Методическое пособие 704
.pdfКОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ ЗАДАЧА 55. Пользуясь схемой Горнера, в каждом из колец
[x] , |
2[x] , |
|
3[x] разделите многочлен |
f (x) с остатком на |
|||||||
(x x0 ) |
и найдите значение f (x0 ) : |
|
|
||||||||
1) |
f (x) 5x5 |
4x4 |
7x3 |
11x2 29, |
x |
1; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2) |
f (x) 11x6 6x5 4x4 5x3 x 5, |
x 1; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3) |
f (x) x5 |
23x3 2x2 |
x 37, |
x |
5; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
0 |
|
4) |
f (x) 13x5 5x4 4x2 9x 5, |
x 1; |
|||||||||
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|
|
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|
|
|
0 |
|
5) |
f (x) x6 |
2x4 |
7x3 |
3x2 |
5x 11, |
x |
1; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
6) |
f (x) x5 |
2x4 |
9x3 |
7x2 |
5x 17, |
x |
5; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
7) |
f (x) 3x6 5x5 2x4 11x3 7x2 5, |
x 1; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
8) |
f (x) 2x6 |
3x4 |
11x3 12x 25, |
x |
1; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
9) |
f (x) 3x6 |
x3 |
28x2 |
13x 19, |
x |
1; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
10) |
f (x) 7x6 x4 |
3x3 |
10x2 2x 19, |
x |
1; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
11) |
f (x) x5 |
39x4 |
8x3 |
17x2 5x 7, |
x |
1; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
12) |
f (x) x5 |
5x4 |
8x3 |
15x 23, |
x |
5; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
13) |
f (x) 2x5 |
7x4 |
8x2 |
21x 31, |
x |
1; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
14) |
f (x) 3x5 |
2x4 |
7x3 |
10x 19, |
x |
1; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
15) |
f (x) x5 |
6x4 |
5x3 |
27x2 55, |
x |
5; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
16) |
f (x) x6 |
2x3 |
35x2 |
6x 25, |
x |
1; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
17) |
f (x) x5 |
3x3 |
19x2 |
10x 49, |
x |
1; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
18) |
f (x) x6 |
8x3 |
23x2 |
51x 91, |
x |
1; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
19) |
f (x) 2x6 |
5x5 |
7x2 |
8x 73, |
x |
1; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
20) |
f (x) 7x5 |
2x3 |
3x2 |
11x 19, |
x |
1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
131
ЗАДАЧА 56. С помощью алгоритма Евклида найдите наибольший общий делитель данных многочленов в каждом из
колец [ x] , |
2[x] , |
3[x] . В кольцах |
2[x] и |
3[x] найдите |
|||||
линейное представление для унитарного НОД. |
|
||||||||
1) x5 x4 x3 x2 2x 2, |
|
x5 1; |
|
|
|
||||
2) x5 2x4 2x2 7x 6, |
x4 x3 4x2 3x 2; |
|
|||||||
3) 3x5 7x4 x3 2x 5, |
x4 1; |
|
|
|
|
||||
4) x6 6x4 4x3 9x2 12x 4, |
x5 4x3 2x2 3x 2; |
||||||||
5) 3x5 x4 6x3 3x2 3x 2, |
3x4 4x3 3x2 2x 1; |
||||||||
6) x6 3x5 4x4 x3 2x2 5x 3, |
|
x5 2x4 3x3 2x2 7x 4; |
|||||||
7) x5 x4 x3 2x 1, |
3x4 2x3 x2 2x 2; |
|
|||||||
8) x5 x4 x3 3x2 3x 1, |
|
x4 2x3 x2 2x 1; |
|||||||
9) x4 4x3 1, |
x3 3x2 1; |
|
|
|
|
|
|||
10) |
x6 4x5 14x3 18x2 11x 6, |
|
x5 2x4 5x3 |
7x2 4x 3; |
|||||
11) |
x4 2x3 x2 4x 2, |
x4 x3 x2 2x 2; |
|
||||||
12) |
x5 5x4 2x3 12x2 2x 12, |
|
x3 5x2 3x 17; |
||||||
13) |
2x4 3x3 3x2 5x 2, |
|
2x3 x2 x 1; |
|
|||||
14) |
x4 x3 3x2 4x 1, |
x3 x2 x 1; |
|
|
|||||
15) |
x5 3x4 4x 8, |
x2 4; |
|
|
|
|
|
||
16) |
3x4 11x3 7x2 x 6, |
|
x3 2x2 2x 3; |
|
|||||
17) |
x6 2x4 4x3 3x2 |
8x 5, |
x5 x2 |
x 1; |
|
||||
18) |
x5 x4 x3 2x 1, |
3x4 |
2x3 |
x2 2x 2; |
|
||||
19) |
x6 7x4 8x3 7x 7, |
3x5 7x3 3x2 7, |
|
||||||
20) |
x4 x3 4x2 4x 1, |
x2 x 1. |
|
|
132
ЗАДАЧА 57. Разложите данный многочлен на неприводимые
множители над каждым из полей |
, 2 , |
3 : |
|||
1) |
x5 |
x4 x3 8x2 41x 6; |
2) |
x5 7x3 11x2 5x 30; |
|
3) x5 4x4 7x3 10x2 10x 4; |
4) x5 2x4 4x3 4x2 5x 6; |
||||
5) |
x5 |
5x4 6x3 11x2 43x 30; |
6) |
x5 4x4 |
9x3 19x2 44x 21; |
7)x6 5x5 5x4 38x3 49x2 23x 3;
8)x5 5x4 4x3 17x2 31x 14;
9)x6 2x5 9x4 24x3 34x2 4x 6;
10)x6 x5 4x4 6x3 9x2 3x 6;
11)x6 x5 10x4 12x3 27x2 3x 6;
12)x5 5x4 29x2 19x 42;
13)x6 6x5 10x4 9x3 3x2 5x 4;
14)x6 3x5 4x4 9x3 3x2 16x 4;
15)x6 4x4 5x3 21x2 35x 14;
16)x5 4x4 18x3 16x2 17x 12;
17)x6 6x5 11x4 4x3 33x2 2x 21;
18)x6 3x4 2x3 18x2 24x 8;
19)x5 9x4 18x3 6x2 26x 4;
20)x6 4x4 5x3 21x2 35x 14.
ЗАДАЧА 58. Найдите все рациональные корни данного многочлена и разложите его на неприводимые над полем множители.
1)3x5 2x4 16x3 4x2 21x 6 ;
2)2x5 7x4 6x3 x2 26x 12 ;
3)6x5 13x4 26x3 19x2 38x 12 ;
4)4x5 12x4 x3 6x2 10x 3 ;
133
5)2x5 3x4 7x3 6x2 x 3 ;
6)3x5 8x4 4x3 3x2 8x 4 ;
7)9x5 21x4 8x3 21x2 13x 2 ;
8)6x5 x4 7x3 7x2 1;
9)12x5 19x4 x3 13x2 13x 6 ;
10)3x5 8x4 2x3 2x2 5x 6 ;
11)4x5 7x4 7x3 5x2 18x 9 ;
12)4x5 7x4 6x3 5x2 23x 6 ;
13)6x5 15x4 20x3 29x2 16x 12 ;
14)4x5 x4 5x3 6x2 8x 6 ;
15)6x5 8x4 7x3 5x 2 ;
16)15x4 22x3 15x2 18x 4 ;
17)6x4 2x3 45x2 27x 14 ;
18)8x5 22x4 6x3 15x2 5x 2 ;
19)4x5 11x4 5x3 30x2 16x 6 ;
20)3x5 5x4 7x3 12x2 6x 3 .
ЗАДАЧА 59. В поле |
3[x] |
f |
найдите сумму, произведение и |
||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
обратные элементы для классов [a(x)] f |
и [b(x)] f , если: |
||||
1) |
a(x) x2 x , |
b(x) 2x 2 , |
f (x) x3 2x2 1; |
||
2) |
a(x) x 2 , |
b(x) x2 x 2 , |
f (x) x3 2x 1 ; |
||
3) |
a(x) 2x2 x 1, |
b(x) x 1, |
f (x) x3 x2 2 ; |
||
4) |
a(x) 2x2 1, |
b(x) 2x2 x 1 , |
f (x) x3 2x 2 ; |
||
5) |
a(x) x2 2x 2 , |
b(x) 2x 1, |
f (x) x3 2x2 1; |
||
6) |
a(x) x2 1, |
b(x) x2 2x 1 , |
f (x) x3 2x 1 ; |
||
7) |
a(x) 2x2 , |
b(x) 2x2 x 2 , |
f (x) x3 x2 2 ; |
||
8) |
a(x) x 1, |
b(x) x2 x 2 , |
f (x) x3 2x 2 ; |
134
9) a(x) 2x2 x 1, |
b(x) x 1, |
f (x) x3 2x2 1; |
|||
10) |
a(x) 2x2 1, |
b(x) 2x2 2x , |
f (x) x3 2x 1 ; |
||
11) |
a(x) 2x 2 , |
b(x) x2 x 2 , |
f (x) x3 x2 2 ; |
||
12) |
a(x) x2 |
2x 2 , |
b(x) x2 x , |
f (x) x3 2x 2 ; |
|
13) |
a(x) x2 |
2x , |
b(x) 2x2 2x 1 , |
f (x) x3 2x2 1; |
|
14) |
a(x) 2x2 2 , |
b(x) x2 |
2x , |
f (x) x3 2x 1 ; |
|
15) |
a(x) x2 1, |
b(x) x2 |
2x 1 , |
f (x) x3 x2 2 ; |
|
16) |
a(x) x2 |
2x 2 , |
b(x) 2x 1, |
f (x) x3 2x 2 ; |
|
17) |
a(x) 2x2 x , |
b(x) 2x2 x 2 , |
f (x) x3 2x2 1; |
||
18) |
a(x) 2x 1 , |
b(x) x2 |
x 1, |
f (x) x3 2x 1 ; |
|
19) |
a(x) x2 2x 1, |
b(x) x 1, |
f (x) x3 x2 2 ; |
||
20) |
a(x) 2x 2 , |
b(x) x2 |
x 2 , |
f (x) x3 2x 2 . |
ЗАДАЧА 60. С помощью критерия Батлера покажите, что данный многочлен приводим над полем GF (3) и разложите его на неприводимые множители:
1) |
x4 x3 2x2 1 ; |
11) |
x4 2x 1; |
2) |
x4 2x3 2x2 1; |
12) |
x4 x3 1; |
3) |
x4 x3 2x2 x 2 ; |
13) |
x4 x2 x 2 ; |
4) |
x4 2x2 2x 1; |
14) |
x4 x3 x2 2x 1; |
5) |
x4 2x3 x2 2x 2 ; |
15) |
x4 x3 x2 2 ; |
6) |
x4 2x3 2x2 2 ; |
16) |
x4 2x3 x2 x 1; |
7) |
x4 x2 2x 2 ; |
17) |
x4 2x2 2x 2 ; |
8) |
x4 2x3 1; |
18) |
x4 2x2 x 2 ; |
9) |
x4 2x2 x 1 ; |
19) |
x4 x3 2x2 x 1; |
10) |
x4 x3 2x2 2 ; |
20) |
x4 2x3 x2 2 . |
ЗАДАЧА 61. Пользуясь критерием Батлера, определите, приводимы или нет над полем GF (3) данные многочлены a(x) и
135
b(x) . В случае приводимости разложите многочлены на неприводимые множители.
1) |
a(x) x5 x3 x2 x 2 , |
b(x) x5 x3 x 1; |
2) |
a(x) x5 2x4 2x3 2x 2 , |
b(x) x5 x3 2x2 2x 1; |
3) |
a(x) x5 x3 2x2 x 1, |
b(x) x5 x2 x 2 ; |
4) |
a(x) x5 2x4 2x2 x 1 ; |
b(x) x5 x3 x2 2 ; |
5) |
a(x) x5 2x4 x2 2 , |
b(x) x5 2x3 2x2 2 ; |
6) |
a(x) x5 x4 x2 2x 1 , |
b(x) x5 2x2 x 1 ; |
7) |
a(x) x5 2x4 x3 x2 1, |
b(x) x5 2x3 2x2 x 1; |
8) |
a(x) x5 x4 2x3 2x 1 , |
b(x) x5 x4 2 ; |
9) |
a(x) x5 2x4 2x2 2x 2 , |
b(x) x5 x4 x2 2x 2 ; |
10) a(x) x5 2x4 2 , |
b(x) x5 x4 x2 x 1; |
11)a(x) x5 x4 2x3 x2 1, b(x) x5 x3 x 2 ;
12)a(x) x5 x4 x3 2x2 2 , b(x) x5 x3 2x2 1;
13) |
a(x) x5 2x4 x3 x 1, |
b(x) x5 x3 2x2 x 2 ; |
||||
14) |
a(x) x5 x4 2x2 1 , |
b(x) x5 2x3 |
2x2 2x 1; |
|||
15) |
a(x) x5 |
2x3 x 1 , |
b(x) x5 2x3 |
x2 |
1; |
|
16) |
a(x) x5 |
2x4 2x3 1 , |
b(x) x5 |
x3 x2 2 ; |
||
17) |
a(x) x5 2x2 2x 1 , |
b(x) x5 x4 x2 1; |
||||
18) |
a(x) x5 x2 2x 2 , |
b(x) x5 x4 x 2 ; |
||||
19) |
a(x) x5 x 1 , |
b(x) x5 |
2x3 |
x2 |
2x 2 ; |
|
20) |
a(x) x5 x4 2x3 2 , |
b(x) x5 |
2x3 |
x2 |
x 2 . |
136
|
|
|
|
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП, КОЛЕЦ |
|
|
||||||||||||
ЗАДАЧА 62. Найдите подстановку x S9 |
из уравнения: |
|
|
|||||||||||||||
а) ax c , |
б) |
xb c , |
в) |
axb c , |
г) x 1a 1 |
b , д) a 1xb2 c . |
||||||||||||
1) |
1 2 |
3 4 5 6 7 8 9 |
|
1 2 |
3 4 5 6 7 8 9 |
|
||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
b |
|
, |
|||
|
|
4 6 |
9 5 1 8 2 7 3 |
|
|
5 7 |
4 6 8 3 2 9 1 |
|
||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
||||
|
c |
7 |
4 |
5 |
6 |
9 |
2 |
8 |
1 |
3 |
|
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2) |
1 2 |
3 4 5 6 7 8 9 |
|
1 2 |
3 4 5 6 7 8 9 |
|
|
|||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
b |
|
, |
|
||||
|
5 7 |
4 3 6 1 2 8 9 |
|
|
4 6 |
8 5 9 7 2 3 1 |
|
|
||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
||||
|
c |
7 |
2 |
8 |
5 |
6 |
4 |
1 |
3 |
9 |
|
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) |
1 2 |
3 4 5 6 7 8 9 |
|
1 2 |
3 4 5 6 7 8 9 |
|
|
|||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
b |
|
, |
|
||||
|
5 3 |
2 7 6 1 9 8 4 |
|
1 2 |
4 3 7 9 8 5 6 |
|
|
|||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
||||
|
c |
4 |
3 |
9 |
7 |
5 |
8 |
1 |
6 |
2 |
|
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4) |
1 2 |
3 4 5 6 7 8 9 |
|
1 2 |
3 4 5 6 7 8 9 |
|
||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
b |
, |
||||||
|
|
4 6 |
3 1 8 7 9 5 2 |
|
|
4 5 |
7 6 2 1 8 3 9 |
|
||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
||||
|
c |
4 |
3 |
2 |
7 |
9 |
6 |
8 |
1 |
5 |
|
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5) |
1 2 |
3 4 5 6 7 8 9 |
|
|
1 2 |
3 4 5 6 7 8 9 |
|
|
||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
b |
|
, |
||||
|
1 9 |
5 8 6 7 3 4 2 |
|
|
|
3 5 |
4 7 2 9 8 1 6 |
|
|
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
||||
|
c |
7 |
6 |
8 |
3 |
9 |
4 |
1 |
2 |
5 |
|
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6) |
1 2 |
3 4 5 6 7 8 9 |
|
|
1 2 |
3 4 5 6 7 8 9 |
|
|
||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
b |
|
, |
|
|||
|
1 2 |
6 7 4 3 9 8 5 |
|
|
9 2 |
4 1 5 6 8 7 3 |
|
|
||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||
|
1 |
7 |
6 |
2 |
9 |
8 |
4 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
137
7) |
1 |
2 3 4 5 6 |
7 |
8 |
9 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
5 |
6 7 2 1 9 |
3 |
8 |
4 |
|
|
|
5 |
6 |
3 |
9 |
8 |
1 |
7 |
2 |
4 |
|
|
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
8 |
6 |
9 |
7 |
5 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|||||
8) a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
7 |
3 |
2 |
8 |
4 |
6 |
5 |
9 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
c |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
|
9 |
; |
||||||||
|
|
2 |
1 |
8 |
6 |
9 |
7 |
4 |
|
3 |
|
5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||
|
1 |
5 |
7 |
3 |
9 |
8 |
4 |
6 |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
||||||||
|
c |
9 |
|
7 |
4 |
6 |
1 |
3 |
8 |
2 |
5 |
|
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10) |
a |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
|
|
9 |
, |
|||||||
|
7 |
5 |
9 |
4 |
6 |
2 |
3 |
8 |
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
c |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
|
9 |
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
7 |
8 |
4 |
3 |
9 |
|
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|||||
11) |
a |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
|
|
9 |
, |
|||||||
|
4 |
7 |
3 |
5 |
1 |
8 |
6 |
|
2 |
|
|
9 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
c |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
9 |
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
7 |
9 |
6 |
8 |
3 |
5 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
||||||
12) |
a |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
|
9 |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
6 |
7 |
8 |
9 |
5 |
4 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
c |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
|
9 |
; |
||||||||
|
|
6 |
1 |
2 |
9 |
8 |
7 |
3 |
|
4 |
|
5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
13) |
a |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
|
9 |
, |
||||||||
|
7 |
4 |
8 |
9 |
5 |
6 |
1 |
|
3 |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
c |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
|
9 |
; |
||||||||
|
|
2 |
7 |
5 |
6 |
3 |
8 |
1 |
|
9 |
|
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
||
b |
5 |
|
6 |
9 |
7 |
8 |
|
2 |
4 |
1 |
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
b |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
9 |
, |
||
|
3 |
|
1 |
2 |
9 |
8 |
5 |
4 |
6 |
|
7 |
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
||
b |
6 |
7 |
1 |
2 |
8 |
3 |
4 |
9 |
5 |
|
, |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
||||
b |
5 |
9 |
7 |
3 |
2 |
4 |
6 |
8 |
1 |
|
, |
||
|
|
|
|||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
||||
b |
5 |
9 |
8 |
6 |
2 |
3 |
4 |
7 |
1 |
, |
|||
|
|
|
|||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
||||
b |
6 |
5 |
7 |
4 |
2 |
1 |
9 |
8 |
3 |
|
, |
||
|
|
|
138
14) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|||||
a |
3 |
5 |
6 |
4 |
7 |
8 |
2 |
9 |
1 |
|
, |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|||||
|
c |
8 |
5 |
9 |
7 |
6 |
2 |
4 |
3 |
1 |
; |
|
|||
|
|
|
|
||||||||||||
15) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|||||
a |
5 |
3 |
7 |
6 |
8 |
9 |
2 |
1 |
4 |
|
, |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
1 |
7 |
6 |
5 |
9 |
8 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|||
16) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|||||
a |
3 |
4 |
7 |
1 |
8 |
9 |
2 |
5 |
6 |
|
, |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|||||
|
c |
9 |
5 |
8 |
4 |
2 |
1 |
6 |
3 |
7 |
; |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
17) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|||||
a |
7 |
9 |
3 |
4 |
2 |
5 |
8 |
1 |
6 |
|
, |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|||||
|
c |
7 |
8 |
6 |
4 |
3 |
1 |
5 |
9 |
2 |
; |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
18) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|||||
a |
6 |
9 |
7 |
3 |
4 |
1 |
5 |
8 |
2 |
|
, |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|||||
|
c |
4 |
8 |
5 |
7 |
3 |
6 |
9 |
2 |
1 |
; |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
19) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|||||
a |
7 |
5 |
9 |
1 |
2 |
8 |
4 |
3 |
6 |
|
, |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|||||
|
c |
2 |
9 |
7 |
6 |
5 |
4 |
8 |
3 |
1 |
; |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
20) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|||||
a |
6 |
1 |
9 |
5 |
4 |
2 |
3 |
8 |
7 |
|
, |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|||||
|
c |
4 |
9 |
8 |
7 |
2 |
3 |
1 |
6 |
5 |
. |
||||
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
||
b |
7 |
4 |
2 |
6 |
5 |
9 |
8 |
1 |
3 |
|
, |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
||
b |
7 |
4 |
6 |
9 |
5 |
3 |
8 |
1 |
2 |
|
, |
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
||
b |
6 |
3 |
7 |
9 |
8 |
1 |
5 |
2 |
4 |
|
, |
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
||
b |
5 |
6 |
3 |
9 |
8 |
4 |
7 |
1 |
2 |
, |
|
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
||
b |
7 |
5 |
2 |
6 |
3 |
9 |
8 |
1 |
4 |
|
, |
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
||
b |
5 |
8 |
2 |
6 |
7 |
4 |
9 |
3 |
1 |
|
, |
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
||
b |
5 |
1 |
8 |
3 |
2 |
9 |
6 |
4 |
7 |
|
, |
|
|
|
139
ЗАДАЧА 63. Для подстановок a,b S9 из задачи 62 вычислите
a2 , b3 , ab , ba , (ab) 1 , a2b 3 , a100 , b101 .
ЗАДАЧА 64. Пусть a,b, c S9 - подстановки из задачи 66. Для
каждой из данных подстановок:
а) найдите разложение в произведение независимых циклов и транспозиций;
б) определите четность тремя способами – по определению, по декременту, при помощи транспозиций;
в) найдите порядок (как элемента группы S9 );
г) выясните, какие из подстановок a , b , c являются сопряженными элементами группы S9 .
ЗАДАЧА 65. Найдите четность и |
декремент подстановки |
||||||||||||||||||
x S , если известно, что |
x 1 |
a2b 3c 1b , где a , b , c – подста- |
|||||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
новки из задачи 66. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ЗАДАЧА 66. На |
множестве |
G {a, b, c, d} |
задана |
операция |
|||||||||||||||
умножения данной таблицей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) Найдите |
|
a b , |
b a , |
(a b) c , a (b c) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) Существует ли нейтральный элемент в (G, ) ? |
|
|
|
||||||||||||||||
в) Найдите |
|
a 1 , b 1 , c 1 , |
d 1 (если они существуют). |
|
|
||||||||||||||
г) Является ли (G, ) группой? В случае положительного ответа |
|||||||||||||||||||
выясните, будет ли эта группа циклической. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) а) |
|
|
|
a |
b |
c |
d |
|
б) |
|
a |
b |
c |
d |
|
||||
|
|
a |
|
b |
c |
|
d |
|
a |
|
|
a |
a |
|
b |
|
c |
d |
|
|
|
b |
|
c |
a |
|
b |
|
b |
|
|
b |
b |
|
c |
|
d |
a |
|
|
|
c |
|
d |
d |
|
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