- •Предисловие
- •Теория, примеры и задачи
- •§ 1. Системы двух уравнений
- •1.1. Теория и примеры
- •1.2. Задачи
- •§ 2. Симметрия относительно выражений
- •2.1. Теория и примеры
- •2.2. Задачи
- •§ 3. Cистемы трех уравнений
- •3.1. Теория и примеры
- •3.2. Задачи
- •Ответы
- •§ 1. Системы двух уравнений
- •§ 2. Симметрия относительно выражений
- •§ 3. Системы трех уравнений
- •Биографические справки
- •Список литературы
Теория, примеры и задачи
§ 1. Системы двух уравнений
1.1. Теория и примеры
4 35 Вспомним теорему Виета. Еще древние греки применяли ее для нахождения корней квадратного трехчлена. Но греки находили корни геометрически, с циркулем и линейкой. Нас же сейчас интересуют алгебраические методы. Пусть квадратный трехчлен представлен в виде
2 + + |
(1) |
и имеет вещественные корни 1 и 2. Тогда его можно разложить в произведение двух линейных членов:
2 + + = ( − 1)( − 2).
Раскроем скобки и приведем подобные:
( − 1)( − 2) = 2 − ( 1 + 2) + 1 2.
Таким образом, |
1 |
+ 2 = − , |
(2) |
|
|
1 |
· |
2 = . |
|
|
|
|
|
8 Теория, примеры и задачи
Теорема 1 (теорема Виета). Если 1 и 2 – корни квад- ратного трехчлена (1), то их сумма равна коэффициенту при с противоположным знаком, а произведение – свободному члену (2).
Теорема 2 (обратная теорема Виета). Если перемен- ные 1 и 2 удовлетворяют условиям (2), то они являются корнями квадратного трехчлена (1).
Прямая теорема иногда помогает нам угадать корни квадратного трехчлена. Например, только взглянув на выражение 2 − 5 + 6, мы можем сказать, что 1 = 2 и 2 = 3. Аналогично мы видим корни трехчлена 2 − 5 − 6. Это1 = −1 и 2 = 6. Обратная теорема позволяет свести процесс решения системы вида
+ = ,
к нахождению корней одного уравнения.
· =
Дадим системе геометрическую интерпретацию. График первого уравнения – прямая, второго – гипербола. Возможны три случая: графики имеют две точки пересечения, одну или не пересекаются. На рис. 1 приведен пример для = 1. Cистема уравнений имеет два решения,
одно решение или не имеет решений, когда принимает значения 3, 2 и 1 соответственно. Координаты ( ; )
§ 1. Системы двух уравнений |
9 |
|
|
Рис. 1. Графики уравнений: два решения ( = 3); одно решение ( = 2); нет решений ( = 1)
точек пересечения графиков будут корнями квадратного трехчлена 2 − · + .
Пример 1.
+ = 5,
= 6.
Решение. Мы могли бы сразу угадать ответ.
Ответ: |
= 2, |
и |
= 3, |
|
= 3, |
|
= 2. |
|
|
|
|
Но тогда нас попросят обосновать отсутствие других решений. Легко! Обратная теорема Виета утверждает, что значения и , удовлетворяющие условию задачи, долж-
ны быть корнями квадратного трехчлена 2 − 5 + 6, а он
имеет только два корня: 1 = 2 и 2 = 3. В следующем примере угадать решения не удастся.
10 |
Теория, примеры и задачи |
|
|
Пример 2.
+ = 3,
= −1.
Решение. Найдем корни треxчлена 2 −3 −1. Дискрими-
нант = 9 + 4 = 13. Значит,
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
1 = |
3 − 13 |
, |
2 = |
3 + 13 |
. |
||
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
Теперь можно записать ответ.
Ответ: |
|
√ |
|
|
|
|
√ |
||||||
|
|
|
|
|
и |
3 |
|
|
|
|
|||
|
3+√13 |
√13 |
|||||||||||
|
= |
3−2 13 |
, |
|
|
= |
3+ 13 |
, |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
= |
|
|
|
|
= |
−2 |
|
. |
||||
|
|
, |
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|||||||||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решениями системы уравнений с двумя неиз- |
вестными являются пары значений и , которые интерпретируются как координаты точек на плоскости, в даль-
нейшем |
мы |
будем |
|
|
записывать ответ |
в виде |
|||||||||||||||||||||||
( |
|
√ |
|
|
|
|
√ |
) |
( |
√ |
|
|
|
√ |
|
|
) |
|
|
|
|||||||||
|
|
3−2 |
13 |
; |
|
3+ |
13 |
|
и |
|
3+ |
13 |
; |
3−2 |
13 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пример 3. |
|
|
|
|
+ = 3√ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= √ |
|
+ 1. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||||||||
Решение. |
|
Найдем |
|
корни квадратного |
трехчлена |
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
√ |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
− 3 2 + |
6 + 1 |
|
= 18 − 4 6 − 4 = 14 − 4 6 |
§ 1. Системы двух уравнений |
11 |
|
|
Никто не осудил бы нас, если бы мы записали: |
|
√ √ √
1,2 = 3 2 ± 14 − 4 6 2
и на том остановились. Однако попробуем представить |
||||||||||||||||||||
√ |
|
|
как полный квадрат: |
14 |
√ |
|
|
|
|
√ |
|
√ |
|
|
2. |
|||||
14 − 4 6 |
|
|
|
|
|
− 4 6 = ( |
|
2 − 3) |
|
|||||||||||
Преобразуем правую часть равенства |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
√ |
|
|
2 |
+ 3 |
2 |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
14 − 4 6 = 2 |
|
|
− 2 6. |
|
|
|
|
|
|
Подберем такие и , чтобы выполнялись условия:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
= 4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 3 |
= 14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подходит |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
√ |
|
|
2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (2 3 − 2) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
, |
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 2 3 − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = 2 2 − |
|
|
= 2 + 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ответ: |
( |
|
|
2 − 3; |
|
|
2 + |
|
|
|
) ( 2 |
|
|
, а в |
2 − |
) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
, |
2 + |
3; 2 |
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вывод: если получили = |
3√ |
2+√ |
14−4√ |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задачнике дан |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ответ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
это |
еще |
не |
|
значит, |
что |
вы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 + |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3√ |
2+√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
√ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14−4√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
ошиблись. Просто |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 + |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
Теория, примеры и задачи |
|
|
Пример 4 (первая Московская математическая олимпиада, 1936). Сколько действительных решений
имеет система |
|
|
+ = 2, |
|
− 2 = 1? |
Решение. При каждом фиксированном мы имеем сим-
метричную относительно и систему уравнений
+ = 2,
2 − 2 + 1 + 2. /4 = − 2.
= 1 + 2.
/4 ≥ 0 только при = 0. Тогда квадратный трехчлен2 − 2 + 1 имеет два совпадающих корня: 1 = 2 = 1. Единственное решение: = = 1, = 0.
Ответ: одно решение.
Определение 1. Многочлен ( , ) от двух переменных
и будем называть симметрическим, если
( , ) ≡ ( , ).
Это значит, что если в многочлене поменять местами переменные, то мы получим многочлен, тождественный исходному. Симметрическими являются уже знакомые нам многочлены + и , а также 2 + 2, − 3 + ,
5 + 2 2 + 5 + 2 2 и т. д. Здесь мы акцентируем внимание
§ 1. Системы двух уравнений |
13 |
|
|
на симметрических многочленах, но, конечно, симметрическими могут быть и другие выражения:
2 + 2 |
√2 + √2 , 2 + 2 . . . |
6 + 2 + 6 , |
На этот случай сформулируем более общее определение. Определение 2. Выражение ( , ) от двух переменных
и будем называть симметрическим, если
( , ) ≡ ( , ).
Определение 3. Многочлены 1 = + и 2 = будем называть элементарными симметрическими.
Приведем без доказательства две теоремы, утверждения которых, возможно, многим покажутся очевидными. Теорема 3. Если в любом многочлене ( 1, 2) вместо 1
и 2 подставить соответственно + и , то получится
симметрический многочлен от и .
Теорема 4. Любой симметрический многочлен от и
можно представить в виде многочлена от + и .
Первая теорема дает нам метод конструирования симметрических многочленов. Вторая подсказывает подход к решению уравнений с такими многочленами.
Определение 4. Уравнение, в которое входят только симметрические выражения, будем называть симметрическим. Разумеется, определенный в этой книге вид симметрии
14 |
Теория, примеры и задачи |
|
|
уравнений не единственно возможный.
Из теоремы 4, в частности, следует, что через 1 = + и 2 = можно выразить любой многочлен вида + ,
где – натуральное число. Ниже приведен ряд полезных
тождеств.
+ = 1,
2 + 2 = 12 − 2 2,3 + 3 = 13 − 3 1 2,
4 + 4 = 14 − 4 12 2 + 2 22,5 + 5 = 15 − 5 13 2 + 5 1 22,
6 + 6 = 16 − 6 14 2 + 9 12 22 − 2 23,7 + 7 = 17 − 7 15 2 + 14 13 22 − 7 1 23,
8 + 8 = 18 − 8 16 2 + 20 14 22 − 16 12 23 + 2 24,9 + 9 = 19 − 9 17 2 + 27 15 22 − 30 13 23 + 9 1 24,
10 + 10 = 110 −10 18 2 +35 16 22 −50 14 23 +25 12 24 −2 25.
(3)
Второе тождество ( 2 + 2 = 12 − 2 2) непосредственно следует из тождества 2 + 2 = ( + )2 − 2 . Умножим
его левую и правую части на + .
( 2 + 2)( + ) = ( 12 − 2 2)( + )
§ 1. Системы двух уравнений |
15 |
|
|
3 + 3 + 2 + 2 = 13 − 2 1 2
3 + 3 = 13 − 2 1 2 − ( + ) = 13 − 3 1 2.
Также последовательно доказываются и остальные тождества (3).
Пример 5.
+ = 6,
2 + 2 = 20.
Решение:
|
+ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
= 6 |
|
|
= 6, |
|
+ = 6, |
|
|
, |
|||||
( + ) |
|
− |
2 = 20; |
36 |
− |
2 = 20; |
= 8. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: (2; 4), (4; 2).
Пример 6.
+ + = 11,
2 + 2 = 30.
Решение: |
|
|
+ + = 11, |
Замена переменных: |
+ = , |
( + ) = 30. |
|
= . |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теория, примеры и задачи |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
+ = 11, |
|
|
1. |
= 5, |
2. = 6, |
||||||||||||||
|
|
|
= 30. |
|
|
|
= 6. |
|
= 5. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1. |
+ = 5, |
|
1.1. |
= 2, |
|
1.2. |
= 3, |
||||||||||||||
|
|
|
= 6. |
|
|
|
|
|
= 3. |
|
|
= 2. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
+ = 6, |
|
2.1. |
= 1, |
|
2.2. |
= 5, |
||||||||||||||
|
|
|
= 5. |
|
|
|
|
|
= 5. |
|
|
= 1. |
||||||||||
Ответ: (3; 2), (2; 3), |
|
|
|
|
, |
|
(5; 1). |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1; 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 7. |
|
|
|
|
|
+ |
= 4, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 2 = 17. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
4( + ) = 5 , |
|||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( + )2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 = 17; |
|
= 17 + 2 ; |
|||||||||||||
|
( + )2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5( + )2 = 85 + 10 , |
|
|
5( + )2 − 8( + ) = 85, |
|||||||||||||||||||
|
8( + ) = |
|
|
|
10 ; |
|
|
|
|
|
5 = 4( + ). |
|||||||||||
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= + . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
первое уравнение в последней фи- |
|||||||||||||
гурной скобке можно записать в виде |
5 2 |
− 8 − 85 = 0. |
§ 1. Системы двух уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
4 ± 21 |
. |
|||||
/4 = |
16 + 425 = 441, |
|
/4 |
= |
21, |
|
|
|
|
||||||||||
17 |
, |
|
. Поскольку |
√ |
|
, а |
|
|
1,24 |
|
|
,5для |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 = − 5 |
2 |
|
= 5 |
( + ) |
|||||||||||||||
|
= 5 |
= + |
|
|
|
|
каждого корня получим систему уравнений:
+ = −17,
1. = −68, 5 где x и y – корни уравнения
25
2 + |
17 |
68 |
|
0. (5 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
− |
|
= |
|
+ 17(5 ) − 68 = 0. Неизвест- |
||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
25 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
ная величина здесь 5 . = |
561. 5 |
= |
−17 ± |
561 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−17 ± |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
= |
561 |
. Таким образом, мы получили два |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
10 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
решения: |
(−17−10 |
|
|
|
|
10 |
|
) |
и (− |
10 |
|
|
; − |
|
|
|
|
). |
|
||||||||||||||
|
561 ; − |
|
|
|
17 |
−10 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
17+√561 |
|
|
|
|
|
17+√561 |
|
|
|
√561 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2. |
+ = 5, |
|
решения (1; 4) и (4; 1). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
||||
(1; 4) и (4; 1)(. |
10 |
|
|
|
10 |
|
|
) |
( |
|
|
10 |
|
|
|
|
10 |
|
|
) |
|||||||||||||
Ответ: |
|
|
−17− 561 ; −17+ |
561 |
|
, |
|
|
−17+ |
561 ; −17− 561 |
, |
||||||||||||||||||||||
Пример 8. |
|
|
|
8 + 8 |
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 2 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теория, примеры и задачи |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( 4 + 4)2 − 2 4 4 = |
41 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
128 |
Повторим ту же процедуру: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
+ 2 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 + 2)2 |
− 2 2 2 |
) |
2 |
|
− 2 4 |
4 |
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
= |
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
128 |
|
Так как 2+ 2 = 1, |
||||||||||||||||||||||||||||||
( |
2 |
+ |
2 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
4 |
|
|
4 |
41 |
|
|
4 |
|
4 |
|
|
2 |
|
2 |
|
87 |
|
|
|||||||
(1 − 2 |
|
) |
|
− |
2 |
|
|
|
= |
|
|
, |
2 |
|
|
− 4 |
|
|
+ |
|
|
|
= 0, |
|
||||||||||
|
|
|
128 |
|
|
128 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
+ 2 |
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 2 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
− 4 + |
87 |
|
|
||||||||||
Введем обозначение = |
|
. Тогда |
2 |
|
|
|
|
= 0. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
27 |
|
|
(16 )2 − 32(16 ) + 87 = 0. Неизвестная величина здесь 16 .
/4 = 162 |
− 87 = 169 = 132. 16 1,2 = 16 ± 13 |
||||
1 = |
3 |
, |
2 = |
29 |
. Осталось рассмотреть две систе- |
16 |
16 |
мы уравнений, которые являются симметрическими отно- сительно 2 и 2. Последнее означает, что если ввести за-
мену переменных, например = 2, = 2, то получатся
системы, симметрические относительно и .
1. |
|
16 |
1.1. |
|
2 |
3 |
1.2. |
|
2 |
1 |
|
|
2 2 = |
3 |
, |
|
2 |
= 1 , |
|
2 |
= 3 , |
||
|
2 + 2 = 1. |
|
= 4 . |
|
= 4 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 1. Системы двух уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
19 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 = |
29 |
, |
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
29 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
16 |
2 |
− |
+ |
= 0. |
= 1 |
− |
4 |
· |
< 0. |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
16 |
16 |
||||||||||||||
|
2 + 2 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последняя система уравнений не имеет решения. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
√3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||
3 |
1 |
( |
−2 |
|
|
|
|
|
|
1) |
(3 |
; |
|
|
) |
, |
|
3( |
1 |
|
|
) |
|||||||
3 |
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
|
|
; − 2 |
, |
|
−2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
; − 2 , |
||||||||||||||||
(− |
√ |
|
; −2 ), |
(− |
√ |
|
; 2 ), |
( |
√ |
|
; −2 ), |
( |
√ |
|
; 2 ). |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
( √ )
12 ; 23 ,
Геометрический смысл последнего задания: найти координаты точек пересечения окружности 2 + 2 = 1 с кривой
8 + 8 = 12841 . Любопытства ради посмотрим, что же это за кривая (рис. 2). Уравнение + = при возраста-
Рис. 2. Графики к примеру 8
нии определяет фигуры, все более похожие на квадрат.
√
В нашем случае = 8 12841 ≈ 0.867.
20 |
|
|
|
|
|
Теория, примеры и задачи |
||
|
|
|
|
|
|
|||
Дружащий |
с |
|
тригонометрией |
школьник увидит |
||||
в последнем |
задании |
подход к |
решению |
уравнения |
||||
cos8 |
+ sin8 |
= |
|
41 |
. Если обозначить cos = , sin = |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
128 |
|
|
|
||
и |
учесть |
главное |
тригонометрическое |
тождество |
||||
cos2 |
+ sin2 = 1, получим условия примера 7. |
|
В следующем примере сведем уравнение с радикалами к
симметрической системе уравнений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 9. Решить уравнение |
− 1 + |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
102 − |
= 11 |
||||||||||||||||||||||
Решение. |
Найдем |
ОДЗ: |
|
|
[1; 102]. |
|
Обозначим: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2+ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
= |
√ |
− |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
= 11, |
|
|
+ = 11, |
|
|
||||||||||||||
= |
√ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
= 101; |
|
( + ) |
|
|
2 = 101; |
||||||||||
102 |
− |
; |
|
|
|
− |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
+ = 11, |
1. = 1, |
2. = 10, |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
= 10. |
|
|
= 10. |
= 1. |
|
|
|
||||||||||||||||
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
= 101 |
||||||||||
|
первом случае получим |
|
|
, во втором |
|
|
|
|
|
. |
Ответ: 1 = 2, 2 = 101. Пример 10.
+ + 4 = 6,
+ + | + |= 6.
Решение. Если + < 0, второе уравнение примет вид
0 = 6, и тогда система не имеет решения. Следовательно,
§ 1. Системы двух уравнений |
|
21 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
+ ≥ 0 и | + |= + . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
+ + 4 = 6, |
|
|
+ |
3 |
|
|
2 |
3 + 3 = 0. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3, |
|
|
|
|
|
|
|||||
+ = 3; |
|
= |
|
. |
|
|
− |
4 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
= 6. 2 1,2 = 3 ± √ |
|
|
|||||||||
(2 )2 − 6(2 ) + 3 = |
0. /4 = 9 − 3 |
6 |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 = |
3± 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: ( |
3−2√ |
|
; |
3+√ |
|
), |
( |
3+√ |
|
; |
3−2√ |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
6 |
6 |
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 11.
3 + 3 + ( + ) = 13,
2 2( 2 + 2) = 468.
Решение:
( + )( 2 − + 2) + ( + ) = 13,
2 2( 2 + 2) = 468.
|
2 2 |
|
2 |
2 |
|
2 2 |
( |
2 |
2 2 |
|
= 468. |
||||||
|
|
( + )( 2 + 2) = 13, |
|
|
+ 2) |
|
|
|
|||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
+ ) = 468. |
( + )( |
|
+ ) |
13 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ = , |
||||||||
|
2 2 |
= |
36. Введем обозначения: |
||||||||||||||
+ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теория, примеры и задачи |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 =236 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = 36 2, |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
− 2 ) = 468; |
|
|
|
((36 ) − 2 · 36 |
) = 468 · 36 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
4 |
|
|
2 |
|
36 |
|
|
) = 13 |
|
|
|
|
|
6 |
|
2 |
|
36 |
|
|
|
|
13 |
|
36 = 0 |
|||||||||||||||||||
2 |
|
− |
|
· |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
363 |
|
|
− |
|
· |
|
|
2 3 |
− |
|
|
· |
|
3 . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Введем обозначение: = 3. Тогда |
2 −2 ·362 −13 ·363 = 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1,2 |
|
= 1 296 |
|
|
|
|
1· |
|
512 |
|
|
|
· |
|
1 |
|
|
= |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= 2 808. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
216, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
/4 = 364 |
+ 13 |
|
|
363 |
= 363 |
|
49 |
|
|
|
/4 = 63 |
· 7 = 1 512. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= 3 = √3 |
|
1 = −6, |
|
|
2 = 6√3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1. 36 = 2, |
|
|
= 1, |
|
+ = 1, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
− |
6; |
|
|
|
= |
|
− |
6; |
= 6. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Откуда следуют два решения: (3; −2) и (−2; 3). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2. 36 =3 , |
|
|
|
= 13 |
2 |
, |
1 |
|
+ = 131 , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 6√ |
|
|
|
= 6 · 133 ; |
|
= 6 · 133 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
13; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ищем |
|
как |
|
корни уравнения |
|
− 13 + 6 · 13 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= 133 |
− 24 · 133 |
|
= 133 (13 − 24) < 0. |
|
|
Решений нет. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: (3; −2) и (−2; 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Пример 12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
+ |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
+ 2 |
= 49, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
= 931. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 1. Системы двух уравнений |
|
23 |
||
|
|
|
|
|
Решение: |
|
2 |
|
|
2 + + 2 |
= 49, |
+ + 2 |
= 49, |
|
|
|
|
|
|
( 2 + 2)2 − ( )2 = 931; ( 2 + + 2)( 2 − + 2) = 931.
2 |
+ + 2 = 49, |
|
+ |
2 |
= 34, |
( + ) |
− 2 = 34, |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
− |
+ = 19; |
= 15; |
= 15. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
( + )2 = 64, |
|
1. |
+ = −8, |
2. |
+ = 8, |
= 15. |
|
= 15. |
|
= 15. |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: (3; 5), (5; 3), (−3; −5), (−5; −3).
Пример 13.
4 ( |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
+ |
|
|
) − 6 |
( |
|
+ |
|
|
) = 2, |
|
|||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
+ |
2 |
= 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
Решение. Заметим, что |
|
+ |
|
|
= ( |
|
|
+ |
|
) |
− 2. Тогда |
|||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
первое уравнение примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 ( |
|
+ |
|
|
|
2 |
− 2) |
− 6 |
|
|
+ = 2. |
|||||||||||||||||||
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теория, примеры и задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
|
|
+ |
|
|
= . После элементарных преобразований |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 02. Корни: 1 = −1, 2 = 25 . |
||||
получим: |
4 2 |
− 6 − 10 |
2 |
||||||||||
Заметив, что |
|
|
+ |
|
= |
|
|
+ |
, рассмотрим два случая: |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 2 |
= −1, |
2 + 2 = 5, |
( + )2 = −5, |
|||||
1. |
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
+ |
2 |
= 5; |
|
= |
5; |
|
= |
5. |
|
|
|
|
− |
|
− |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку квадрат вещественного числа не может быть отрицательной величиной, система не имеет решений.
|
|
2 |
+ 2 |
= |
5 |
, |
2 + 2 = 5, |
+ = ±3, |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
2 |
+ |
2 |
= 5; |
|
|
= 2; |
|
= 2. |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Осталось воспользоваться теоремой Виета.
Ответ: (1; 2), (2; 1), (−1; −2), (−2; −1).
Пример 14. Решить систему уравнений
8 + 8 + 4 + 4 = 274,
= 2.
§ 1. Системы двух уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение: |
|
|
4+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
( |
4 |
|
) − 2 |
|
|
|
|
+ |
4 |
+ |
4 |
= 274 |
|
||||||||
|
|
|
4 |
|
4 2 |
|
4 4 |
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||||
|
|
|
= 16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
( |
|
4+ |
4 |
) |
|
+ |
4 |
+ |
4 |
− 306 = 0 |
|
||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||
|
|
|
= 16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим = 4 + 4. |
≥ |
0. 2 |
+ |
− |
306 = 0. Заметим, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
что 306 = 17 ·18. 1 |
= −18, 2 = 17. Отрицательный корень |
||||||||||||||||||||||
отбрасываем. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
17 + 16 = 0. 1 = 1, |
2 = 16. |
|||||||||||
4 |
+ 4 = 17, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= 16. |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
= 1, |
= |
1, |
1. 4 |
= 16; |
= |
±2. |
|
|
|
± |
4 |
= 16, |
= |
2, |
2. 4 |
= 1; |
= |
±1. |
|
|
|
± |
Поскольку = 2, и должны иметь один знак.
Ответ: (1; 2), (2; 1), (−1; −2), (−2; −1).
Исследуем три системы уравнений с параметром.
26 |
Теория, примеры и задачи |
|
|
В общем случае решить систему с параметром – значит для любого значения параметра найти все решения системы или установить отсутствие решений. Но условия конкретной задачи, как в следующем примере, могут быть менее жесткими.
Пример 15 (ЕГЭ, 2020). Найти все значения параметра , при каждом из которых система уравнений
4 + 2 = 2,
2 + = | + 1|
имеет ровно четыре решения.
Решение. Введем обозначение 2 = . Теперь систему можно записать в виде
+ = + 1 , |
|
+ = |
| |
+ 1 , |
|
|
|||||
2 + 2 |
=| 2; |
| |
( + )2 |
|
2 |= 2 |
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
2 | |
|
|
| |
2 |
|
|
| 1 |
| |
, |
|
+ = |
+ 1 , |
|
+ = + 1 |
|
|||||||
( + 1) |
− |
2 = ; |
= + 2 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку каждому положительному значению соответствует два значения = ±√ , нам достаточно определить,
при каких значениях последняя система уравнений име-
§ 1. Системы двух уравнений |
27 |
|
|
ет два положительных решения. Эти решения будем искать как корни квадратного трехчлена 2 −| + 1|· + + 12 .
= 2 + 2 + 1 − 4 − 2 = 2 − 2 − 1 = ( − 1)( − 2), |
||||||||||
|
= 1 ± √ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
где 1,2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1) При |
|
|
√ |
|
√ |
|
|
получим |
< 0 |
– трехчлен |
|
(1 − 2; 1 + 2) |
|
|
не имеет вещественных корней;
√
2)при = 1± 2 трехчлен имеет два совпадающих корня;
√√
3) при (−∞; 1 − 2) (1 + 2; +∞) – два различных |
||||
корня 1,2 = |
| + 1|±√ |
2 − 2 − 1 |
. |
|
2 |
||||
|
|
Осталось исключить случаи, когда один из корней отрицателен или равен нулю.
|
| + 1|+√ |
|
|
|
1 = |
2 − 2 − 1 |
всегда неотрицателен, а также |
||
2 |
||||
|
|
не равен 0, так как выражения под модулем и под знаком
радикала одновременно в ноль не обращаются. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
| + 1|−√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 − 2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
≤ |
0 |
| |
+ 1 |
2 |
− |
2 |
− |
1. |
||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|≤ |
|
|
|
|
|||||||||||
2 + 2 + 1 ≤ 2 − 2 − 1 ≤ −0, 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−∞; 1 − 2) (1 + 2; +∞) (−∞; −0, 5] = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−0, 5; 1 − 2) (1 + 2; +∞). |
||||||||||||||||||||
Ответ: |
(−0, 5; 1 |
√ |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
− 2) (1 + 2; +∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
Теория, примеры и задачи |
|
|
Пример 16 (ЕГЭ, 2020). Найти все значения параметра , при каждом из которых система уравнений
( − + 2)( − + 3 ) = 0,
| |=
имеет ровно восемь решений.
Решение. Из второго уравнения следует, что ≥ 0. Рассмотрим случай = 0. Тогда из первого уравнения следует
= , а из второго = 0. Значит, при = 0 существует единственное решение: = = 0. Этот случай нас не интересует. В дальнейшем будем рассматривать только > 0. Введем замену переменной = − . Теперь систему можно переписать в виде
( + = −2 ) ( + = −3 ), |
где |
|
– логическое «или». |
||||
( = ) |
|
( = |
− |
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, нам следует рассмотреть четыре случая:
1. |
+ = −2 , |
|
2 |
+ |
2 |
+ = 0, = 4 |
· |
1 − 3 |
. |
|||
|
2 |
|||||||||||
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|||||
> 0 при |
|
(0; 1) |
– два решения; = 0 при = 1 – |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 1. Системы двух уравнений |
|
|
29 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
одно решение. |
|
|
|
|
|
|
|
2. + = −3 , |
|
2 + 3 + = 0, = (9 |
− |
4). |
|
||
= . |
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
> 0 при ( |
9 ; +∞) – два решения; = 0 при = |
9 |
– |
одно решение.
3. + = −2 ,
= − .
|
2 + |
2 |
|
− = 0, = 4 |
· |
1 + 3 |
|||
|
|
|
|
|
. |
||||
|
2 |
> 0 |
при (0; +∞) – два решения. |
||||||
4. |
+ = −3 , |
|
2 + 3 |
− |
= 0, = (9 + 4). |
||
|
= |
. |
|
|
|||
|
|
|
− |
|
|
|
|
> 0 |
при |
(0; +∞) – два решения. |
Помним, что нас интересуют только положительные значения . В двух последних пунктах имеем в сумме четыре решения при всех из интервала (0; +∞). Остальные четыре принадлежат пересечению интервалов (0; 1)
и (49 ; +∞) из первых двух пунктов, на каждом из которых имеется два решения: (0; 1) ∩ (49 ; +∞) = (49 ; 1). Однако ре-
√
шения могут совпадать при 2 = 3 , т. е. при = ± 23 .
30 Теория, примеры и задачи
Отрицательный корень нас не интересует, а положитель-
чай. Система уравнений будет√ |
3 |
иметь ровно восемь реше- |
||||||||||
ный, как легко проверить, |
2 |
> 4 |
||||||||||
|
|
|
|
√ |
|
2 |
√ |
|
|
|
9 . Исключим этот слу- |
|
4 |
|
2 |
2 ) |
|
|
|
|
|||||
ний при |
|
(4 |
; |
|
|
( |
2 |
; 1). |
|
|||
|
|
|
9 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
Обычно графики√ |
строят√ |
в процессе работы над задачей. |
||||||||||
Ответ: (9 |
; |
|
3 ) |
( |
3 |
; 1). |
|
|
|
В нашем случае обратимся к ним для анализа результатов. График первого уравнения распадается на две параллельные прямые, график второго – на две гиперболы. Решениям соответствуют точки пересечения прямых с гипербола-
ми. Как видно на рис. 3, при = 4 |
(левая граница интер- |
||||||||||
вала ( |
|
√ |
|
)) |
|
|
|
9 |
|||
9 ; |
3 |
|
4 |
|
2 |
|
|
= 3 (внут- |
|||
|
4 |
|
2 |
|
таких пересечений семь, при |
2 |
|||||
ри интервала |
( |
|
; √ |
|
)) – восемь пересечений. На рис. 4 |
||||||
9 |
3 |
Рис. 3. Графики к примеру 16: = 49 (слева); = 23 (справа)
при = |
√ |
3 |
(две прямые совпадают) – четыре точки, при |
|
|
2 |
|
§ 1. Системы двух уравнений |
31 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( √ |
|
; 1)) – восемь точек. На |
= |
9 |
|
32 |
||
10 |
(внутри интервала |
Рис. 4. Графики к примеру 16: = |
√ |
3 |
(слева); = 10 (справа) |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
9 |
|
|
|
( √ |
|
; 1)) – восемь |
|||||
рис. 5 при = 1 (граница интервала |
32 |
точек пересечения, при = 43 (точка справа от 1) – четыре точки пересечения. При движении слева направо вдоль
Рис. 5. Графики к примеру 16: = 1 (слева); = 43 (справа)
вещественной оси одна прямая на графике поднимается
32 |
Теория, примеры и задачи |
|
|
вверх параллельно самой себе, а другая опускается вниз. Пример 17. Решить систему уравнений
| |+| |= 1,
2 + 2 = .
Решение. Из вида уравнений следует, что ≥ 0. Гра-
фик первого уравнения – квадрат, второго – окружность
√ √
радиусом (рис 6). Если радиус окружности меньше 22
Рис. 6. Графики к примеру 17
или больше 1, система не имеет решений. При радиусе,
√
равном 22 или 1, существуют четыре решения, а если зна-
§ 1. Системы двух уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
√ |
|
; 1 |
|
||||||||||||||||||||
чение радиуса принадлежит интервалу |
2 |
– восемь |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
решений, т. е. окружность пересекает |
|
|
2 |
|
) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
квадрат в восьми |
||||||||||
точках. Теперь перейдем к аналитическому решению. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |
|+| |
|=21 |
|
|
|
|
|
| |
|+| | |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
( + |
) |
|
|
2 |
|
= ; |
|
|
= −2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
| | | | |
|
|
− |
|
| || | |
|
|
| || | |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 − + |
1−2 |
= 0. |
= 2 − 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1. < 0 при < |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . Решений нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. = 0 при = |
21 | |= | |= |
21 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
> 0 |
при |
> |
1 |
1,2 = |
1± 2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
| |≥ |
2 |
2 . |
|
|
|
|
≥ |
|
|
|
|
|
≥ |
|
||||||||||||||||||||
Однако |
|
|
|
0, |
|
| |≥ |
|
0. Значит, ( 1 |
|
|
|
0)&( 2 |
|
0). |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
1 + |
|
|
|
2 − 1 |
|
≥ |
0 |
при любом |
|
допустимом |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
√ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 − 2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
= |
|
≥ |
0, когда |
2 |
− |
1 |
|
≤ |
|
1 |
|
|
≤ |
1. |
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= 1 1 |
= 0, |
|
2 |
= 1. Соответственно | |= 0, | |= 1 |
или | |= 1, | |= 0. При > 1 Решений нет. Теперь мы мо-
жем сформулировать ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ: При (−∞; 21 ) (1; +∞) Решений нет; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
при = 21 |
– четыре решения: (21 ; 21 ), (21 ; −21 ), (−21 ; 21 ), (−21 ; −21 ); |
||||||||||||||||||||||||||
при ( |
21 ; 1) – восемь решений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(±1 |
√ |
|
|
|
; |
± |
√ |
|
|
) (± |
√ |
|
|
; |
± |
|
|
√ |
|
|
|
) |
|
|
|||
√2 1 |
1+√ |
2 1 |
1+√2 1 |
1 |
|
√ |
2 1 |
|
|
||||||||||||||||||
1− |
2 −1 |
|
1+ 2 −1 , |
|
1+ 2 −1 |
|
1− |
2 −1 |
, |
|
|
||||||||||||||||
( |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
) |
( |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
− ; |
|
|
|
|
(1; 0) (0; 1) ( |
|
|
|
|||||||||||||||||
± − 2 |
2 |
− , |
± |
|
2 |
− |
; |
|
|
− |
2 |
− ; |
− |
|
|||||||||||||
при = 1 – четыре решения: |
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
− |
1; 0), (0; |
1). |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
Теория, примеры и задачи |
|
|
Следующее задание для тех, кто дружит с логарифмами. Пример 18 (вступительный экзамен, математический факультет ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1979). Решить систему уравнений
= 20,
lg = 2.
Решение. ОДЗ: ( > 0)&( > 0). Возьмем логарифмы от
левых и правых частей уравнений.
lg + lg = 1 + lg 2, |
|
1. |
lg = 1, |
2. |
lg = lg 2, |
||
lg |
· |
lg = lg 2. |
|
lg = lg 2. |
|
lg = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 10, = 2 и = 2, = 10.
Ответ: (10; 2) и (2; 10).
Пример 19 (вступительный экзамен, математический факультет Московского областного педагогического института им. Н. К. Крупской, 1979). Решить систему уравнений
|
√ |
|
|
|
|
|
|
+ + |
|
+ = 20, |
|||||
2 + 2 |
= 136. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Обозначим √ + = , |
≥ |
0. Первое уравнение |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
примет вид 2 + − 20 = |
|
|
|
|
|
||
0 1 = −5, 2 = 4. Условию |