- •I. О постановке задач в теории пластичности
- •Основные уравнения теории пластичности
- •2. Теоретические методы решения задач омд
- •2.2. Метод линий скольжения [1,2,4]
- •2.3. Вариационные методы [2,3,4,5,6]
- •2.4. Численные методы [15,16]
- •3. Реологические модели
- •3.1. О реологии
- •3.2. Условная и истинная диаграмма напряжений
- •3.3. Влияние скорости деформации
- •3.4. Простейшие реологические модели
- •4. Приближенный энергетический метод
- •4.1. Исходные уравнения
- •4.2. Модели из жёстких блоков
- •4.2.1. Алгоритм решения задач с использованием моделей из жёстких блоков
- •4.2.2. Алгоритм построения жёстко-блочной модели
- •4.2.3. Алгоритм построения годографа скоростей
- •4.2.4. Учёт упрочнения в очаге деформации
- •4.2.5. Определение температурных изменений в процессе пластической деформации
- •4.3. Пример
- •4.3.1. Работа внутренних сил
- •4.3.2. Работа сил сопротивления
- •4.3.3. Работа сил среза
- •4.4. Определение удельного усилия при прямом прессовании
- •4.5. Определение величины сопротивления деформированию с учетом деформационного и скоростного упрочнения
- •4.5.1. Алгоритм решения задачи
- •5. Метод конечных элементов в обработке металлов давлением
- •5.1. O методе конечных элементов
- •5.2. Понятие о линиях тока. Функции тока. Свойства функций тока
- •5.3. Расчет энерговыделения на линиях разрыва скорости методом верхней оценки.
- •5.4. Расчет энерговыделения на линиях разрыва скорости с использованием функции тока
- •5.5. Определение функций тока на элементе
- •5.6. Примеры решения технологических задач обработки давлением [17]
- •5 .6.1. Редуцирование и волочение полосы в клиновых матрицах (рис. 5.4)
- •5.6.2. Обратное выдавливание плоским пуансоном
- •Решение осесиметричных задач
- •Основные зависимости
- •5.6.3. Открытая штамповка круглых в плане поковок с наметкой под прошивку
- •5.7. Расчет деформированного состояния при плоском пластическом течении
- •6. Курсовая работа
- •6.1. Задание и содержание курсовой работы
- •6.2. Оформление курсовой работы
- •6.3. График выполнения курсовой работы
- •6.4. Защита и оценка курсовой работы
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •Оглавление
- •I. О постановке задач в теории пластичности 6
- •2. Теоретические методы решения задач омд 14
- •2.1. Инженерный метод [1] 14
- •6.4. Защита и оценка курсовой работы 86
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
5.4. Расчет энерговыделения на линиях разрыва скорости с использованием функции тока
Формула для расчёта мощности пластической деформации , записанная в виде (5.7), непригодна для непосредственных практических расчётов, т.к. неизвестна величина скорости Vi-j на линии разрыва li-j. В работах [14,16] показан способ построения поля скоростей по заданным функциям тока.
Рассмотрим два произвольно выбранных соседних элемента (рис 5.1).
Р ис. 5.1
Пусть в треугольнике m с вершинами i-j-k функция тока аппроксимируется уравнением m (x,y)=a mx +b my+c m , а в треугольнике n (i-t-j) n (x,y)=a nx + bny+cn.
По формулам работы [14] найдём составляющие вектора скорости в m и n
Vm={bm , - am} Vn={bn , -an }. Вследствие пластической деформации между элементами n и m имеет место разрыв скорости, равный V
Vi-j = Vn – Vm= { bn - bm, am – an} (5.8)
Вектор скорости Vi-j параллелен стороне li-j.В противном случае вдоль этой скорости нарушилось бы условие сплошности среды. Если стороне li-j задать направление, тем самым превратив отрезок li-j в вектор li-j ={xj-xi , yj-yi} , то произведение | Vi-j li-j | можно представить в виде скалярного произведения двух векторов
___ __
| Vi-j li-j | = | Vi-j· li-j | (5.9)
Напомним, что скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла α между ними. В данном случае векторы Vi-j и li-j параллельны, т.е. cos α =0.
С другой стороны, формула скалярного произведения двух векторов U={Ux,Uy} и W={Wx,Wy} имеет вид
U·W=UxWx+UyWy (5.10)
Отсюда, используя (5.8), получим
| Vi-j li-j |=( bn - bm )( xj-xi)+( am – an)( yj-yi) (5.11)
Где xi, yi; xj, yj – координаты вершин i и j линии разрыва скорости li-j.
Таким образом, для определения мощности рассеяния энергии пластической деформации на линии разрыва li-j необходимо кроме координат X и Y концов отрезка li-j знать уравнения функций тока в треугольнике, примыкающих к стороне li-j.
5.5. Определение функций тока на элементе
В работе [14] приводится методика определения функции тока на элементе.
Рассмотрим произвольный треугольник с вершинами i,j,k в точках (xi, yi), (xj, yj), ( xk, yk) (см. рис. 5.2.).
Зададим в вершинах этого треугольника значения функции тока Фi,Фj,Фk
Полином (5.1), определяющий функцию тока, имеет в узлах следующие значения
= Фi при х=хi, у=уi
= Фj при х=хj, у=уj
= Фk при х=хk, у=уk
Р ис. 5.2
Постановка этих условий в формулу (5.1) приводит к
системе уравнеий
axi+byi+c=Фi
axj+byj+c=Фj (5.12)
axk+byk+c=Фk
Отсюда
a=1/2S[(yj-yk) Фi+(yk-yi) Фj+(yi-yj) Фk
(5.13)
b=1/2S[(xj-xk) Фi+(xk-xi) Фj+(xi-xj) Фk
Из формул (5.13) следует, что если значения функции тока в трёх вершинах треугольника Фi=Фj=Фk , то в этом треугольнике a=b=0 , т.е. имеет место застойная зона.
Определитель системы (5.12) связан с площадью треугольника S соотношением
| 1 xi yi |
2Si-j-k= 1 xj yj = xjyk + xi yj + xkyj - yixj - yjxk - xiyk (5.14)
1 xk yk
Отсюда следует, что решение системы (5.12) единственно, если площадь треугольника i-j-k не равна нулю.
Заметим, что обход вершин треугольника i-j-k осуществляется против движения часовой стрелки, тогда площадь, вычисленная по формуле (5.14), будет положительной величиной.
Если на стороне i-j конечного элемента Фi=Фj , а
h – высота, опущенная из вершины k на сторону i-j. то вектор скорости на элементе параллелен стороне i-j , а его модуль определяется по формуле
_
V i-j-k =Фi-Фk/h (5.15)
Рис. 5.3
1. В треугольнике, лежащем на оси симметрии, линии тока параллельны этой оси.
2. Если две оси симметрии совпадают с катетами треугольника, то в этом треугольнике Vx=Vy=0, т.е, имеет место застойная зона.
Алгоритм решение задачи МКЭ можно представить следующей последовательностью действий:
предполагаемая пластическая область разбивается на систему треугольных элементов;
на основании граничных условий задаются значения функции тока в узлах разбиения. Если значение функции тока в узле невозможно определить из граничных условий задачи, то оно является варьируемым параметром;
по формулам (5.13) вычисляются составляющие скорости во всех треугольниках разбиения, что позволяет построить годограф скоростей;
по формуле (5.11) вычисляется мощность рассеяния энергии на линиях разрыва скорости. Суммируя, найдем мощность пластического деформирования;
по формуле (5.7) находим деформирующее усилие;
если геометрия пластической зоны заранее неизвестна, рекомендуется варьировать координатами узлов линий разрыва скорости, ограничивающих пластическую область.