Васильев.ответы на вопросы по линейной алгебре и аналитической геометрии / Analiticheskaya_geometria

34. Дайте определения решения системы линейных алгебраических уравнений. Расшифруйте понятия «совместная», «несовместная», «определённая», «неопределённая» системы.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решения считаются различными, если хотя бы одно из значений переменных не совпадает.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решения считаются различными, если хотя бы одно из значений переменных не совпадает.

Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение.

В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой.

35. Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель

системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может.

36. Что называется рангом матрицы? Как он находится?

Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

37. Сформулируйте теорему Кронекера – Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

38. При каких условиях система линейных алгебраических уравнений имеет множество решений? Когда она имеет единственное решение?

Система линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы и равен числу переменных, т. е. r(A) = r(A*) = n

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. r(A) = r(A*)

39. Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений, для решения систем уравнений, которые не являются квадратными (чего не скажешь про метод Крамера и матричный метод). То есть метод Гаусса - наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна.

54) Запишите различные виды прямой и укажите геометрический смысл параметров уравнения.

Параллельные прямые – прямые, которые не имеют общих точек и не пересекаются между собой;

Рис. 3. Параллельные прямые

Пересекающиеся прямые – прямые, которые имеют одну общую точку;

Рис. 4. Пересекающиеся прямые

Перпендикулярные прямые – прямые, которые пересекаются под углом 90 градусов. Перпендикулярные прямые образуют прямой угол.

Рис. 5. Перпендикулярные прямые

Касательная – прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Рис. 6. Касательная

55) Запишите условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости в случае различных видов уравнений прямых

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k1 = k2.

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде, необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

Это условие может быть записано также в виде

k1k2 = -1.

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде, то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A1A2 + B1B2 = 0.

56) Как найти точку пересечения прямых на плоскости?