- •Часть 4
- •1.Функции нескольких переменных
- •1.1. Понятие функции двух переменных. Область определения
- •1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •1.3. Частные производные и частные дифференциалы первого порядка
- •1.4. Полное приращение функции и полный дифференциал
- •1.5. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях первого порядка
- •1.6. Частные производные сложной функции. Полная производная
- •1.7. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.8. Производная по направлению. Градиент
- •1.9. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •1.10. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •1.11. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие
- •1.12. Достаточный признак экстремума
- •1.13. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Двойной интеграл
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Основные свойства двойного интеграла
- •2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •2.4. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •2.5. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла
- •2.6. Вычисление площадей плоских фигур
- •2.7. Вычисление площадей поверхностей
- •2.8. Моменты инерции плоской фигуры
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Тройной интеграл
- •3.1 Задача, приводящая к понятию тройного интеграла
- •3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •3.3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
- •3.4. Вычисление объема тела с помощью тройного интеграла
- •3.5. Приложение тройного интеграла для вычисления массы тела
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Вычисление криволинейного интеграла II рода
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Поверхностный интеграл II рода
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Вычисление поверхностного интеграла II рода
- •5.3. Формула Остроградского-Гаусса
- •5.4. Формула Стокса
- •5.5. Векторная запись формулы Стокса. Ротор вектора
- •5.6. Потенциальные векторные поля. Нахождение потенциала
- •5.7. Оператор Гамильтона. Векторные операции второго порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Начала математического анализа
- •Часть 4
- •Подписано к изданию 02.05.06.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.4. Полное приращение функции и полный дифференциал
Пусть
функция двух переменных
f(x,у)
определена и непрерывна в точке М0(х0
,у0)
и ее окрестности. Если переменные
и
изменились, приняв значения
и у=у0+у,
то
функция f(x,у)
испытала полное
приращение
z=f(М)
- f(М0)
=
у0+у
Полное приращение для широкого класса функций, называемых дифференцируемыми, можно приближенно выразить линейно через приращения аргументов.
Функция z=f(x,у) называется дифференцируемой в точке М0 (х0,у0), если полное приращение функции представимо в виде: z=Аx+Вy+ , где А и В не зависят от и , а выражение является бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с и .
Линейная по и часть полного приращения функции f (x, у) называется полным дифференциалом функции f(x,у) в точке М0 (х0,у0) и обозначается dz:
dz=Аx+Вy.
Следует отметить, что полное приращение функции f(x,у) можно записать z=dz+ .
Необходимое условие дифференцируемости сформулировано в виде теоремы.
Теорема: Если функция z=f(x,у) дифференцируема в точке М0(х0,у0), то эта функция имеет в точке М0 частные производные, причем
=А, =В.
Доказательство. Так как функция f(x,у) дифференцируема в точке М0 (х0,у0), то ее полное приращение представимо в виде: z=Аx+Вy+x+. Положим х 0, а у=0. Тогда полное приращение функции переходит в частное приращение хz по х:
z=хz =Аx+x ,
где 0 при х 0.
Рассматривая предел отношения , имеем
= =А= .
По аналогии, полагая х=0, у 0, получим =В. Следовательно, полный дифференциал можно записать в виде:
dz= x+ y.
Поскольку x=dх и y=dу, то
dz= dx+ d.y
Слагаемые dx= и dy= называются частными дифференциалами соответственно по и .
Для функции нескольких переменных наличие частных производных не является достаточным условием дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных сформулированы в виде теоремы.
Теорема: Если функция z=f(x,у) имеет частные производные в точке М0 (х0,у0) и некоторой ее окрестности, и эти частные производные являются непрерывными функциями, то функция дифференцируема в точке М0 , причем
dz= х+ у.
Доказательство: Запишем полное приращение функции
f(x, у) при переходе от точки М0(х0,у0) в точку :
z=f(М)-f(М0)=f(x0+x, у0+у)-f(x0,у0)=
=(f(x0+x, у0+у)-f(x0,у0+у))+(f(x0, у0+у)-f(x0,у0)).
Выражение f(x0+x, у0+у)-f(x0,у0+у) представляет приращение функции f(x,у) только по переменной х при фиксированном значении у=у0+у второй переменной, следовательно, приращение можно рассматривать как приращение функции одного аргумента. Функция f(x,у) непрерывна по х на отрезке [x0,x0+x]. Применяя к частному приращению теорему Лагранжа, получим:
= х,
где с(x0,x0+x).
По аналогии, выражение (f(x0, у0+у)-f(x0,у0)) является частным приращением функции по у (х=х0). Функция одной переменной f(x0,у) непрерывна по у на отрезке [у0,у0+у]. Применим теорему Лагранжа: = y, где d(y0,y0+y).
Поскольку по условию теоремы частные производные и являются непрерывными функциями в точке М0 и ее окрестности, то:
= , = .
Так как при х0 и у0 c х0 , а dу0, то
= + и = +,
где и - бесконечно малые величины более высокого порядка малости по сравнению с х и у.
Подставляя полученное в выражение для полного приращения функции, имеем:
z=[ +]х+[ +]y=
= х+ y+х+y.
Последнее равенство и означает, что функция z=f(x,у) дифференцируема в точке М0.
Приведем без доказательства еще одну теорему.
Теорема. Если функция f(x,у) дифференцируема в точке М0, то она непрерывна в этой точке.
Следует отметить, что дифференциал для функции большего числа переменных u= f (x, у, z) равен
du= dx+ dy+ dz.