы, используемые для распознания стационарности вре-

менных рядов:

а) анализ временного ряда на наличие автокорреляции; б) расчет параметров линейного уравнения регрессии; в) построение аддитивной модели временного ряда;

г) оценка параметров на основе F-критерия Фишера.

СибАДИ8. Авторегрессионная модель – это:

а) динамическая эконометрическая модель, в которой в качестве факторных переменных содержатся лаговые значения результативной переменной;

б) модель, основанная на параметрах линейного уравнения регрессии; в) модель, содержащая случайную и сезонную компоненту; г) модель, содержащая фиктивные переменные.

9. Модели скользящего среднего – это:

а) модели временного ряда с конечным числом параметров; б) модели временного ряда с есконечным числом параметров;

в) модель временного ряда, содержащая фиктивные переменные; г) модель временного ряда, содержащая случайную компоненту.

10. Фиктивные переменные являются переменными:

а) качественными; ) случайными;

в) количественными; г) логическими.

60