2.1.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнением с разделенными переменными называется дифференциальное уравнение вида

f(x)dx + g(y)dy = 0

с непрерывными функциями f(х) и g(y).

Равенство

где C – произвольная постоянная, определяет общий интеграл уравнения с разделёнными переменными.

Начальное условие для уравнения f(x)dx + g(y)dy = 0 можно задавать в виде y(x₀) = y₀ или в виде x(y₀) = x₀ .

Уравнением с разделяющимися переменными называется дифференциальное уравнение вида

f₁(x)g₁ (y)dx + f₂(x) g₂(y)dy =0 .

Функции f₁(x), g₁(y), f₂(x), g₂(y) непрерывны в своих областях определения и g₁(y)f₂(x) ≠ 0 .

Разделив обе части уравнения на отличное от нуля произведение g₁(y)f₂(x), получим уравнение с разделенными переменными

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

Решение уравнения в области, где g₁(y)f₂(x) = 0 требует специального обсуждения.

Пример №1.

Равенство 2x² − 6x + 3y² = 8 определяет частный интеграл задачи Коши для уравнения с разделёнными переменными (2x −3)dx +3ydy = 0, y(1) = 2.

Действительно. Поскольку

то выражение

2x² − 6x + 3y² = C,

где C − произвольная постоянная, определяет общий интеграл уравнения с разделёнными переменными.

Подставив x = 1, y = 2 имеем C = 8, то есть 2x² − 6x + 3y² = 8 − частный интеграл, задающий в неявной форме решение задачи Коши с начальным условием y(1) = 2.

Равенство 2x² − 6x + 3y² = 8 определяет соответствующую интегральную кривую − линию на плоскости, проходящую через точку M₀(1, 2):

Пример №2

Решение уравнения с разделяющимися переменными

в неявной форме задаётся общим интегралом

Вычислив интегралы, имеем:

2.1.3. Однородные уравнения 1-го порядка

Однородным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Заменой z = y/x это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно функции z = z(x)

Пример №1

Уравнение

как легко видеть, является однородным уравнением первого порядка:

Обозначим z(x) = y(x)/x. Тогда y(x) = x·z(x).

Подставив в уравнение и выполнив простые вычисления, имеем уравнение с разделёнными переменными относительно функции z = z(x):

Вычислив соответствующие интегралы, легко получить решение этого последнего уравнения:

И, наконец, после обратной подстановки z = y/x имеем общий интеграл исходного однородного уравнения

или, что тоже самое,

2.1.4. Уравнения, приводящиеся к однородным

Уравнением, приводящимся к однородному, называется дифференциальное уравнение вида

Заменой u = y − y₀, v = x − x₀ это уравнение приводится к однородному уравнению

Здесь x₀ и y₀ – единственное решение линейной системы

Пример №1

Уравнение

сводится к однородному уравнению

заменой u = y − 2, v = x − 1, поскольку x₀ = 1, y₀ = 2 − решение системы

Действительно, выполнив аккуратно замену, легко получаем уравнение с разделёнными переменными:

Общий интеграл этого уравнения записывается после несложных вычислений

Выполнив обратную подстановку

легко получаем общий интеграл исходного уравнения:

Поскольку при решении уравнения выполнялось довольно много вспомогательных вычислений, проверим правильность результата:

Получено исходное уравнение. Задача решена верно.

Решение уравнения определяется в неявной форме общим интегралом