1. Найти limsin4x . x 0 tg3x

Решение. В силу первого замечательного предела sin 4x ~ 4x, tg 3x ~ 3x при x 0, поэтому

С

lim

sin4x

= lim

4x

=

4

.

x 0 tg3x

x 0 3x

3

1

.

2.

lim

1 sin3x

Найти

x 0

tg x

Решен е.

2

бА

1 sin3x 1 0

1

sin3x

1

3x

lim

lim

2

lim

2

lim3 3.

x 0

x

0

x 0

x

x 0

x

x 0

tg

2

2

2

При вычислении предела использованы эквивалентности 7, 2, 1.

x

то x

Д

Если lim

0,

называется

б. м. более высокого по-

x a x

рядка малости, чем x в точке a.

Если

lim

x

,

то x

называется б. м. более низкого по-

x x

x в точке a.

И

рядка малости, чем

Если

lim

x

не существует,

то x и x

называются не-

x x

сравнимыми.

§ 8. Вычисление пределов (видео 1)

Вычисление пределов начинается с подстановки вместо x числа, к которому стремится x (при x 3 вместо x будем подставлять 3 и т.д.). При вычислениях следует использовать основные свойства функций (прил. 2 5).

28

1.	lim	2x 1									2 3 1										5					;
												3 6
	x 3 x 6																		9
2.	lim			3 x							3 1															2							2				;
												1 2												3									3
	x 1 x 2
		4x											4 0															0
							x														0
3.	lim																															0.
				7 x											7 0
	x 0																											7
В эт х пр мерах													мы получили числа в результате вычислений,
С													е предела.
которые дают значен
Необход мо																				связь								б.б.									и б.м. функций (теорема 5 из
§ 6):
помнить1																						0;						1							.
																												0
Например:
1.	lim	3 x					3 0										3									;
				x							0								0
	x 0
	бА
2.	lim	2																	2																2				0.
	x x2 x 3												2 3
																																							0		0
Ситуации, в которых получаемД; ; 1 ; 0 и другие,
																																		0
считаются неопределённостями и вычисляются различными способа-
ми. Рассмотрим некоторые приемы вычисления пределов функций
для различных видов неопределенностей.																																							И

I.Неопределенность .

Такая ситуация может возникнуть, например, при x при делении многочлена на многочлен. Для вычисления предела в такой ситуации нужно разделить числитель и знаменатель дроби на x в наибольшей степени.

29

Примеры

																																																								3				6x									8
			3x2 6x 8																							(делим на x2 )
1.	lim																																												lim																x2							x2
	x		2x		2		4x 1																																									x							2x		2					4x									1
С																																																								x2															x2
										8													6									8																														x2
		3			6														3
																																						3 0 0															3
						x				x	2
lim																																																								.
					4					1
	x	2																	2						4							1						2 0 0											2
											2
и
						x				x
								2x 6																																	2x				6																	2							6
	2. lim																											lim													x				x						lim											x								x
.		бА																																																						x						3 8
	x x2							3x 8																								x x2										3x				8
			0										0																									x2				x2						x2												1					x							x2
																				0.
	1 0 0												1
			2x3 4x 1																																	2					4				1								2 0 0																	2
3.	lim																															lim									x2				x	3
							2 3																															1				3														0 0
	x x																														x																																							0
																																											3
																																Д
																																							x			x

II.Неопределенность 0 .

0

						И
Если x a и при вычислении предела отношения многочленов
получаем ситуацию			0	, то нужно числитель и знаменатель дроби
		0
разложить на множители и сократить одинаковые выражения.
Примеры
1. lim	x2 1			0
						=
				0
x 1 x2 x 2

30

Разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого в числителе воспользуемся формулой разности квадратов

x2 a2

x a x a .

В знаменателе

используем теорему Безу для

разложения

многочлена

на

множители

a x2 bx c a x x x x

2

, где x

– корни многочлена.

1

1,2

Найдём корни уравнения x2 x 2 0:

x

2;1. Знаменатель

1,2

запишется в в де

a x x1 x x2 x 1 x 2 x 1 x 2 . Те-

перь сокращаем од наковые множители и вычисляем предел:

2

0

x 1 x 1

x 1

2

Сx 1

=lim

lim

lim

.

x 1 x

2 x 2

0

x 1 x 1 x 2

x 1 x 2 3

2. lim

x3 27

0

lim

x 3 x2 3x 9

x

2

x 6

x 3 x 2

0

иx 3 x 3

x2

3x 9

9 9 9 27

lim

.

x 2

5

x 3

5

В числителе использовали формулу разности кубов, в знамена-

2

1 5

теле – теоремубБезу: x xА6 0; D 1 4 1 6 25; x1,2

;

x1 3;

x2 2.

2

x 1

0

x 1

3.

lim

lim

И4 2

0

1

x 1 2x2 x 1

x 1

Д2 x 1 x

2

(для разложения

знаменателя

проведем

вычисления

корней:

2x2 x 1 0; D 1 4 1 2 9; x

1 3

; x 1; x

2

1

)

1,2

1

lim

1

1

1

.

1

3

x 1

3

2

x

2

2

2

31

III. Первый замечательный предел имеет вид lim sin x 1, отсю-

x 0 x

да получаем эквивалентности sin ~ tg ~ arcsin ~ arctg ~ при

0 (см. прил. 5).

Ранее доказано, что эквивалентные функции-множители можно

заменять друг на друга при вычислении пределов.

Пр меры

и

3x

3

sin3x

0

1. lim

0

sin3x ~ 3x; sin5x ~ 5x

lim

5x

5

.

Сsin5x

x 0

x 0

arcsin2x

0

2x

1

бА

2. lim

0

lim

.

x 0 sin6x

x 0 6x

3

3. lim

tg8x

0

lim

8x

8

2

.

12

3

x 0 arctg12x

0

x 012x

IV. Второй замечательный предел имеет два варианта записи:

1

1

x

lim 1 x

Д

x e; lim 1

e.

x 0

x

x

С помощью второго замечательного предела вычисляются неоп-

ределённости вида

1 .

Примеры

x 1 x

x 1

x

1. lim

1

lim

1

1

x 1

x x 1

x

Иx 1 2

x

2

x

2

x

x 1 x 1

2 x 1

lim 1

lim 1

lim

1

x

1

x

1

x 1

x

x

x

2x

2

1

1

e2.

lim ex 1

lim e

x

x

x

32

2x 4 x 1

2x 4

x 1

2.lim

lim 1

1

2x 6

x 2x

6

x

2x 4 2x 6 x 1

2 x 1

lim 1

lim 1

С

2x 6

x

2x 6

x

1

1

x 3

1

x 1

x 1

x

1

1

x 3

1

3

1

1

и

lim e x 3

lim e

x

e

.

lim 1

x 3

x

x

x

e

6x 2 x 1

6x 2

x 1

3. lim

lim 1

1

6x 3

x

6x 3

x

6x 2 6x 3 x 1

5 x 1

lim 1

lim 1

6x 3

x

x

6x 3

5

6x 3

5

x 1

5x 5

5

5

6x 3

lim e6x 3

e6 .

lim 1

6x 3

x

x

бА

V. Пределы различных видов.

Примеры

2

1 x x

2

1. lim

1 x xД0

x 0

x2 x

0

(преобразуем функцию, домножив числитель и знаменатель дроби на

сопряженное

выражение

1 x x

2

1

2

Иx x . В результате в

числителе получим выражение вида a b a b

и используем фор-

мулу разности квадратов)

33

lim

1 x x2

1 x x2

1 x x2

1 x x2

x 0

x2 x 1 x x2 1 x x2

1 x x2 1 x x2

С

lim

x 0 x x 1

1 x x2

1 x x2

lim

2x

и

x 0

x x 1 1 x x2 1 x x2

lim

2

2

1.

x 0 x 1

1

2

1 x x2

1 x x2

0

2. lim

5 x

2x 6

x2

1

0

x 1

lim

5 x

2x 6

5 x

2x 6

x 1

x2 1

5 x

2x 6

lim

б5 x 2xА6

x 1

x2 1

5 x

2x 6

lim

x 1

Д

x 1 x 1 x 1

5 x

2x 6

lim

1

1

1

.

2 2 2

x 1

8

x 1 5 x 2x 6

И

3. lim

x

0

x 0

3 1 x 1 0

(домножим знаменатель и числитель дроби на выражение

3 x 1 2 31 x 1 , получим в знаменателе формулу разности

34

квадратов a 1 a2

a 1 a3 1)

x 3

3

1

x 1 2

lim

1 x

3

1 3 x 1 2 3

1

x 0

1 x

1 x

Сиlim бАДИ

lim

x

3

x

1 2 3

1 x

1

lim

3

x 1 2 3

1 x

1

3.

x 0

x 1 1

x 0

1

5

1 x 3

1

0

4. lim

x

x 0

0

(полож м 1 x y5, тогда y 1 при x 0)

lim

y3

1

lim

y 1 y2 y 1

y 1 y

5

1

y 1

y 1 y4 y3 y2

y 1

lim

y2 y 1

3

.

y 1 y4

y3 y2 y 1 5

5. lim

x2 8x 3

x2 4x 3

x

(умножим

разделим выражение на сопряженное выражение и

используем формулу a b a b a2 b2)

x2 4x 3

lim

x2 8x 3

x2 4x 3

x2 8x 3

x2 8x 3

x2 4x 3

x

4x

x

x2 8x 3

x2 4x 3

(разделим числитель и знаменатель дроби на x)

35

lim																													4																									4			2.
										1 8									3 1 4 3
	x																																																			1 1
																x									x2																	x				x2
6.	lim				1 cos5x																									0
																													0
	x 01 cos3x
(	спользуем формулу 1 cos 2sin2																																																									)
																																																								2
и
С= lim				2sin									2		5			x 0
														2
	x 0			2sin									2		3			x			0
														2
				бА
(замен м с нусы на эквивалентные им функции sin ~ при
0)
		5								x		2							25
					2																			4													25
= lim																																									.
												2									9																9
x 0 3
										x
																								4
					2
																																																				3x x										3x x
								sin3x										sin x																			0									2sin													cos
7.	lim																																								lim														2									2
												ln 1 x
	x 0																																				0						x 0											ln 1 x
lim 2sin xcos																									2x																																И
																																												Д
	x 0										ln 1 x
(используем																				эквивалентность																															sin ~ ;													ln 1 ~ при
0)
lim			2xcos2x																	lim 2cos2x 2cos																																		0 2.
	x 0											x															x 0																							x
																																														5																								x
																																											x																								5
					5					x				4			x							0																	4					4					1										4		x								1
																																																																			4
8.
	lim																										lim																												lim
																																												x x 1																									x
	x 0 x2 x																							0												x 0																					x 0 x 1

36

					5	x	1
	4x
					4
lim			lim
	x 1					x
x 0			x 0

С

(второй предел в получившемся произведении является замеча-

тельным и равен

ln

5

(можно также использовать эквивалентность

4

a 1~ lna при 0)

40

5

5

Задачи

0 1

ln

ln

.

4

4

для самостоятельного решения

Выч сл ть пределы:

1. lim

x2 7x 10

.

2. lim

x2 7x 10

.

3. lim

x2 7x 10

.

x3 8

x3 8

x3 8

x 0

x 1

x 3

4. lim

10

.

5.

lim

2x2

x 6

.

6.

lim

2x2

4x 1

.

3 8

x3 7

x 12

x x

x

x x2

4x2 x 3

3x2

11x 6

x2 1

7. lim

б. 8.Аlim . 9. lim

.

2x 3

x 2x2 x 1

x 3 2x2 5x 3

x 1 x

2

x2 7x 10

1 3x2

2

1 x

x 2

И

10. lim

x

3

8

.

11. lim

2

.

12.

lim

2

.

x 2

x

0

x 3

13. lim1 2x2 x2 .

14.

lim x2 7x 10.

15. lim

1 x

3 x

.

x2 1

x 0

x 2

x3 8

x 1

16. lim

ex2

1

.

17.

lim 1 tg2x ctgx2 .

18. lim

sin 7 x

.

x 0 cos3x 1

x 0

x 2 sin8 x

Ответы: 1. 5. 4. 0. 6. 2. 9. 1. 13. e. 17. e.

4 2

37

Контрольные работы по теме «Вычисление пределов

функций»

С

Контрольная работа № 1

Вычислить пределы функции.

Вариант 1

1.

lim

(x3

2x 1)(x 1)

,

x 1;

x4 4x2 5

3

2.

lim

1 2x

,

x 4;

x 2

ln(1 sin x)

иlim

x 0

;

3.

sin4x

,

4.

lim

72x 53x

,

x 0;

2x arctg3x

sin2x 1 x

5.

lim

, x 0.

x

Д

бАВариант 2

1.

lim

x3 3x 2

,

x 1;

И

x

x

2

2.

lim

1 x 3

, x 8;

2 3 x

3.

lim

1 cos10x

,

x 0;

ex2

1

lim

e3x

e 2x

x 0;

4.

2arcsin x sin x ,

2 x x

5.

lim

,

x 0.

3 x

38

Вариант 3

1.	lim	(x2 3x 2)2					, x 1;
		x	3	2x	2	x 2

С

x 1

2.

lim

,

x 1;

3 x2 1

lim

3x2 5x

x 0;

3.

,

sin3x

lim

6

2x

7

2x

4.

,

x 0;

sin3x 2x

sin4x 2

(x 2)

5.

lim

,

x 0.

иx

Вариант 4

1.

lim

(2x2 x 1)2

,

x 1;

x

3

2x

2

x 2

2

2.

lim

x 13

x 1

б2 А, x 3;

x

9

3.

lim

1 cos2x

,

x 0;

И

cos7x cos3x

4.

lim

e5x e3x

x

Д

sin2x sin x ,

0;

e3x

1

cos2 (π

4 x)

5.

,

x 0.

lim

x

Вариант 5

1.

lim

(x2 2x 3)2

,

x 3;

x

3

4x

2

3x

39

		3			х 6 2
	2.	lim							, x 2;
					х	3	8
	3.	lim				4х			, x 0;
			tg(π			(2 x))

4.

lim

32х 53x

, x 0;

arctgx х3

5.

lim cosx x 3

,

x 0.

и4

С

Вариант 6

бА

1.

lim

(x3

2x 1)

2

, x 1;

x

2x 1

2.

lim

x

2

,

x 16;

x 4

3.

lim

2x

,

x 0;

tg[2π

(x 1/2)]

4.

lim

e2x e3x

, x 0;

2

arctgx

x

Д

5.

2 x

x

,

x 0.

lim

3 x

И

Вариант 7

lim

(1 x)3

(1 3x)

x 0;

1.

,

x x

5

5

2.

lim

9 2x

, x 8;

3

x 2

lim

1 cos3 x

3.

, x 0;

4x

2

4.

lim

35x 2x

,

x 0;

x sin9x

40

ln(1 x) x/(x 2)

5.

lim

,

x 0.

6x

С

Вариант 8

1.

lim

x

2 2x 1

,

x 1;

2x

2

x 1

(1 x)

1 2x x2

и

,

x 0;

2.

lim

x

3.

lim

arcsin3x

,

x 0;

2 x 2

бА

4.

lim

e

4x e 2x

,

x 0;

2arctgx sin x

tg4x

2 x

5.

lim

x

,

x 0.

Вариант 9

lim

x

3

3x 2

Д

1.

,

x 1;

x

2

x 2

И

3

2.

8 3x x2

2

x 0;

lim

x x

2

,

3.

lim

2x

1

,

x 0;

ln(1 2x)

4.

lim

12x 5 3x

,

x 0;

2arcsin x x

ex3

1

(8x 3)/(1 x)

5.

lim

, x 0.

2

x

41

Вариант 10

1.

lim

x3 5x2 7x 3

, x 1;

x

3

4x

2

5x 2

С

27 x 3

27 x

2.

lim

3

, x 0;

x 23

x4

3.

lim

arctg2x

,

x 0;

sin(2π(x 10))

и

4.

lim

e7x

e 2x

,

x 0;

sin x 2x

x 2 cosx

5.

lim

, x 0.

x 4

Вариант 11

1.

lim

x3 3x 2

,

x 1;

x

3

x

2

x

1

3

1

2.

lim

x

,

x 1;

б1 x 2Аx

3.

lim

ln(1 7x)

, x 0;

И

sin( (x 7))

lim 35x

4.

27x

Д

arcsin x x ,

x 0;

sin6x 2 x

5.

lim

,

x 0.

2x

Вариант 12

1.

lim

x3 x2

5x 3

, x 1;

x

3

x

2

x

1

42

2.

lim

1 x

1 x

,

x 0;

3

3

1 x

1 x

3.

lim

cos(x 5 /2)tgx

,

x 0;

С

arcsin2x2

ex

4.

lim

e5x

,

x 0;

arcsinx x

3

ex2

1 6/(1 x)

5.

lim

,

x 0.

x2

Вариант 13

lim

x3 4x2 5x 2

,

x 1;

и1. 3

x

3x

2

3

2

2.

lim

4x

,

x 2;

2 x

2x

3.

lim

9ln(1 2x)

,

x 0;

4arctg3x

Д

lim

4x 27x

x

4.

,

0

;

бtg3x x А

5.

sin 2x x2

,

x 0.

И

lim

sin3x

Вариант 14

1.

lim

x4 1

,

x 1;

2x

4

x

2

1

1

,

2.

lim

x

x 1;

x

2

1

1

3.

lim

3x 1

,

x 0;

cos[π(x 1)/2]

43

	lim	ex e x
4.			, x 0;
		tg2x sin x

x 2

5.

lim tg(x

)

, x 0.

3

С

Вариант 15

lim

x3 4x2 5x 2

x 1;

1.

,

x3 3x 2

2.

lim

3

9x

3

,

x 3;

бА

3 x

2x

lim

sin7x

и3. 2 , x 0;

x

x

4.

lim

102x 7 x

,

x 0;

2tgx arctgx

x

3

8

x 2

5.

,

x 0.

3x2 10

lim

Д

Вариант 16

lim

x3 5x2 8x 4

x

И

1.

x

3

3x

2

4

,

2;

3

2

2.

lim

x 6

, x 2;

x 2

2

3.

lim

4 x

,

x 0;

3arctgx

4.

lim

e2x ex

,

x 0;

sin3x sin5x

5.

lim[sin(x 2)]3/(3 x),

x 0.

44

Вариант 17

1.	lim	x3	6x2 12x 8					, x 2;
			x	3	3x	2	4

2.

lim

3 16x 4

,

x 4;

4 x

2x

3.

lim

2sin[π(x 1)]

,

x 0;

ln(1 2x)

и

7

3x 32x

Сlim

x 0;

4.

tgx x2 ,

бА

2

2x

1

x 2

5.

3x

2 10

,

x 0.

lim

Вариант 18

1.

lim

x3 5x2 8x 4

, x 2;

3

7x

2

16x

12

x

5

2.

lim

9 2x

,

x 8;

3

x

2

4

3.

lim

cos2x cosx

,

x 0;

И

1 cosx

4.

lim

e4x e2x

,

x

Д

2tgx sin x

0;

x

4

5

4/(x 2)

5.

,

x 0.

lim

x 10

Вариант 19

1.

lim

x3 3x 2

,

x 1;

2

x 2)

2

(x

45

		3			x/4 1/2
	2.	lim								, x 1/2;
			1/2 x					2x

3.

lim

1 x 1

,

x 0;

sin[π(x 2)]

С

4.

lim

32x 7x

,

x 0;

arcsin3x 5x

11x 8 cos2 x

5.

lim

,

x 0.

12x 1

Вариант 20

бА

lim

x3

3x 2

и1. , x 2;

x 2

2.

lim

3

x/9

1/3

,

x 1/3;

1/3 x

2x

3.

lim

sin[5(x π)]

,

x 0;

e3x 1

Д

lim

e2x e 5x

x

4.

,

0;

2sin x tgx

3

2/(x 1)

5.

x

1

, x 0.

И

lim

3

8

x

Вариант 21

lim

x3 3x 2

x 1;

1.

,

x2 2x 1

3

1/4

2.

lim

x/16

,

x 1/4;

1/4 x 2x

lim

1

, x 0;

3.

cosx

xsin x

46

4.

lim

45x 9 2x

,

x 0;

sin x

tgx3

ln(1 x

2

)

x

5.

,

x 0.

lim

x

2

Вариант 22

и

1.

lim

x2

2x

1

,

x 1;

3

x

2

x 1

Сx

2.

lim

1 x

1 x

, x 0;

7

бА

x

3.

lim

arcsin2x

,

x 0;

2

1

4.

lim

e3x

e2x

,

x 0;

sin3x tg2x

x 1 x

5.

lim cos

, x 0.

Д

Вариант 23

x4 1

И

1.

lim

2x

4

x

2

1

,

x

1;

3

3

27 x

lim

27 x

2.

, x 0;

3

x2

5

x

3.

lim

e4x 1

, x 0;

sin(π(x/2 1))

4.

lim

52x

23x

,

x 0;

sin x

sin x

2

arcsin x 2(x 5)

5.

lim

,

x 0.

x

47

Вариант 24

1.	lim			x2 3x 2			, x 1;
		x	3	2x	2	x 2

		3		8 3x x2		2
	2.	lim					, x 0;
				3 x2 x3

lim

1 cosx

x 0;

3.

,

3x

2

и

(e

1)

Сex e3x

4.

lim

,

x 0;

sin3x tg2x

бx А

arctg3x x 2

5.

lim

x

,

x 0.

Вариант 25

1.

lim

2x2 x 1

, x 1;

x

3

2x

2

x 2

lim

1 2x 3x2 (1 x)

2.

, x 0;

3

lim

sin2 x tg2x

x 0;

3.

,

И

x4

lim

9x 23x

4.

arctg2x 7x ,

x Д0;

5.

lim ex x cosx4

,

x 0.

Вариант 26

1.

lim

x2 2x 3

, x 3;

x

3

4x

2

3x

48

2.

lim

9 2x 5

,

x 8;

3

x 2

3.

lim

arcsin2x

,

x 0;

ln(e x) 1

С

e 2x

4.

lim

ex

,

x 0;

x sin x

(x 6)

sin5x

2 1

5.

,

x 0.

lim

sin x

Вариант 27

x3

2x 1

иlim

1.

x4

2x 1

,

x 1;

4

2

2.

lim

x

,

x 16;

3

(

x 4)2

3.

lim

tgx sinx

,

x 0;

x(1 cos2x)

Д

35x 2 7x

4.

lim

бА

2x

tgx

;

x

0

;

5.

(ex 1) x

И

lim tg

4

x

, x 0.

Вариант 28

lim

(1 x)3 (1 3x)

1.

, x 0;

x

2

x

5

3

2

2.

lim

x 6

,

x 2;

3

x3 8

49

	lim	ln(x2 1)
3.						, x 0;
			x2
	1			1

4.

lim

e2x ex

;

x 0;

sin2x sin x

С

cosx)tg

2x , x 0.

5.

lim(6 5

.

Контрольная работа № 2

Выч сл ть пределы.

Вариант 1

бА

lim

x2 6x

8

lim

1 cos5x

1.

2

;

2.

;

x 2

x 0

1

cos6x

и

x

8x

12

x2

1 2x

3

x2 1

3.lim

lim

x 4

x 2

x

x

5. lim

x2

6x 8

.

Д

x x2

8x 12

Вариант 2

1. lim

2x2 5x 3

2.lim

x

;

;

x 3

x 13

И

x 0

1 2x

1

3. lim

x

2

1

lim

x 3

x 4

;

4.

;

x 1 ln x

x x 5

lim

2x2 5x 3

5.

.

x 13

x

Вариант 3

1.lim

x2 5x 6

;

2. lim

e2x 1

;

x 3

x2 9

x 0 arctg6x

50

x2

1

2x2

2 x

2

lim

3.

sin3x

;

4.

lim

2

3

;

x 0

x x

lim

x2

5x 6

5.

.

x2

9

x

С

Вариант 4

x2

2x 1

1 e2x

и

lim

1.

lim

2

;

2.

;

x 1

2x

x

1

x 0 arctg5x

x 9

1

x

2 1

x2 1

3.

lim

2

;

4.

2

;

x 10

100 x

x x

2

lim

x2

2x 1

5.

.

x 2x2 x 1

Вариант 5

3x

2

17x 6

1 cos2x

lim

lim

2

1.

x2 36

;

e3x

1

;

x 6

2. x 0

Д

бА

2

x2

3.

lim

9 2x

5

;

4.

x

1

;

2

x 1 3

lim

x

x 8

x

5.

lim

3x2 17x 6

x2

36

.

x

Вариант 6

2

1 x

1 x

1.

lim

x

2x 15

;

2.lim

И;

x 5

x 5

x 0

4 x

2

lim

1 cos2x

lim

x 3 3x

3.

;

4.

;

x 0 ln(x2

1)

x x 7

51

5.

lim

3x2 17x 6

.

x2 36

x

С

Вариант 7

e 3x 1

1.

lim

x

2

5x 6

;

2. lim

;

x2 9

x 3

x 0 arcsin9x

3

2x 1

5x

9 x

и

3.lim

;

4.

lim

;

x 1 x 1

x 0

x 2x 1

lim

x2 5x 6

5.

.

x2 9

x

бА

Вариант 8

1.

lim

x2 2x 1

;

2.

lim

e7x2

1

;

x 1 2x2 x 1

x 0 1 cos2x

2x2

3

2x2 1

2x 1

3.

lim

2

;

4.

lim

2

;

16 x

Д

x 4

x

2x

2

lim x

2

2x 1.

5.

x 2x2 x 1

И

Вариант 9

lim

x2 7x 6

2.lim

1 cos4x

1.

;

;

x2 36

x 6

x 0 ln(2x 1)

3x

2

1

x2

23 2x 5

lim

4. lim

3.

;

;

3x

2

x 1

2x 1 3

x

lim

x2 7x 6

5.

.

x2 36

x

52

Вариант 10

1. lim

x2

3x 10

2.lim

1 2x

13 x

;

;

x 5

x 5

x 4

5 x

3

С

lim

2x2

1

4. lim

x 2

x 4

3.

;

;

x 0 ln(x2 1)

x x 3

5.

lim

x2

3x 10

.

x 5

x

Вариант 11

бА

3x

1

2

1.

lim

x

2x 15

;

2.

lim

3

;

2

tg6x

и

x 5

2x

7x

15

x 0

3.

lim

4 x

2

;

4. lim 2 x 2xx 1;

x 0

x2 9 3

x 1

5.

lim

x2 2x 15

.

Д

2

7x 15

x 2x

Вариант 12

lim

3x2

7x 2

2. lim

1 e 2x2

1.

2

;

;

x 2 4x

5x 6

x 01 cos3x

x2 1

x

2

3 2

2

lim

x

3.

;

4.

lim

;

2

x 1 x2

8 3

2

x x

5.

lim

3x2

7x 2

.

И

x 4x2 5x 6

Вариант 13

1.

lim

x2

7x 6

2.

lim

1 ex2

;

x

2 1

x 1

x 0 ln 2x2 1

53

1

2x 4 2

3.

lim

;

4.

lim (1 3x2)x2

;

2x 1 1

x 0

x 0

x2 7x 6

5.

lim

.

x2 1

x

Вариант 14

x2

3x 10

1 x

3 x

и

1.

lim

x3

8

;

2. lim

;

x 2

x 1

1 x

2

С

x2

x

4

3.

lim

2

1

;

4.

lim 1 sin2x

;

x

x 01 cos4x

x 0

5.

lim

x2

3x 10

.

x3

8

x

Вариант 15

1.

lim

x2 2x 15

;

2.

lim

1 cos6x

;

x 3 x2

7x 12

x 0 arctg

2

6x

Д

4 x 2

1

2x2

бА

1 x

3.

lim

sin3x

;

4.

lim

(1

)

;

x 0

x

x 1

5.

lim

x2 2x 15

.

И

x x2 7x 12

Вариант 16

e3x2

1.lim

x

2

7x 10

;

2.

lim

1

;

2

)

3x 2

x 2 x2

x 0 ln(1 6x

1 cos2(x 1)

3x

2

x2

1

3.

lim

;

4. lim

;

2

2

x 1

x

8 3

3x

x

2

5.

lim

x2 7x 10

.

2 3x 2

x x

54

Вариант 17

1. lim	3x2	11x 6		2. lim	1 3x2
			;				;
x 3 2x2		5x 3		x 0 ln(x2		1)

С

3.

lim

1 x 2 x 2

;

4.lim 1 2x2 x2

;

9 x21

x 3

x 0

lim

3x2 11x 6

5.

.

2x2

5x 3

x

и

Вариант 18

бА

1 x 3 x

lim

x2 7x 10

2. lim

1.

;

;

x3 8

x2 1

x 2

x 1

3.

lim

ex2

1

;

4.

lim 1 tg2x ctgx2

;

x 0 cos3x 1

x 0

lim

x2 7x 10

5.

.

x3 8

x

Вариант 19

1.lim

x2 8x 15

2. lim

cos x cos2 x

;

;

x3

27

x 3

x 0 arctg7x

И

4 x 2

1

2

1 x

3.

lim

sin3x

;

Д4. lim (1

x 1

)

;

x 0

x

x2 8x 15

5.

lim

.

x3 27

x

Вариант 20

2x2

1.lim

3x2 7x 2

;

2.

lim

1 3

;

2

)

x 2

x2 3x 2

x 0 ln(1 x

55

1 cos2(x 2)

5x2

7x2

1

3.

lim

x2 12 4

;

4. lim

5x

2

2

;

x 2

x

5.

lim

3x2 7x 2

.

x2

3x 2

x

С

Вариант 21

x2

6x 8

1 cos2 x

и

1.

lim

;

2.

lim

;

x 2 arcsin(x 2)

x 01 cos 6x

1

x2

1 2x2

1 2x

3.

lim

;

4.

lim

;

2

x

x 0 ln(1 sin x)

x

5.

lim

x2 6x 8

.

(x 2)2

x

Вариант 22

1. lim

2x2 5x 3

;

2. lim

x2 1

;

x 3

x 3

x 1

3 x2 2

бА

x2 3

2x2

4

x2

1

4. lim

3. lim

;

2

5

;

x 1 ln x

x x

5.

lim

2x2 5x 3

.

Д

x 3

x

Вариант 23

x

2

5x 6

1 e

3x2

И

1.

lim

;

2.

lim

;

x 3

x2 9

x 0 1 cos4x

1

x2 17

x2 4

lim

3x 1

3.

;

4.

lim

;

2

x 0

arctg5x

2

x x

56

5.

lim

x2

5x 6

.

x2 9

x

С

Вариант 24

3

lim

x

2

2x 1

2. lim

cos

x cosx

1.

;

;

sin5x

2

x 1 2x2 x 1

x 0

2

5x2 4

lim

x 3

7x2 1

3.

;

4. lim

;

2

2

x 1

1 x

2

x 7x

5.

lim

x2

2x 1

.

бА

x 2x2

x

1

иВариант 25

1 cos5x

1.

lim

3x2 7x 10

;

2. lim

;

x 1

x2 1

x 0

e3x 1

5x2 3

5

lim

9 2x

5x2 11

3.

;

4. lim

;

2

x 8

x 1 3

5x

2

x

5.

lim

3x2 7x 10

.

Д

x2 1

x

И

x2

Вариант 26

2x 3

1.

lim

;

2.lim

1 x

1 x

;

x 1

x 1

x 0

1 x 1

lim

1 cos3x

4. lim

4x 12

8x 4

3.

;

;

2

ln(3x

1)

4x 3

x 0

x

5.

lim

x2

2x 3

.

x 1

x

57