3.2.5. Линейные уравнения втрого порядка. Ангармонические колебания

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами a и b

y '' + 2ay ' + by = 0.

Если a² < b и a > 0 , то общее решение уравнения имеет вид

Его можно записать в виде

Функция y(x) = A exp(− ax) cos(ωx − φ) непериодическая, но ее нули, максимумы и минимумы, повторяются с периодом T = 2π/ω . Этот период равен периоду колебаний гармонического осциллятора с частотой ω.

Колебания y(x) = Aexp (− ax)cos(ωx − φ) называются затухающими колебаниями, y(x) → 0 при x → + ∞ .

Величина Aexp (− ax) называется амплитудой колебаний; величина δ = a коэффициентом затухания.

Коэффициент затухания δ записывают в виде δ =1/τ , τ – время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.

Величина d = δ · T = 2πδ/ω называется логарифмическим декрементом затухания. Она показывает, насколько уменьшится амплитуда за один период. Логарифмический декремент – естественная мера скорости затухания.

Колебания, которые описывает дифференциальное уравнение y '' + 2ay ' + by = 0 , называют ангармоническими колебаниями.

На рисунке приведены графики решений уравнения y '' + y ' + 4y =0 , проходящих через точку (0,0) с различными начальными скоростями y '(0)

Пример №1

Найдем коэффициент затухания и логарифмический декремент для уравнения y '' + y ' + 4y = 0 .

В уравнении y '' + y ' + 4y = 0 параметры a , b и ω имеют значения

Вычислим коэффициент затухания δ и логарифмический декремент d:

Итак, коэффициент затухания δ = 0.5, логарифмический декремент d ≈ 1.62 .

3.2.6. Линейные уравнения второго порядка. Уравнение Ньютона

Уравнением Ньютона называют линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами вида

y '' + ω₀²y = Fcosωx.

Известно, что однородное уравнение y '' + ω₀y = 0 описывает свободные колебания материальной точки с частотой колебаний ω₀

y(x) = C₁cos(ω₀x) + C₂sin(ω₀x) .

На рисунке приведен график решения однородного уравнения свободных колебаний с частотой ω₀ = 0.1

Неоднородное уравнения с правой частью Fcos(ωx) описывает колебания материальной точки под действием внешней периодической силы, частота которой ω.

Если ω₀ ≠ ω , то общее решение уравнения имеет вид

Если ω₀ = ω , то

На рисунках приведены решения уравнений Ньютона для различных частот свободных колебаний и частот внешней силы. Рисунки иллюстрируют принцип суперпозиции и модулирование амплитуды колебаний.

На приведенном ниже рисунке показан резонансный случай – частота свободных колебаний ω₀ =2 совпадает с частотой внешней силы ω =2 .

Пример №1

Исследуем поведение решения задачи Коши для уравнения Ньютона с частотой свободных колебаний ω₀ = 5 и частотой внешней силы ω = 5.1:

y '' + 5²y = cos5.1x, y(0)=0, y'(0)=1.

Поскольку ω₀ ≠ ω (5 ≠ 5.1) , то общее решение уравнения Ньютона имеет вид

Вычислив решение задачи Коши y '' + 5²y = cos5.1x, y(0)=0, y'(0)=1 по этой формуле, получим

Для исследования решение удобнее записать в виде y(x) = A(x) cos(5x− φ(x)) − в виде произведения амплитуды A(x) и периодически изменяющейся компоненты cos(5x− φ(x)).

Выполнив несложные, но громоздкие тригонометрические преобразования имеем:

На рисунках приведены: график медленно меняющейся амплитуды A(x), график быстро меняющихся колебаний cos(5x− φ(x)) и график их произведения − график решения задачи Коши для уравнения Ньютона. Приведенное на рисунке поведение решения называют «биением».