- •Часть 4
- •1.Функции нескольких переменных
- •1.1. Понятие функции двух переменных. Область определения
- •1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •1.3. Частные производные и частные дифференциалы первого порядка
- •1.4. Полное приращение функции и полный дифференциал
- •1.5. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях первого порядка
- •1.6. Частные производные сложной функции. Полная производная
- •1.7. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.8. Производная по направлению. Градиент
- •1.9. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •1.10. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •1.11. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие
- •1.12. Достаточный признак экстремума
- •1.13. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Двойной интеграл
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Основные свойства двойного интеграла
- •2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •2.4. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •2.5. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла
- •2.6. Вычисление площадей плоских фигур
- •2.7. Вычисление площадей поверхностей
- •2.8. Моменты инерции плоской фигуры
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Тройной интеграл
- •3.1 Задача, приводящая к понятию тройного интеграла
- •3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •3.3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
- •3.4. Вычисление объема тела с помощью тройного интеграла
- •3.5. Приложение тройного интеграла для вычисления массы тела
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Вычисление криволинейного интеграла II рода
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Поверхностный интеграл II рода
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Вычисление поверхностного интеграла II рода
- •5.3. Формула Остроградского-Гаусса
- •5.4. Формула Стокса
- •5.5. Векторная запись формулы Стокса. Ротор вектора
- •5.6. Потенциальные векторные поля. Нахождение потенциала
- •5.7. Оператор Гамильтона. Векторные операции второго порядка
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Начала математического анализа
- •Часть 4
- •Подписано к изданию 02.05.06.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.5. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях первого порядка
В приближенных вычислениях полное приращение функции f(x,у) заменяют полным дифференциалом: zdz. Предполагается, что слагаемыми x+y, дающими нелинейный по x и y вклад в полное приращение функции, можно пренебречь. Для функции двух переменных вычисления связаны с приближенной формулой:
f(x0+x, у0+у) f(x0,у0)+ х+ y.
Пример 5. Вычислить 1,97 .
Решение: Рассмотрим функцию двух переменных f(x,у)=х . В качестве исходной точки возьмем точку М0(2,0). Надо найти значение данной функции в точке М1 (1,97; 0,2).
Воспользуемся приближенной формулой
f(x0+x, у0+у) f(x0,у0)+ х+ y.
Здесь х0=2, у0=0, х=-0,03, у=0,2 , = = =1; = =2, f(x0,у0)= f(2,0)=2 2.
Тогда : 1,97 =f(1,97; 0,2) 2+1(-0,03)+20,2 = 2,37.
1.6. Частные производные сложной функции. Полная производная
Пусть дана дифференцируемая функция z=f(u,v), где u и v тоже дифференцируемые функции двух переменных x и у:
u (x, у) и v (x, у). Тогда функция z является сложной функцией двух переменных x и у z = f(u(x,у), v(x,у)).
Найдем = . Дадим переменной х приращение х, зафиксировав значение у. При этом промежуточные аргументы u и v получат частные приращения по х:
хu= u(x+x,у) - u(x,у) и хv= v(x+x,у) - v(x,у).
Тогда промежуточные аргументы представляются в виде
u(x+x,у)=u(x,у)+хu и v(x+x,у)=v(x,у)+хv.
Функция z=f(u,v) получит полное приращение z:
z=f[u(x+x,у);v(x+x,у)]-f[u(x,у),v(x,у)]= f(u+xu,v+xv)-f(u;v).
Поскольку функция z дифференцируема, то ее полное приращение представимо в виде:
z= xu+ xv+xu+xv,
где выражение xu+xv является бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с xu и xv.
Рассмотрим предел отношения :
=
При х 0 и . Поскольку выражение xu+xv является бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с xu и xv, то предел отношения равен
= = .
По аналогии, давая приращение переменной у, и фиксируя переменную х, можно получить выражение для :
= .
Пример 6. Найти частные производные , функции , где , .
Решение:
= = ,
= = .
Если сложная функция зависит от нескольких промежуточных функций, которые в свою очередь зависят от одной переменной , т.е. , то получим
= .
Пример 7. Найти производную , если , а .
Решение:
Воспользуемся формулой = :
=
= .
Рассмотрим часто встречающийся в приложениях случай, когда сложная функция зависит от независимой переменной непосредственным образом, а также через промежуточные функции:
где
В этом случае получается формула полной производной:
= .
Пример 8. Найти полную производную , если , а .
Решение:
Поскольку , , , то
= .
Пример 9. Найти полную производную , если , .
Решение:
,
Пользуясь формулой полной производной, получим
=
1.7. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала
Найдем полный дифференциал сложной функции , если и являются функциями переменных и , т.е. u= u(x, у), v=v(x,у). Имеем :
= .
Раскрыв скобки, и перегруппировав слагаемые, имеем:
= .
Форма записи дифференциала первого порядка не зависит от того, являются ли u и v независимыми переменными или функциями. Это свойство называется инвариантностью формы полного дифференциала.