Васильев.ответы на вопросы по линейной алгебре и аналитической геометрии / Analiticheskaya_geometria

Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решением системы линейных

уравнений

Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.

И вот вам, кстати, геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые. И реже:

–если система несовместна (без решений), то прямые параллельны;

–если , то прямые совпадают, то есть, фактически нам дано не два, а одно уравнение.

57) Как вычисляется расстояние от точки до прямой на плоскости

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на

прямую.

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости

Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(Mx, My) до прямой можно найти, используя следующую формулу

|A·Mx + B·My + C|

d =

√A2 + B2

58)Дайте определение эллипса и запишите его каноническое уравнение.

Эллипс — это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух точек F1 и F2 равна постоянной величине. Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса.

F1M1 + F2M1 = F1M2 + F2M2 = A1A2 = const

59) Дайте определение гиперболы и запишите её каноническое уравнение

Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных

точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.

|r1 - r2| = 2a, откуда Если обозначить b² = c² - a², отсюда можно получить

- каноническое уравнение гиперболы.

60) Дайте определение параболы и запишите её каноническое уравнение

Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой. Для вывода уравнения параболы выберем декартову систему координат так, чтобы ее началом была середина перпендикуляра FD, опущенного из фокуса на директрису, а координатные оси располагались параллельно и перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD равна р. Тогда из равенства r = d следует,

что поскольку Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду: y² = 2px ,

называемому каноническим уравнением параболы.

Величина р называется параметром параболы.

61) Изложите схему приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

Пусть в прямоугольной системеалгебраическаякоординат линияпорядкавторого задана уравнением:

Чтобы привести уравнение к каноническому виду, нужно выпо действия.

1. Если в уравнении имеется член с произведением, то делаемнеизвестн поворот системы координат:

на угол, удовлетворяющий равенству. При этом получим "почти" привед уравнение линии второго порядка:

Если, переходим к пунктуповорот2,системы координат делать не нуж исходное уравнение имеет "почти" приведенный вид.

2. Выполняем параллельный перенос системы координат:

а) если в уравнении нет линейных членов, то переходим к п

б) если в уравнении инейныйимеется член с-либокакойнеизвестной и квадратичный член с этой же неизвестной, то, дополняя эти ч квадрата, делаем замену, чтобы в уравнении не стало линейно неизвестной. Например, если ив,тоуравнениивыполняем преобразования:

а затем замену неизвестных, после которой в уравнении не будет ли члена с неизвестной;

в) если в уравнении имеется только один линейный-либо член с к неизвестной, а квадрат этой неизвестной отсутствуеэтой,то при переменной надо сделать равным нулю свободный член уравнени уравнение имеет вид

то, выполняя замену неизвестных, получаем уравнение без свободного

3. Полученное в результате упрощений (пункт "почти"2)уравнение и канонический вид. Для окончательного упрощения "почти" кано при необходимости применяются следующие преобразования:

а) переименование координатных; осей:

б) изменение направления координатной оси, например; оси а в) умножение обеих частей уравнения на отличный от нуля мно г) перенос членов из одной части уравнения в другую.

В результате этих преобразований уравнение приводится к к Замену неизвестных, приводящую уравнение поверхностискомувиду,к кано определяем как композицию всех замен, применяемых в ходе ре

62) Дайте понятие полярной системы координат.

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой декартовой, или прямоугольной, системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым лучом, или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат, или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами:

радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата также называется полярным

углом или азимутом и обозначается φ , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку[1].

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако,

для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

63) Опишите параметрический способ построения линий на плоскости

Итак, параметрические уравнения прямой на плоскости

вида определяют в заданной прямоугольной системе

координат Oxy прямую линию, проходящую через точку и имеющую

направляющий вектор . Таким образом, если нам известны координаты некоторой точки прямой и координаты ее направляющего вектора в прямоугольной системе координат на плоскости, то мы можем сразу написать параметрические уравнения этой прямой.

Следует также отметить, что если - направляющий вектор

прямой a и если точки и лежат на прямой а, то прямую можно определить как параметрическими уравнениями прямой

вида		, так и параметрическими уравнениями прямой
вида			.

64) Плоскость, её общее уравнение

Принятое общее уравнение плоскости обычно имеет следующий вид: A x+B y+C z+D= Ax+By+Cz+D = 0. Оно в основном используется только для 3-мерного пространства и прям-ной координатной системы. Если задано общее уравнение плоскости, и имеется действительное число, неравное нулю.

65) Как определяется взаимное расположение плоскостей? Запишите условия

параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Это и есть условие параллельности двух плоскостей. Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих текущих координатах пропорциональны.

Условие перпендикулярности. Две плоскости перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда их нормальные векторы взаимно перпендикулярны.

66) Как вычисляется расстояние от точки до плоскости?

Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости

Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от точки M(Mx, My, Mz) до плоскости можно найти, используя следующую формулу:

|A·Mx + B·My + C·Mz + D|

d =

√A2 + B2 + C2

69)Как определить взаимное расположение прямых в пространстве

Две прямые пространства могут:

1)скрещиваться;

2)пересекаться в точке ;

3)быть параллельными ;

4)совпадать.

Как выяснить взаимное расположение прямых в пространстве?

Рассмотрим общий алгоритм и две прямые:

–прямую , заданную точкой и направляющим вектором ;

–прямую , заданную точкой и направляющим вектором .

Для лучшего понимания выполним схематический чертёж, на котором в качестве примера изображены скрещивающиеся прямые

Так как известны точки , то легко найти вектор .

1) Если прямые скрещиваются, то

векторы не компланарны,

а, значит, определитель, составленный из их координат, ненулевой. Или, что фактически то же самое, смешанное произведение векторов отлично от

нуля:

Пусть . Это означает, что векторы компланарны, и вся

конструкция «схлопнулась» в одну плоскость. Следовательно, прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают.

2) Если направляющие векторы не коллинеарны, то прямые пересекаются.

3-4) Если направляющие векторы коллинеарны, то прямые либо параллельны, либо совпадают. Финальным гвоздём предлагаю следующий приём: берём какую-либо точку одной прямой и подставляем её координаты в уравнение другой прямой. Если координаты «подошли», то прямые совпадают, если нет – то прямые параллельны.

70) Как вычисляется расстояние от точки до прямой в пространстве

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Если s = {m; n; p} - направляющий вектор прямой l, M1(x1, y1, z1) - точка лежащей на

прямой, тогда расстояние от точки M0(x0, y0, z0) до прямой l можно найти, используя формулу

d =

|M0M1×s|

|s|

71) Как определить взаимное расположение прямой и плоскости?

Рассмотрим плоскость и прямую , заданную точкой и направляющим вектором .

Существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости:

1)прямая пересекает плоскость в некоторой точке ;

2)прямая параллельна плоскости: ;

3)прямая лежит в плоскости: . Да, так вот нагло взяла, и лежит.

Как выяснить взаимное расположение прямой и плоскости?

Изучим аналитические условия, которые позволят нам ответить на данный вопрос. Выполним схематический чертёж, на котором прямая пересекает плоскость:

Прямая пересекает плоскость тогда и только тогда, когда её направляющий вектор не ортогонален вектору нормали плоскости.

Из утверждения следует, что скалярное произведение вектора нормали и направляющего вектора будет отлично от нуля: .

В координатах условие запишется следующим образом:

Если же данные векторы ортогональны, то есть если их скалярное

произведение равно нулю: , то прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней:

Разграничим данные случаи.

Если прямая параллельна плоскости, то точка (а значит, и

ЛЮБАЯ точка данной прямой) не удовлетворяет уравнению плоскости: .

Таким образом, условие параллельности прямой и плоскости записывается следующей системой:

Если прямая лежит в плоскости, то точка (а, значит, и ЛЮБАЯ

точка данной прямой) удовлетворяет уравнению плоскости:

.

Аналитические условия данного случая запишутся похожей системой: