Методическое пособие 704
.pdf
|
|
2n |
3(2n 7n ) |
n 2n 1 |
|
|
7n |
3(7n 2n ) |
n 7n 1 |
|||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
19) |
|
0 |
7 |
0 |
|
; 20) |
|
0 |
2 |
0 |
|
|||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
0 |
0 |
2n |
|
|
|
0 |
0 |
7n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА 71. Пусть G a - циклическая группа данного порядка k . Постройте все левые смежные классы группы G по подгруппе H am . Найдите индекс подгруппы H в группе
G . |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
k 36 , m 3 ; |
2) |
k 15 , m 3 ; |
3) |
k 18 , m 3 ; |
|||
4) |
k 21, m 3 ; |
5) |
k 24 , m 3 ; |
6) |
k 27 , m 3 ; |
|||
7) |
k 30 , m 3 ; |
8) |
k 32 , m 4 ; |
9) |
k 14 , m 2 ; |
|||
10) |
k 16 , m 2 ; |
11) |
k 18 , m 2 ; |
12) |
k 20 , m 2 ; |
|||
13) |
k 22 , m 2 ; |
14) |
k 24 , m 2 ; |
15) |
k 26 , m 2 ; |
|||
16) |
k 28 , m 2 ; |
17) |
k 30 , m 2 ; |
18) |
k 20 , m 4 ; |
|||
19) |
k 24 , m 4 ; |
20) |
k 28 , m 4 . |
|
|
|
ЗАДАЧА |
72. Найдите с точностью до изоморфизма все абеле- |
|||||||||||
вы группы данного порядка k : |
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
k 75 ; |
|
2) |
k 96 ; |
3) |
k 100 ; |
4) |
k 126 ; |
||||
5) |
k 88 ; |
|
6) |
k 90 ; |
7) |
k 75 ; |
8) |
k 225 ; |
||||
9) |
k 64 ; |
|
10) |
k 72 ; |
11) |
k 180 ; |
12) |
k 242 ; |
||||
13) |
k 56 |
; |
14) |
k 48 ; |
15) |
k 108 ; |
16) |
k 135 ; |
||||
17) |
k 78 |
; |
18) |
k 36 ; |
19) |
k 196 ; |
20) |
k 189 . |
151
ЗАДАЧА |
73. |
Выясните, изоморфны ли данные группы |
m n |
и |
p q : |
1) m 18,n 9, p 6,q 27; 3) m 24,n 4, p 12,q 8; 5) m 20,n 4, p 8,q 10; 7) m 28,n 4, p 14,q 8; 9) m 36,n 9, p 81,q 4; 11) m 12,n 18, p 6,q 36;
13) m 6,n 100, p 60,q 10;
15) m 36,n 10, p 8,q 45;
17) m 9,n 24, p 6,q 36;
19) m 36,n 9, p 27,q 12;
2) m 16,n 4, p 8,q 8; 4) m 48,n 8, p 12,q 32; 6) m 24,n 6, p 16,q 9; 8) m 32,n 8, p 16,q 16;
10) m 30,n 15, p 45,q 10; 12) m 60,n 10, p 30,q 20; 14) m 12,n 18, p 9,q 24; 16) m 40,n 4, p 16,q 10; 18) m 30,n 20, p 6,q 100; 20) m 24,n 32, p 48,q 16.
ЗАДАЧА 74. Выясните, является ли данное множество подгруппой аддитивной группы, подкольцом или идеалом указанного кольца:
1) множество n чисел, кратных данному числу n 1 , в коль-
|
це целых чисел; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
множество {a b 3; a, b 2 } в кольце {a b |
3; a, b } ; |
|||||
3) |
множество M 0, |
|
2, 4 в кольце вычетов |
6 ; |
|||
4) |
множество {a bi; |
a, b 3 } в кольце {a bi; |
a, b } ; |
5) множество матриц |
x |
3x ; x, y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
3y |
ных матриц второго порядка над полем
в кольце квадрат-
;
152
6)множество многочленов с четными свободными членами в кольце [x] многочленов с целыми коэффициентами;
7) множество матриц |
a |
a ;a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
8) множество матриц |
a |
a ; a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
в кольце
в кольце
a |
b |
; a,b |
|
; |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
b |
a |
|
|
|
|
a |
a |
; a,b |
|
|
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
||
b |
b |
|
|
9) множество матриц |
a |
0 ; a |
|
в кольце квадратных |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
матриц второго порядка над полем |
|
; |
|
|
|||
10) множество матриц |
a |
0 ; a, b |
|
|
в кольце квадратных |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
b |
|
|
|
|
|
матриц второго порядка над полем |
|
; |
|
|
|||
11) множество матриц |
a |
b ; a, b |
|
|
в кольце квадратных |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
матриц второго порядка над полем |
|
; |
|
|
|||
12) множество матриц |
a |
0 ; a, b |
|
|
в кольце квадратных |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
0 |
|
|
|
|
|
матриц второго порядка над полем |
|
; |
|
|
|||
13) множество матриц |
a |
2a |
; a, b |
|
в кольце квадрат- |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
2b |
|
|
|
|
|
ных матриц второго порядка над полем |
|
; |
|||||
14) множество M 0, |
3 в кольце вычетов |
6 ; |
15) множество всех матриц с нулевым последним столбцом в кольце Mn (P) всех квадратных матриц данного порядка n 1 над полем P ;
153
16) множество всех матриц с нулевой последней строкой в кольце Mn (P) всех квадратных матриц порядка n 1 над полем P ;
17) множество M многочленов с четными старшими коэффициентами в кольце [x] многочленов с целыми коэффициентами;
18)множество [x] многочленов с целыми коэффициентами в кольце [x] многочленов с рациональными коэффициентами;
19)множество всех матриц, последние r столбцов которых нулевые, 1 r n , в кольце Mn (P) всех квадратных матриц
данного порядка n 1 над полем P ; |
|
|
||||||
20) множество всех матриц, последние r |
строк которых нуле- |
|||||||
вые, |
1 r n , в кольце |
Mn (P) всех |
квадратных матриц |
|||||
данного порядка n 1 над полем P . |
|
|
||||||
ЗАДАЧА 75. Выясните, |
является ли данное отображение f |
|||||||
гомоморфизмом указанных колец: |
|
|
||||||
1) f : M2 ( ) , |
a |
b |
a ; |
|
|
|||
f |
|
|
|
|
||||
|
|
|
c |
d |
|
|
|
|
2) f : |
a |
b ; a, b |
|
|
, |
f a |
b a b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b |
a |
|
|
b |
a |
||
3) f : |
a |
b ; a, b |
|
|
, |
f a |
b a b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b |
a |
|
|
b |
a |
||
4) f : |
a |
a ; a, b |
|
|
, |
f a |
a a b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b |
b |
|
|
b |
b |
||
5) f : |
a |
a ; a, b |
|
|
, |
f a |
a a b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b |
b |
|
|
b |
b |
154
6) |
f : |
a |
0 ; a, b |
|
, |
f a |
0 a ; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
b |
|
|
0 |
b |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7) |
f : |
a |
0 ; a, b |
|
, |
f a |
0 b ; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
b |
|
|
0 |
b |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8) |
f : |
a |
0 ; a, b |
|
, |
f a |
0 a b ; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
b |
|
|
0 |
b |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) f : [ 2] , |
f (a b 2) a ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10) |
f : |
[ |
|
2] |
, |
|
f (a b |
2) b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11) |
f : |
[ |
|
2] |
[ |
3], |
f (a b |
|
|
2) a b |
3 ; |
|
|
|
||||||||||
12) |
f : |
a |
b |
; a, b |
|
[ |
|
2], f a |
|
|
b a b |
|
; |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2b a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
a |
|
||||||
|
|
M2 ( |
|
|
|
|
a |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
13) |
f : |
) , |
|
f (a) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14) |
f : |
[ |
|
2] |
[ |
2] , |
f (a b |
|
|
|
2) a b |
2 ; |
|
|
|
15) f : M2 ( ) ,
a
16) f : a
17) f : M2 ( ) ,
a |
0 |
|
; |
|
f (a) |
0 |
a |
|
|
|
|
|
, f |
a |
b |
a b ; |
|
|
|
|
||
|
a |
b |
|
|
a |
b |
; |
|
|
f (a bi) |
|
|
|
|
b |
a |
|
|
18) |
f : |
2 |
, |
f (a) 2a ; |
|
|
|
|
||||
19) |
f : |
|
, |
f (a bi) a ; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
20) |
f : |
[ 3] |
[ 5] , f (a b |
3) a b 5 . |
155
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ЗАДАЧА 76. Выясните, является ли вещественным линейным пространством данное множество:
1)множество всех векторов трехмерного пространства, лежащих на одной из осей;
2)множество всех векторов плоскости, лежащих на одной из осей;
3)множество всех векторов плоскости, являющихся линейными комбинациями данных векторов x и y ;
4)множество всех многочленов третьей степени, принадлежа-
|
щих кольцу |
|
[x] ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
|
|
|
0 |
a |
; |
|
a, b, c |
|
|
|
||
множество матриц |
|
|
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
c |
|
|
|
|
|
|
||
6) |
множество векторов из |
n , для которых сумма и произве- |
|||||||||||
|
дение |
на |
число |
определены |
следующим |
образом: |
|||||||
|
x y (x1 y1, x2 y2 ,..., xn yn ) и |
x ( x1, x2 ,..., xn ) , |
где |
||||||||||
|
x, y |
n , |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
множество векторов из |
n , для которых сумма и произве- |
|||||||||||
|
дение |
на |
число |
определены |
следующим |
образом: |
|||||||
|
x y (x1 y1, x2 y2 ,..., xn yn ) |
|
и |
x ( x1, x2 ,..., xn ) , |
где |
||||||||
|
x, y |
n , |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8) |
множество всех диагональных матриц над порядка n ; |
|
|||||||||||
9) |
|
|
|
a |
b |
; |
a,b |
|
|
|
|||
множество матриц |
|
|
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
156
10) множество всех положительных действительных чисел, где сумма и произведение на число определены следующим об-
разом: a b ab и a a |
(a, b ; a, b 0) ; |
11)множество всех векторов плоскости, выходящих из начала координат, концы которых лежат во второй четверти;
12)множество векторов трехмерного пространства, являющихся линейными комбинациями двух данных векторов x и y ;
13)множество многочленов степени n с комплексными коэффициентами;
14) |
множество всех |
n -мерных векторов |
x (x1, x2 ,..., xn ) , |
||
|
xi |
, удовлетворяющих условию x1 x2 ... xn 0 ; |
|||
15) |
множество векторов пространства |
n , у которых совпада- |
|||
ют первая и последняя координаты; |
|
|
|||
16) |
множество векторов пространства |
n , у которых коорди- |
|||
наты с четными номерами равны нулю; |
|
||||
17) |
множество векторов пространства |
n |
с координатами |
||
( , , , ,...) ; |
|
|
|
||
18) |
множество векторов пространства |
n , у которых послед- |
|||
ние две координаты совпадают; |
|
|
|||
19) |
множество всех |
n -мерных векторов |
x (x1, x2 ,..., xn ) , |
||
|
xi |
, удовлетворяющих условию x1xn 1 ; |
|||
20) |
множество всех |
n -мерных векторов |
x (x1, x2 ,..., xn ) , |
||
|
xi |
, удовлетворяющих условию x1 x2 |
... xn . |
157
ЗАДАЧА 77. Выясните, образуют ли данные векторы e1,e2 ,e3
базис пространства |
3 : |
|
|
|
|
|||
1) |
e1 (1, 4, 6), |
e2 |
(1, 1,1), |
e3 |
(1,1,3); |
|||
2) |
e1 (2, 3,1), |
e2 (3, 1,5), |
e3 (1, 4,3); |
|||||
3) |
e1 (5, 4, 3), |
e2 |
(3, 3, 2), |
e3 |
(8,1,3); |
|||
4) |
e1 (1,1,1), |
e2 |
(0,1,1), e3 (1, 4,3); |
|||||
5) |
e1 (1, 1, 2), |
e2 ( 1,1, 1), |
e3 (2, 1,1); |
|||||
6) |
e1 (1, 2, 3), |
e2 |
(4, 5, 6), |
e3 |
(7,8,9); |
|||
7) |
e1 (1,1,1), |
e2 |
(1, 2,3), |
e3 (1,3,6); |
||||
8) |
e1 (3, 4, 5), |
e2 (8, 7, 2), |
e3 (2, 1,8); |
|||||
9) |
e1 (3, 2, 4), |
e2 (4,1, 2), |
e3 (5, 2, 3); |
|||||
10) |
e1 (7,3, 5), |
e2 (2, 1,8), |
e3 (1, 4,1); |
|||||
11) |
e1 (5, 6,1), |
e2 (3, 5, 2), |
e3 (2, 1,3); |
|||||
12) |
e1 (7,1, 3), |
e2 (2, 2, 4), |
e3 (3, 3,5); |
|||||
13) |
e1 (1, 2, 3), |
e2 |
(6, 5, 9), |
e3 |
(7,8,9); |
|||
14) |
e1 (2,1, 0), |
e2 |
( 5, 0,3), |
e3 |
(3, 4,3); |
|||
15) |
e1 (2, 0, 2), e2 |
(1, 1, 0), |
e3 |
(0, 1, 2); |
||||
16) |
e1 ( 2,1,5), |
e2 (4, 3, 0), |
e3 (0, 1,10); |
|||||
17) |
e1 (3, 1, 5), |
e2 (1, 4, 6), |
e3 |
(3,3, 2); |
||||
18) |
e1 (1, 3, 6), |
e2 |
(1, 1, 2), |
e3 |
(2, 1,8); |
|||
19) |
e1 (2,1, 4), |
e2 (5, 2, 3), |
e3 (1, 1,0); |
|||||
20) |
e1 ( 1,1,1), |
e2 (3, 2, 4), |
|
e3 (4,1, 2). |
158
ЗАДАЧА 78. Докажите, что векторы a, b, |
c |
образуют базис |
|||
пространства |
3 . Найдите координаты вектора x в этом бази- |
||||
се, сделайте проверку. |
|
|
|
||
1) |
a (5, 4,1) , |
b ( 3,5, 2) , |
c (2, 1,3) , |
|
x (7, 23, 4) ; |
2) |
a (2, 1, 4) , |
b ( 3, 0, 2) , |
c (4,5, 3) , |
x (0,11, 14) ; |
|
3) |
a ( 1,1, 2) , |
b (2, 3, 5) , |
c ( 6,3, 1) , |
x (28, 19, 7) ; |
|
4) |
a (1,3, 4) , |
b ( 2,5, 0) , |
c (3, 2, 4) , |
x (13, 5, 4) ; |
|
5) |
a (1, 1,1) , |
b ( 5, 3,1) , |
c (2, 1, 0) , |
x ( 15, 10,5) ; |
|
6) |
a (3,1, 2) , |
b ( 7, 2, 4) , |
c ( 4, 0,3) , |
|
x (16, 6,15) ; |
7) |
a ( 3, 0,1) , |
b (2, 7, 3) , |
c ( 4,3,5) , |
x ( 16,33,13) ; |
|
8) |
a (5,1, 2) , |
b ( 2,1, 3) , |
c (4, 3,5) , |
x (15, 15, 24) ; |
|
9) |
a (0, 2, 3) , |
b (4, 3, 2) , |
c ( 5, 4, 0) , |
x ( 19, 5, 4) ; |
10) |
a (3, 1, 2) , b ( 2,3,1) , |
c (4, 5, 3) , |
x ( 3, 2, 3) ; |
|||
11) |
a (5,3,1) , |
b ( 1, 2, 3) , |
c (3, 4, 2) , |
x ( 9,34, 20) ; |
||
12) |
a (3,1, 3) , b ( 2, 4,1) , |
c (1, 2,5) , |
x (1,12, 20) ; |
|||
13) |
a (6,1, 3) , b ( 3, 2,1) |
, |
c ( 1, 3, 4) , |
x (15, 6, 17) ; |
||
14) |
a (4, 2,3) , |
b ( 3,1, 8) , |
c (2, 4,5) , |
x ( 12,14, 31) ; |
||
15) |
a ( 2,1,3) , b (3, 6, 2) , |
c ( 5, 3, 1) , |
x (31, 6, 22) ; |
|||
16) |
a (1,3, 6) , |
b ( 3, 4, 5) , |
c (1, 7, 2) , |
|
x ( 2,17,5) ; |
|
17) |
a (7, 2,1) , |
b (5,1, 2) |
, |
c ( 3, 4,5) , |
|
x (26,11,1) ; |
18) |
a (3,5, 4) , |
b ( 2, 7, 5) , |
c (6, 2,1) , |
|
x (6, 9, 22) ; |
|
19) |
a (5,3, 2) , |
b (2, 5,1) |
, |
c ( 7, 4, 3) , |
x (36,1,15) ; |
|
20) |
a (9,5,3) , |
b ( 3, 2,1) |
, |
c (4, 7, 4) , |
x ( 10, 13,8) . |
159
ЗАДАЧА 79. Докажите, что каждая из двух данных систем
векторов e ,e |
2 |
,e |
3 |
|
и f , f |
2 |
, f |
3 |
образует базис пространства 3 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдите |
матрицу |
перехода |
от базиса |
|
e1,e2 ,e3 |
к базису |
||||||||||||||
f , f |
2 |
, f |
3 |
, |
где |
|
e |
|
(1,0,0), |
e |
2 |
(1,1,0), |
e |
3 |
(1,1,1) , |
а векторы |
||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f |
, f |
2 |
, f |
3 |
заданы согласно вашему варианту. |
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
f1 (1, 2,3) , |
|
f2 |
(0,1, 2) , |
|
f3 (0,0,1) ; |
|
|
||||||||||||
2) |
f1 (1,0,1) , |
|
|
f2 |
(0,1,0) , |
|
f3 (1,1,0) ; |
|
|
|||||||||||
3) |
f1 (1,0, 2) , |
|
f2 |
(1, 2,0) , |
|
f3 (1,0,0) ; |
|
|
||||||||||||
4) |
f1 (1,1,1) , |
|
|
f2 |
(1, 2,0) , |
|
f3 (2,0,0) ; |
|
||||||||||||
5) |
f1 (1,0, 2) , |
|
f2 |
(2,0,1) , |
|
f3 (0,1,0) ; |
|
|
||||||||||||
6) |
f1 (2,1, 2) , |
|
f2 |
(1,1,0) , |
|
f3 (0,1,0) ; |
|
|
||||||||||||
7) |
f1 (2, 2,3) , |
|
f2 |
(2,1,0) , |
|
f3 (2, 2, 2) ; |
|
|||||||||||||
8) |
f1 (1,1,1) , |
|
|
f2 |
(2,1, 2) , |
|
f3 (2,3,1) ; |
|
|
|||||||||||
9) |
f1 (1,3,1) , |
|
|
f2 |
(1,1, 2) , |
|
f3 (0,1,0) ; |
|
|
|||||||||||
10) |
f1 (1, 2,3) , |
f2 |
(0,1, 2) , |
|
f3 (1,0,1) ; |
|
|
|||||||||||||
11) |
f1 (1,0,1) , |
f2 |
(0, 2,0) , |
|
f3 (3, 4,0) ; |
|
||||||||||||||
12) |
f1 (2,0, 4) , |
f2 |
(1, 2,0) , |
|
f3 (3,0,0) ; |
|
||||||||||||||
13) |
f1 (1,1, 2) , |
f2 |
(2,1,0) , |
|
f3 (0, 2,0) ; |
|
||||||||||||||
14) |
f1 (1,0,3) , |
f2 |
(2,0,5) , |
|
f3 (0,1,0) ; |
|
|
|||||||||||||
15) |
f1 (2,1, 2) , |
f2 |
(4, 2,0) , |
|
f3 (0,3,0) ; |
|
||||||||||||||
16) |
f1 (2, 2,3) , |
f2 |
(2,1,0) , |
|
f3 (2, 2,5) ; |
|
||||||||||||||
17) |
f1 (2,3,1) , |
f2 |
(2,1, 2) , |
|
f3 (1,1,1) ; |
|
|
|||||||||||||
18) |
f1 (1,3, 4) , |
f2 |
(1,1,5) , |
|
f3 (0,1,0) ; |
|
|
|||||||||||||
19) |
f1 (2,1,5) , |
f2 |
(0,1,3) , |
|
f3 (1,1,0) ; |
|
|
|||||||||||||
20) |
f1 (4,1,0) , |
f2 |
(1,3,5) , |
|
f3 (2, 2, 2) . |
|
160