Учебное пособие 797
.pdfВВЕДЕНИЕ
Раздел «Введение в математический анализ» является одним из наиболее важных и сложных при изучении курса математического анализа. Глубокое неформальное понимание таких основных понятий как множества, числовая последовательность, функция, предел, непрерывность, знание основных теорем о пределах и непрерывных функциях, умение строить графики и вычислять пределы необходимо для дальнейшего успешного изучения как курса математического анализа так и других математических и специальных дисциплин.
Настоящие методические указания созданы с целью оказания помощи студентам при изучении раздела «Введение в математический анализ». Они являются дополнением известного пособия Кузнецова Л.А. «Сборник заданий по высшей математике» и пособия авторов «Введение в математический анализ».
В каждом занятии методических указаний приведены задачи для самостоятельного решения. Для удобства организации учебного процесса в группах с различным уровнем математической подготовки задачи приведены в трех уровнях сложности. В группе «А» содержатся типовые задания облегченного содержания, в группе «Б» более сложные стандартные задачи, в группе «В» предлагаются задачи, требующие глубокого понимания теоретического материала. Решая задачи из разных групп, студенты могут самостоятельно контролировать уровень усвоения учебного материала.
Настоящие методические указания могут использоваться как студентами для подготовки к практическим занятиям, контрольным работам, типовым расчетам, коллоквиумам и экзаменам так и преподавателем при проведении практических занятий, контрольных работ, типовых расчетов, коллоквиумов, экзаменов.
Занятие № 1 МНОЖЕСТВА
Расчетные задания
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Группа А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1. |
Даны |
|
множества |
A 0,1, 2, , 7 , |
B 3, 4, , 9 , |
||||||||||||||||||||||||||||||
C 3, 2, , 3, |
4 , |
D 2, 3, 4, 5, 6 . Определить элементы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
множеств: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) A B C D, |
|
|
|
|
2) A B C D, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3) A B C D , |
|
|
|
4) A B C D , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5) A\ B B \ A , |
|
|
|
6) A B \C, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7) C \ A D, |
|
|
|
|
|
8) A C D, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9) A\ C D , |
|
|
|
|
|
10) B \ D A\C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2. Изобразить на числовой оси множества A B, |
A B, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
A\ B, B \ A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
1) |
A |
|
|
,1 , |
B |
|
|
, 2 . |
2) A |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
B |
|
|
, 2 |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
A 1, 2 , |
B 1, 4 . |
|
|
|
5 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3) |
|
4) A 0, |
|
|
|
, |
|
B |
|
|
|
,1 . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
A |
|
1 |
|
|
2 |
|
B |
|
1 |
|
|
|
6) A 2, 4 , |
|
B 3, 7 . |
|
|||||||||||||||||||
5) |
|
|
, |
|
, |
|
|
|
, 2 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
A |
|
5 |
|
|
|
B |
|
1 |
|
8) A 3,1, |
|
B 0, 4 . |
|
||||||||||||||||||||||
7) |
|
|
, 0 |
, |
|
|
, 3 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A 4, 0 , B 2, |
7 . |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
9) |
|
10) A |
|
|
, 2 , |
B |
|
|
|
, 3 . |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3. Являются ли данные отображения |
|
|
f x |
множества R |
|||||||||||||||||||||||||||||||
взаимно однозначными? Найти обратные к ним. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1) |
f x 2x 3, |
2) f x 4x 1, 3) f x 2 3x, |
|
|
|
2
4) |
f x 5x 1, 5) f x 2 4x, |
6) f x 7x 4, |
|||||||||||||||||
7) |
f x 3 5x , |
8) f x 6x 5, |
9) f x 1 2x , |
||||||||||||||||
10) |
f x 4 6x , |
11) |
f x 1 x3, |
12) |
f x ex 1, |
||||||||||||||
13) |
f x |
|
, |
14) |
f x |
|
1 |
|
, |
|
15) |
f x ln x 2 , |
|||||||
x 1 |
|||||||||||||||||||
x 1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
16) |
f x e2x 1, |
17) |
f x 3 |
|
|
, |
18) f x 1 |
, |
|||||||||||
|
x 1 |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
f x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
19) |
|
, 20) f x ln x 1 . |
|||||||||||||||||
x 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
4. Построить |
суперпозиции g f и |
f g следующих |
отображений.
1)f x 13 6x , g x x2 6x 1; 2 3x
2)f x 11 3x , g x x2 4x 1; 2 3x
3)f x 6x 5 , g x x2 8x 3; 3x 2
4)f x 3x 7 , g x x2 2x 5; 2x 3
5) f x |
3 x |
, |
g x x2 4x 3; |
|
|||
|
3 2x |
|
6)f x 7 3x , g x x2 10x 2; 4 3x
7)f x 4 3x , g x x2 6x 7; 2 x
8)f x 3x 1 , g x x2 5x 3; 5x 4
9) f x |
4x |
, |
g x x2 x 8; |
|
|||
|
2x 3 |
|
10) f x |
11 4x |
, |
g x x2 7x 4. |
|
||||
|
|
|||||||
|
|
3 2x |
|
|
|
|
||
|
5. Перечислить элементы множеств A B и B A. |
|||||||
1) |
A 1,3 , |
B 2,3,4 ; |
2) |
A 3,2,1 , |
B 4,1 ; |
|||
3) |
A 4,3 , |
B 1,3,5 ; |
4) |
A 3,5,6 , |
B 4,6 ; |
|||
5) |
A 1,5 , |
B 2,5,8 ; |
6) |
A 7,2,3 , |
B 3,5 ; |
|||
7) |
A 2,5 , |
B 1,5,4 ; |
8) |
A 5,8,1 , |
B 6,8 ; |
|||
9) |
A 9,2 , |
B 2,4,7 ; |
10) A 4,6,7 , B 7,2 . |
6. Для каждого из следующих бинарных отношений, определенных на множестве R, найти область определения, область значений, нарисовать декартову диаграмму и выяснить, какими свойствами оно обладает.
1) |
R x, y : |
x x2 y y2 , 2) R x, y : |
y |
|
x |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
R |
|
x, y |
|
|
: xy 1 , |
|
|
|
|
|
|
4) R |
|
|
|
x, y |
|
: x2 y |
2 1 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5) |
R x, y : x2 y2 , |
|
|
|
|
|
|
6) R x, y : x2 4y2 1 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
R |
|
x, y |
|
: |
x 2y |
|
|
|
|
|
|
|
8) R |
|
|
|
x, y |
|
: 3x y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) |
R x, y : |
x y2 |
1 , |
|
|
|
|
|
|
10) R x, y : |
x3 y . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
7. Какому из множеств N, Z, Q, I принадлежат числа? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) sin30 , |
3) |
cos30 , |
4) |
tg30 , |
5) |
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
15, |
|
|
0,75 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
3 |
|
, |
|
|
|
|
|
7) lg5, |
8) lg2 lg5, |
|
|
9) 3 |
|
|
|
|
|
10) 4 |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
5, |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8. Решите неравенства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
x |
|
2x 3 |
|
1, |
|
2) |
|
|
|
x 5 |
|
|
|
x |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
3x 1 |
|
2, |
|
4) |
|
|
|
2x 4 |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
x 5 |
|
3, |
|
|
|
|
|
|
6) |
|
x |
|
|
|
x 3 |
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
7) |
|
3x 1 |
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
8) |
|
|
x |
1 |
|
|
|
1 |
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9) |
|
2x |
1, |
|
|
|
|
10) |
|
5x 1 |
|
3. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Группа Б |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1. Даны множества |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
A |
|
|
, |
B |
|
|
|
, C |
|
|
|
|
|
, |
где n N. |
||||||||||
|
|
|
n |
|
|
2n |
|
|
|
|
2n 1 |
|
|||||||||||||||
Определить элементы следующих множеств. |
|
||||||||||||||||||||||||||
1) A\ B\C C \ B , |
|
2) A B \C C \ B , |
|||||||||||||||||||||||||
3) A\C C \ A C, |
4) A\ B B\ A C , |
||||||||||||||||||||||||||
5) A\C C \ A B, |
6) A\ B B \ A B, |
||||||||||||||||||||||||||
7) A\C C \ A \ B, |
|
8) A\ A\ B B \ A , |
9)A B \C C \ B , 10) B\C C \ B \C.
2.Доказать следующие равенства:
1)A B C A C B C ,
2)A B C A C B C ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) A\ B A |
|
|
||
3) |
|
A |
B |
A B, |
B |
, |
|||||||
5) |
|
|
|
|
B, |
6) A |
|
A B, |
|||||
|
A\ B |
A |
A\ B |
||||||||||
7) A\ B A B A, |
8) A\ B A B , |
||||||||||||
9) |
A\ B B , |
10) A\ B A\ A B , |
3. Перечислить все элементы бинарного отношения R, заданного на множестве A, нарисовать его граф и установить, какими свойствами оно обладает.
1) |
R |
|
a,b |
|
|
, A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: a b |
|
1,2,3,4,5 ; |
|
|
|
|||||||
2) |
R |
a,b |
: b a |
|
|
A |
|
|
|
; |
|
|
||
|
|
1 , |
|
5,6,7,8,9 |
|
|
||||||||
3) |
R |
a,b |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
: a b делится на 2 , |
A 1,2,3,4,5 |
4) |
R |
|
a,b |
|
: |
3 делится на a |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||
|
|
b , |
A 1,2,3,4,5 |
|
|||||||||||||||||||
5) |
R |
a,b |
: |
|
, |
A |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||
|
|
a b 0 |
|
4, 1,3,7,8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
6) |
R |
a,b |
: |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ab 0 , |
|
7, 2, 3,4,5 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7) |
R |
a,b |
: |
|
, |
A |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
a b 0 |
|
6,2,7,4,5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8) |
R |
a,b |
: |
a b делится на |
|
A |
|
|
|
|
; |
||||||||||||
|
|
3 , |
|
1,6,8, 4,5 |
|||||||||||||||||||
9) |
R |
a,b |
: |
7 делится на a |
|
|
A |
|
|
|
|
; |
|
||||||||||
|
|
|
b , |
|
8,6,3,4,5 |
|
|
||||||||||||||||
10) R |
|
a,b |
|
|
|
, |
A |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
: a b 0 |
|
2, 1,3,2,1 |
|
|
|
|
4. Найти обратные к данным бинарным отношениям, заданным на множестве R, и композиции отношений.
1) |
R1 x, y : |
x2 2y , R2 x, y : x y 1 ; |
|||||||||||||||||
2) |
1 |
|
|
x,y |
: |
y |
|
x |
|
, |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
R |
|
|
|
R |
|
x,y : 2x y 1 ; |
|||||||||||||
3) |
1 |
|
|
x, y |
|
: |
|
|
|
|
|
2 |
|
x, y |
|
: x |
|
||
R |
|
|
|
xy 1 , |
R |
|
|
|
y 1 ; |
||||||||||
4) |
R1 x, y : |
x2 y2 1 , R2 x, y : 2x 3y 3 ; |
|||||||||||||||||
5) |
R1 x, y : |
x2 y2 , R2 x, y : |
y x 1 ; |
||||||||||||||||
6) |
R1 x, y : |
x 2y , R2 x, y : x 2y 7 ; |
|||||||||||||||||
7) |
R1 x, y : |
x2 y2 1 , R2 x, y : 2x y 1 ; |
|||||||||||||||||
8) |
R1 x, y : |
x3 y 0 , R2 x, y : x 7y 4 ; |
9)R1 x, y : x y2 , R2 x, y : 2x y 2 ;
10)R1 x, y : x2 y , R2 x,y : x 2y 3 .
5. Для данных множеств указать граничные точки, точки прикосновения, предельные точки, изолированные точки.
1)A ,1 5,10 20,30,40 ,
2)A 2,1 2,4 6,8 ,
5 |
6 |
3)A 9,0 1,3 5,6,7,8 ,
4)A 25, 5 1,1 2,3,4,5 ,
5)A 5,1 2, 4 10, ,
6)A 2,3,4 5,25 55, ,
7)A 3,1 1,3,5 5,9 ,
8)A , 4 0,1,3 3, ,
9)A 4, 2, 2,2 2,8 ,
10)A 9,1 2,5 6,8,9 .
Группа В
1.Доказать следующие равенства:
1)A B\C A B A C ,
2)A B B A A,
3)A\ B A\ B A B \ A B ,
4)A\ B A\ B B A A B ,
5)A\ A\ B A B,
6)B A\ B A B,
7)A\ B B \ A A B \ A B ,
8)A\ B A\C A\ B C ,
9)A C \ B A C \ B C ,
10)A B C B A C C A B
A B C A B C
2.Выполнить следующие задания.
1)Задайте отображение множества треугольников в множество окружностей.
2) |
Пусть |
X – множество неотрицательных, а Y |
– множе- |
|||
ство |
действительных |
чисел. |
Каждому |
x X поставим в |
||
соответствие |
такое |
y Y , |
что y4 x. |
Является |
ли это |
соответствие отображением? Будет ли это соответствие отображением, если Y – множество неотрицательных чисел?
3) Пусть X – множество неотрицательных рациональных чисел и Y X . Каждому x X поставим в соответствие такое
y Y , что y2 x. Является ли это соответствие отображением
Xв Y ?
4)Пусть X – множество всех окружностей на плоскости, а Y – множество точек этой плоскости. Каждой окружности поставим в соответствие ее центр. Является ли это соответствие отображением X на Y ? Является ли оно взаимно однозначным?
5)Пусть X – множество всех точек плоскости, а Y – мно-
жество точек оси ординат. Каждой точке x X поставим в соответствие ее проекцию на ось ординат. Является ли это соответствие отображением X на Y ? Является ли оно взаимно однозначным? Что является полным прообразом точки y Y ?
6) Пусть X – множество всех точек плоскости и l – прямая на этой плоскости (рис. 1). Каждой точке x X поставим в соответствие точку y X , симметричную x относительно прямой l. Является ли это соответствие отображением X на X ? Является ли оно взаимно однозначным? Что является образом квадрата, представленного на рис. 1, при указанном отображении? Какие точки переходят сами в себя при этом отображении?
7) На рис. 2 стрелки идут от x к y f x . Найдите f X .
Является ли это соответствие отображением X на Y ? Является ли оно взаимно однозначным? Чему равны прообразы элементов y1 и y2 ?
7 |
8 |
x3 |
|
|
x1 |
y1 |
y2 |
|
|
x2 |
|
l |
|
|
||
|
x3 |
y |
||
|
|
|||
x1 |
|
|
|
2 |
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
y |
|
|
|
3 |
|
y |
x2 |
y3 |
x |
|
|
|
6 |
|
|
1 |
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
Рис. 2 |
|
8) Пусть X – множество студентов в аудитории, а |
Y – |
множество столов в аудитории. Каждому студенту ставим в соответствие стол, за которым он сидит. Что является прообразом элемента y Y ? Является ли это соответствие отображением X на Y ? Является ли оно взаимно однозначным? В каком случае это отображение будет взаимно однозначным?
9) Существует ли отображение, обратное отображению f , которое ставит в соответствие: а) каждому треугольнику описанную около него окружность; б) каждому квадрату описанную около него окружность; в) каждому квадрату, стороны которого параллельны осям координат, вписанную в него окруж-
ность? |
|
|
|
f – отображение X на Y , g – ото- |
||||||||||||||
10)Докажите, что если |
||||||||||||||||||
бражение Y на Z , то g f |
– отображение X на Z . |
|||||||||||||||||
ны. |
3. Докажите, что нижеприведенные числа иррациональ- |
|||||||||||||||||
|
|
|
2) |
|
3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
2 |
|
, |
|
3) log2 5, |
4) 3 |
|
, |
|
5) lg2, |
||||||||
|
|
|||||||||||||||||
3 |
5 |
2 |
||||||||||||||||
6) |
sin10 , |
7) cos20 , |
8) tg1, |
9) |
|
|
|
, |
10) |
|
n. |
|||||||
2 |
3 |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4. Для каждой строки приведенной ниже таблицы найти пример отношения, обладающего (+) или не обладающего (–) тем или иным свойством, или доказать, что такого соотношения не существует.
№ |
Рефлек |
Анти- |
Сим- |
Анти- |
Связан- |
стро- |
сив- |
рефлек- |
метрич- |
симмет- |
ность |
ки |
ность |
сивность |
ность |
ричность |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
2 |
+ |
+ |
+ |
+ |
– |
3 |
+ |
+ |
+ |
– |
+ |
4 |
+ |
+ |
+ |
– |
– |
5 |
+ |
+ |
– |
+ |
+ |
6 |
+ |
+ |
– |
+ |
– |
7 |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
8 |
+ |
+ |
– |
– |
– |
9 |
+ |
– |
+ |
+ |
+ |
10 |
+ |
– |
+ |
+ |
– |
11 |
+ |
– |
+ |
– |
+ |
12 |
+ |
– |
+ |
– |
– |
13 |
+ |
– |
– |
+ |
+ |
14 |
+ |
– |
– |
+ |
– |
15 |
+ |
– |
– |
– |
+ |
16 |
+ |
– |
– |
– |
– |
17 |
– |
+ |
+ |
+ |
+ |
18 |
– |
+ |
+ |
+ |
– |
19 |
– |
+ |
+ |
– |
+ |
20 |
– |
+ |
+ |
– |
– |
21 |
– |
+ |
– |
+ |
+ |
22 |
– |
+ |
– |
+ |
– |
23 |
– |
+ |
– |
– |
+ |
24 |
– |
+ |
– |
– |
– |
9 |
10 |
|
25 |
– |
– |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
|
26 |
– |
– |
|
+ |
|
+ |
|
– |
|
|
27 |
– |
– |
|
+ |
|
– |
|
+ |
|
|
28 |
– |
– |
|
+ |
|
– |
|
– |
|
|
29 |
– |
– |
|
– |
|
+ |
|
+ |
|
|
30 |
– |
– |
|
– |
|
+ |
|
– |
|
|
31 |
– |
– |
|
– |
|
– |
|
+ |
|
|
32 |
– |
– |
|
– |
|
– |
|
– |
|
5. |
|
|
|
D , A C и B D , |
||||||
|
1) Доказать, что если A B, C |
|||||||||
то A C |
B D. |
|
|
|
|
A B , |
|
|
||
|
2) Доказать или опровергнуть, |
что если |
C D, |
|||||||
A C и B D, то B \ A D\C . |
|
|
|
|
|
|
3)Доказать, что соединение счетного множества и конечного множества счетно.
4)Доказать, что соединение конечного числа счетных множеств счетно.
5)Доказать, что соединение счетной системы конечных множеств счетно.
6)Доказать, что соединение счетной системы счетных множеств счетно.
7)Доказать, что прямое произведение не пустых не более чем счетных множеств, хотя бы одно из которых счетно, является счетным множеством.
8) |
Доказать, что если M – счетное множество и s N, то |
Ms |
счетно. |
9) |
Доказать, что если M – не пустое, не более чем счетное |
множество, то M счетно.
10) Доказать, что система конечных подмножеств множества N счетна.
6. Найти точные верхние и нижние грани для множеств X или доказать, что они не существуют.
1) X x : x
2) X x: x
3) X x: x
4) X x: x
5) X x: x
|
|
2n |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, n N |
, |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
3n |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n |
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, n N |
, |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
2n |
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, n N |
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n 1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
, |
n N , |
|
|
||||
2n |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
n N |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n2 5 |
|
|
|
6) X x:
7) X x:
8) X x:
9) X x:
10) X x:
|
|
n |
2 |
n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
, |
n N |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3n2 1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 3 |
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
, |
|
n N |
, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
||||||||
|
|
3n 5 |
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
, |
|
n N |
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
n 4 |
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
, |
|
|
n N |
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3n 1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
4n 3 |
|
|
||||||||
x |
|
|
|
, |
n N . |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2n 1 |
|
|
11 |
12 |
Занятие № 2 ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Расчетные задания
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Группа А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1. Доказать, что |
lim |
an a (указать N ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3n 2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
4n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1) an |
|
, |
|
a |
3 |
; |
|
|
|
2) an |
|
, |
|
|
a 2; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3) an |
|
|
7n 4 |
, |
|
a |
7 |
; |
|
|
|
4) an |
|
2n 5 |
, |
|
|
a |
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
5) an |
|
|
|
|
7n 1 |
|
|
|
|
|
a 7; |
|
|
|
6) an |
|
|
4n2 |
1 |
|
|
a |
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
3n2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
7) an |
|
|
|
|
9 n3 |
, a |
1 |
|
|
8) an |
|
|
|
|
4n 3 |
|
|
|
a 2; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 2n3 |
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
9) an |
|
|
|
1 2n2 |
|
, a |
1 |
; |
10) an |
|
|
5n |
|
|
, |
|
a 5. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 4n2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2. Доказать ограниченность или неограниченность после- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
довательностей xn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1) |
x |
|
1 n |
1 |
; |
|
|
|
|
2) |
x 2n; |
3) x |
|
lnn; |
|
|
|
4) |
|
x |
sinn; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
5) x |
1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, ; 6) |
x 2 1 nn ; |
7) |
x |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
n4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn 1 1 n n; |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 1 |
n |
|
n! |
||||||||||||||||||||||||||
8) |
xn |
|
|
; |
|
|
|
|
|
9) |
|
|
|
10) xn |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
3. Установить, являются ли последовательности xn
бесконечно большими, бесконечно малыми или не являются ни бесконечно большими, ни бесконечно малыми.
1) xn nk k 0 ; |
|
|
2) xn nk k 0 ; |
|
|
3) xn 1 1 n n; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
x |
1 n 0,999n ; |
|
5) |
|
x |
|
n 1 n ; |
|
|
|
|
6) x |
|
|
|
|
|
|
n |
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2n3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|||||||||||
7) |
x |
2 |
n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
8) x |
|
|
1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9) |
x |
log |
|
|
|
log |
|
|
|
n |
n 2 ; |
|
|
|
10) x |
n |
|
|
|
|
|
n4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n4 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
4. Вычислить пределы числовых последовательностей. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) |
lim |
3 n 2 3 n 2 |
; |
|
|
|
|
2) |
lim |
3 n |
4 2 n 4 |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n 4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
n 3 n 2 3 n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 n 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3) |
lim |
1 n 4 1 n 4 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
4) |
lim |
6 n |
2 6 n 2 |
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n 1 n 3 1 n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 6 n 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5) |
lim n 1 3 n 1 2 |
; |
|
|
|
|
|
6) |
lim |
n 1 3 n 2 3 |
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n n 1 3 n 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n 4 3 n 5 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7) |
lim |
n 3 3 n 4 3 |
|
; |
|
|
|
|
8) |
lim n 1 4 |
n 1 4 |
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
n n 3 4 n 4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
n n 1 3 n 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9) |
lim |
|
|
n 6 3 n 1 3 |
; |
|
|
10) |
lim n 10 2 3n 1 2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 2n 3 2 n 4 2 |
|
|
|
|
|
n n 6 3 n 1 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5. Вычислить пределы числовых последовательностей. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125n3 n |
||||||||||||||||||||||||||
|
1) |
lim |
|
|
|
|
n 1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
lim |
|
|
|
3n 1 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 n n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
n 3 n3 1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
3) |
lim |
|
|
|
|
|
|
n 2 |
; |
|
|
4) |
lim |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n 4 4n4 1 3 n4 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
4n6 3 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27n3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
5) |
lim |
|
|
|
|
4n 1 |
|
|
|
; 6) |
lim |
|
|
|
n |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 n5 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3n 4 9n8 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
14 |
7) |
lim |
|
|
|
n 3 |
n2 3 |
|
|
|
; |
|
|
8) |
lim |
|
|
|
n 1 |
3 |
n3 1 |
4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n 3 n5 4 4 n4 1 |
|
|
|
|
|
n 4 |
|
|
5 n5 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4n2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9) |
lim |
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
; |
|
|
|
10) lim |
|
n3 1 |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n 3 n6 n3 1 5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3 n6 2 n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Группа Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1. Для каждой из последовательностей xn найти все |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
предельные точки, lim |
x |
|
, |
|
|
|
x |
|
, |
sup x |
|
|
, inf x |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
n |
|
|
lim |
n |
n |
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
xn |
2 1 n |
; |
|
|
|
|
|
|||||||
2 1 n |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) |
xn |
arcsin |
1 n |
|
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
5) |
xn |
1 nsin |
n |
; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
7) |
x |
|
n 1 |
cos2 |
n |
; |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
|
|
|
n |
4 |
|
|
|
|
|||||
9) |
xn |
|
|
2 1 n |
|
|
1 |
; |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2) |
xn |
cos |
n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
xn |
|
n 2 |
|
sin |
n |
|
, n 3; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
n 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
xn |
|
1 n |
1 1 n |
|
|
||||||||||||||||
6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8) |
xn |
1 |
|
n |
|
cos |
n |
; |
|
|
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
10) |
|
xn |
|
n 1 |
cos |
2 n |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
3 |
|
2. Для каждой из последовательностей xn найти все
предельные точки, lim |
x |
n |
, |
|
lim |
x |
|
, |
sup x |
|
, inf x |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
x |
|
1 |
|
n |
|
cos |
n |
|
; |
|
|
|
|
|
|
2) x 1 n 1 |
2 |
3 |
|
; |
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) |
x |
n |
1 |
2 1 n 1 3 |
1 n n 1 |
2 |
; |
4) x |
n |
|
n 1 |
cos |
2 n |
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
1 |
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
5) |
x |
1 nsin |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7) |
x |
1 n 1 |
|
sin |
n |
; |
|
|
|
|
|
8) |
|
x |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
sin2 |
n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosn |
2 n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) |
x |
n 1 2 1 nn ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10) x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3. Вычислить пределы числовых последовательностей. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n5 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
lim |
|
|
|
|
; |
2) |
lim |
3 n 2 |
2 |
3 n 1 2 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n n 1 n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
lim |
|
|
|
|
|
; |
|
4) |
|
lim n |
3 5 8n3 2n ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
n |
6 |
4 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n n |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
lim n |
n |
|
n |
|
|
; 6) |
lim |
|
|
n |
n |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n2 5 n4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n6 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
lim |
|
|
|
; 8) |
lim n |
5 n |
3 |
|
|
n |
3 |
3 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n5 9 |
|
|
|
|
n4 1 n2 5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) |
lim |
|
4 n3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
10) |
|
|
|
lim |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
4. Вычислить пределы числовых последовательностей. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n2 |
|
6n 5 |
3n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n2 6n 7 |
|
n 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
20n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4n2 4n 1 1 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n2 2n 3 3n2 7 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
7n2 18n 15 n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n2 21n 7 2n 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
6) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
18n 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
11n 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
16 |
|
|
|
|
2n2 7n 1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n2 3n 1 n3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
2n |
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n |
3n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2n2 5n 7 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n2 4n 1 2n 5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10) |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
2n |
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 7 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Группа В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1. Вычислить пределы числовых последовательностей. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
28 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
; |
|
|
|
2) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 2 |
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
n n 1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
sinn! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
22 |
|
23 |
2n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
3 |
n |
|
|
||||||||||||||||||
5) |
lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
6) lim |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
1 n 1n |
|||||||||||||||||||||||||||||
7) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 8) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||
n n2 |
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9) |
lim |
1 a a2 |
an |
|
|
|
|
|
a |
|
1, |
|
b |
|
1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 b b2 bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
10) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2. Для последовательности xn |
|
найти inf xn , supxn , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim x и |
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n |
n |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
2) xn n 2 1 n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) xn |
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) xn 1 n n; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 10,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
x |
|
1 nsin |
n |
; |
5) x |
n |
n 1 n |
; |
6) |
|
x |
|
n 1 |
cos |
2n |
; |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n 1 |
3 |
|
|
|
|
|||||||||
7) x 1 2 1 n 1 3 1 |
n n 1 |
|
|
8) x 1 n 1 |
2 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
; |
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
9) x |
|
1 n |
|
1 1 n |
; |
|
|
|
10) x |
1 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
n |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3. Выполнить следующие задания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1) Доказать, что последовательности xn и yn , опре- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
деляемые формулами x1 a , |
y1 b, |
|
xn 1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
xnyn |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
y |
n 1 |
|
xn yn |
|
имеют общий предел |
|
lim x |
lim y . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2) Пусть xn |
- последовательность чисел, определяемая |
|||||||||||||||||||||||||||||||
следующей формулой x |
0, |
x |
|
|
1 |
x |
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n 0,1,2, . Доказать, что |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim x |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3)Доказать, что последовательность xn , где xn 1
1 1 1 lnn n 1,2, , сходится.
2 3 |
n |
4) Доказать, что если p - натуральное число, то
1p 2p np |
|
n |
1 |
|
||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
p |
|
|
|
||||
|
n |
|
p 1 |
|
2 |
|
||
n |
|
|
|
|
5) Доказать, что если yn 1 yn, nlim yn и существу-
ет lim |
xn 1 xn |
, то |
lim |
xn |
lim |
xn 1 xn |
. |
|||
|
|
|
|
|||||||
n yn 1 yn |
n yn |
|
n yn 1 yn |
|||||||
6) Доказать, что lim |
|
n |
e. |
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
n n n! |
17 |
18 |
7) |
Доказать, что если x 0, то |
lim |
n |
|
lim |
xn 1 |
. |
|||||
x |
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
n |
|
n |
n x |
|||
|
Доказать, что если последовательность xn |
n |
||||||||||
8) |
сходится |
|||||||||||
и x 0, то lim |
n |
|
lim x . |
|
|
|
|
|
|
|||
x x x |
|
|
|
|
|
|
||||||
n |
n |
1 2 |
n |
n n |
|
|
|
|
|
|
9) Доказать, что если |
lim x , то |
||||||
|
|
|
n |
n |
|||
lim |
x1 x2 xn |
. |
|||||
|
|||||||
n |
n |
|
|
|
|
||
10) Пусть числовая последовательность xn удовлетво- |
|||||||
ряет условию 0 x |
x |
x |
. Доказать, что lim |
xn |
сущест- |
||
|
|||||||
m n |
|
m |
n |
|
n n |
||
|
|
|
|
|
вует.
Занятие № 3
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Примеры решения задач
Пример 1. Найти область определения функции
f x |
|
3arcsin |
3x 1 |
. |
|
|
|
1 2x |
|||||||
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|||
Решение. Первое слагаемое принимает действительные |
|||||||
значения при 1 2x 0, |
а второе – при 1 |
3x 1 |
1. Таким |
||||
|
|||||||
|
2 |
|
образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств:
1 2x 0
3x 1 2 13x 1 2 1
Врезультате получаем систему неравенств
x 1 2
x 1 3
|
x 1 |
|
1 1
Следовательно, область определения функции x , .
3 2
Пример 2. Найти множество значений функции f x 2 3sin x.
Решение. Так как синус принимает значения, не превосходящие по модулю единицы, то получаем неравенство sin x 1, или 1 sin x 1. Умножим все части этого двойного
неравенства на 3 и прибавляя к ним |
по 2, имеем |
1 2 3sin x 5. Следовательно, E f 1, |
5 . |
Пример 3. Установить четность или нечетность функции
fx lg x 3 .
x3
Решение. Находим f x lg x 3 lg x 3
|
|
|
1 |
|
|
x 3 |
x 3 |
|
x 3 |
|
x 3 |
|
|||
lg |
|
|
lg |
|
f x . Следовательно, данная |
||
|
|
||||||
|
x 3 |
|
|
x 3 |
|
||
функция – нечетная. |
|
||||||
|
|
Пример 4. Найти основной период функции |
|||||
|
|
|
|
|
f x sin6x tg4x. |
|
|
|
|
Решение. Для первого слагаемого основной период равен |
|||||
2 |
6 3, а для второго он равен 4. Очевидно, что основ- |
19 |
20 |