Учебное пособие 1272
.pdfОпределение. Экспонентой группы (G, ) называют наименьшее натуральное число m такое, что
|
|
|
g G |
gm = e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обозначение: |
exp G = m . Если таких чисел m не существу- |
|||||||||||||
ет, то полагают exp G = ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Например, exp( |
, +) = ∞, exp( |
m , +) = m . |
|
|
|
|
|
|
||||||
Теорема |
10. |
Экспонента |
|
конечной |
|
группы |
||||||||
G ={g1, ... , gn} конечна и удовлетворяет равенству |
|
|
|
|||||||||||
|
|
expG = HOK (ord g1, ... ,ord gn ) . |
|
|
|
|
|
|
||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
Обозначим |
|||||||
k = HOK(ord g1, ... ,ord gn ) . |
Тогда |
для |
любого |
элемента |
||||||||||
g G |
в |
силу |
теоремы |
|
9 |
|
|
|
(свойст- |
|||||
во 1) верно равенство gk = e , следовательно exp G ≤ k . |
|
|||||||||||||
Обозначим exp G = m . |
Тогда по определению экспо- |
|||||||||||||
ненты имеем |
gim = e |
для всех элементов |
gi G . |
Отсюда в |
||||||||||
силу теоремы 9 (свойство 1) |
m ord gi |
|
|
, значит чис- |
||||||||||
i =1, n |
||||||||||||||
ло m является общим кратным чисел ord gi , |
|
i = |
|
, |
и по- |
|||||||||
|
1, n |
|||||||||||||
этому |
m k = HOK(ord g1, ... ,ord gn ) . |
Кроме |
того, в |
силу |
||||||||||
выше доказанного m ≤ k . Таким образом, |
m k и m ≤ k , сле- |
|||||||||||||
довательно m = k , т.е. expG = HOK(ord g1, ... ,ord gn ) . |
■ |
Используя теорему 10, найдем экспоненты групп подстановок S3 и S4 :
exp S3 = HOK(1, 2,3) = 6 ,
exp S4 = HOK (1, 2,3, 4) =12 . (Проверьте!)
Контрольные вопросы и задания к п. 1.7
1.Что называется порядком элемента группы?
2.Приведите пример группы, в которой есть элементы конечного и бесконечного порядков.
3.Как найти порядок подстановки?
4.Докажите, что в группе порядки элементов ab и ba равны.
Указание. Равенство (ab)n = e умножить слева на b , а справа на a .
5. Могут ли в мультипликативной группе G существовать ровно два элемента второго порядка?
Указание. Если a,b - элементы второго порядка, то рассмотреть элемент aba .
6.Докажите, что в группе элементы abc и cba могут иметь разные порядки.
Указание. Рассмотрите подстановки (1 2 3) , (1 2) и (1 3) .
7. Даны подстановки a,b S9 :
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
, |
||
a = |
3 |
5 |
7 |
9 |
6 |
8 |
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
||
b = |
3 |
5 |
4 |
6 |
7 |
8 |
9 |
2 |
1 |
. |
|
|
|
|
Найдите порядок этих подстановок и вычислите a47 , b83 . 8. Найдите порядки всех элементов групп S3 , S4 , Z4 , Z8 ,
Z7 , Z12 .
9.Какой наибольший порядок могут иметь элементы групп
S5 , S6 , S10 ?
10.Найдите порядки всех ненулевых элементов поля GF(7) .
40 |
41 |
11. Найдите порядок элемента группы:
а) |
1 |
|
|
− |
|
1 |
|
i C ; |
||
2 |
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
б) (1, 2)(1,7)(1,3)(1,5)(4,6,8) S8 ; |
||||||||||
|
−1 |
|
|
i |
GL2 (C) ; |
|||||
в) |
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
1 |
|
|
||||
г) |
0 |
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
GL2 (R) ; |
|||||
|
−1 |
|
|
−1 |
||||||
д) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
5 |
|
в группах GL2 (Z3 ) , GL2 (Z11) , GL2 (Z13 ) . |
|||||
|
|
|
1 |
|
||||||
|
0 |
|
|
|
1.8. Понятие циклической группы
В предыдущем пункте было введено понятие степени
ak элемента a для любого целого k .
Определение. Группа G называется циклической, если она состоит из степеней одного из своих элементов a . В этом случае элемент a называют образующим элементом группы и говорят, что группа G порождается элементом a .
Если группа G порождается элементом a , будем использовать следующее обозначение G = a .
Теорема 11. Любая циклическая группа является абелевой.
Приведем примеры циклических групп.
Пример 23. Аддитивная группа целых чисел ( , +) яв-
ляется бесконечной циклической группой. Ее образующим элементом является число 1 или -1, так как всякое целое
число кратно 1 или -1. Поэтому можем записать = 1 или
= −1 .
Пример 24. Аддитивная группа вычетов по модулю m , т.е. ( m , +) , является конечной циклической группой поряд-
ка m . Ее образующим элементом является класс 1 , так как m ={0, 1,..., m −1} и любой элемент из m можно записать в виде k 1 , где k = 0,1,..., m −1, т.е. любой элемент из m
является кратным элемента 1 .
Пример 25. Приведем еще один пример конечной циклической группы. Рассмотрим (Ωn , ) - мультипликативную
группу корней n -й степени из единицы. Эта группа состоит
из комплексных чисел вида |
|
|
|
|
|||
εk = cos |
2πk |
+i sin |
2πk |
, k = |
|
. |
|
0, n −1 |
|||||||
n |
n |
||||||
|
|
|
|
|
42 |
43 |
Образующим элементом этой группы является число
|
ε = cos |
2π |
|
+i sin |
2π |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Действительно, в силу формулы Муавра для любого |
|||||||
комплексного |
числа |
|
z = ρ(cosϕ +i sinϕ) |
имеем |
zk = ρk (cos kϕ +i sin kϕ) , и поэтому εk =ε1k k = 0, n −1 .
Следующая теорема показывает, что примерами 23 и 24 или 23 и 25 исчерпываются по существу все циклические группы.
Теорема 12. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой; все конечные циклические группы данного порядка также изоморфны между собой.
Следствие. Все бесконечные циклические группы изоморфны аддитивной группе целых чисел. Все конечные циклические группы данного порядка m изоморфны аддитивной группе вычетов по модулю m .
Контрольные вопросы и задания к п. 1.8
1.Какая группа называется циклической?
2.Приведите примеры циклических групп. Укажите их образующие элементы.
3.Сформулируйте теорему об изоморфных циклических группах.
4.Будет ли группа обратимых элементов кольца вычетов Z16
циклической? (Ответ: Нет, так как порядок группы равен 8, а по-
рядок каждого элемента не превосходит 4.)
5. Выясните, являются ли данные группы циклическими:
а) (Z4 , +) ; |
б) (Z7 , ) ; |
в) (Z8 , ) . |
||
6. Пусть |
G |
- конечная |
группа |
и a G . Докажите, что |
G = a |
тогда и только тогда, |
когда порядок элемента a |
равен порядку группы G .
7.Докажите, что группа G конечного порядка n является циклической тогда и только тогда, когда в ней существует элемент порядка n .
8.Укажите, какие из следующих утверждений являются верными:
а) каждая циклическая группа абелева; б) каждая абелева группа циклическая;
в) каждый элемент циклической группы, отличный от единичного, является ее образующим элементом;
г) каждая группа порядка n < 4 циклическая; д) каждая группа порядка n ≤ 4 циклическая.
1.9. Подгруппы
Пусть (G, ) - группа и H - непустое подмножество
группы G .
Определение. Подмножество H группы G называется ее подгруппой, если выполняются два условия:
1) |
x, y H |
xy H ; |
2) |
x H |
x−1 H . |
Обозначение: H < G .
Теорема 13. Подгруппа H является самостоятельной группой относительно бинарной операции, определенной в исходной группе G .
Доказательство. Пусть H < G . Для доказательства достаточно показать, что H содержит нейтральный элемент. В силу определения подгруппы имеем: если x H , то
x−1 H ; кроме того, если элементы x и x−1 H , то их про-
изведение также принадлежит H : xx−1 = e H . ■ Приведем примеры подгрупп.
Пример 26. Простейшими подгруппами любой группы являются подмножество {e} , состоящее из одного нейтраль-
44 |
45 |
ного элемента, и сама группа. Эти подгруппы называют
тривиальными.
Пример 27. В аддитивной группе ( , +) |
целых чисел |
|||
подгруппой является множество m |
чисел, кратных данно- |
|||
му натуральному числу m . |
x, y m , |
|
x = ma , |
|
Действительно: |
1) Пусть |
т.е. |
||
y = mb , где a,b . |
Тогда x + y = ma +mb = m(a +b) m . |
|||
2) Для любого x m |
имеем −x = −ma = m(−a) m |
. Сле- |
довательно, m - подгруппа.
Пример 28. В мультипликативной группе GLn ( ) не-
вырожденных матриц n -го порядка подгруппу образуют матрицы, определители которых равны единице. (Докажите!)
Пример 29. В cимметрической группе Sn подгруппу
образуют все подстановки четной степени. (Докажите!) Пример 30. Пусть дана группа (G, ) и элемент a G .
Подгруппу образуют всевозможные степени (положительные и отрицательные) элемента a :
H ={... , a−2 , a−1, a0 = e, a, a2 , a3, ...} .
Эту подгруппу H называют циклической подгруппой, поро-
жденной элементом a . Причем, если элемент a имеет конечный порядок, то эта подгруппа конечная. А именно, если ord a = m , то H ={a0 = e, a, a2 , ... , am−1}.
Опишем свойства подгрупп.
Теорема 14. Пересечение двух подгрупп группы G является подгруппой в G .
Доказательство. Пусть H1 и H2 - две подгруппы данной группы G . Покажем, что их пересечение H1 ∩H2 также является подгруппой.
Рассмотрим два произвольных элемента x, y H1 ∩H2 .
Это означает, что элементы x и |
y одновременно принадле- |
|||
жат как множеству H1 , так и множеству H2 . Имеем: |
||||
1) |
x, y H ; но H - подгруппа xy H , |
x−1 H ; |
||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
2) |
x, y H2 ; но H2 - подгруппа xy H2 , |
x−1 H2 . |
||
Таким |
образом, |
произведение |
xy H1 ∩H2 и |
элемент |
x−1 H1 ∩H2 . Следовательно, H1 ∩H2 является |
подгруп- |
|||
пой.■ |
|
|
|
|
Теорема 15. Пусть H - подгруппа группы G . Тогда
1)нейтральные элементы групп G и H совпадают;
2)для любого элемента a H элемент, обратный к a в H , совпадает с обратным к a элементом в G .
Доказательство. 1) Пусть e - нейтральный элемент в
G , e1 - нейтральный элемент в H . |
Тогда для любого эле- |
мента a H выполняются равенства |
ae = a , ae1 = a . От- |
сюда имеем ae = ae1 . Умножая обе части последнего равен- |
|||
ства на a−1 слева, получим e = e . |
|
||
|
|
1 |
|
2) Пусть a′ - элемент, обратный к a в H . Тогда в H , а |
|||
значит и G , выполняются равенства |
|
||
aa |
′ |
′ |
(3) |
|
= a a = e1, |
где e1 - нейтральный элемент группы H . Но в силу предыдущего свойства e1 = e , где e - нейтральный элемент в G . Тогда по определению обратного элемента из (3) следует, что a′ = a−1 в группе G . ■
В заключение приведем теорему, которая раскрывает роль группы подстановок.
Теорема 16 (теорема Кэли). Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе группы Sn .
46 |
47 |
Контрольные вопросы и задания к п. 1.9
1.Сформулируйте определение подгруппы.
2.Справедливо ли утверждение: любая подгруппа группы G является группой? Ответ обоснуйте.
3.Будет ли пересечение двух подгрупп некоторой группы являться подгруппой? Ответ обоснуйте.
4.Пусть H - подгруппа в G . Докажите, что единицы группы H является единицей группы G .
5.Докажите, что в абелевой группе G множество элементов
вида {g2 , g G} образует подгруппу в G .
6.Докажите, что множество четных подстановок является подгруппой группы Sn .
7.Является ли множество нечетных подстановок подгруппой группы Sn ?
8.Найдите циклическую подгруппу H группы S4 , порожденную подстановкой a =(1,4,3) .
9.Докажите, что данное множество подстановок образует подгруппу в группе S6 :
1 2 3 4 5 6 |
|
, |
1 2 3 4 5 6 |
|
|
||
|
|
|
, |
||||
1 2 3 4 5 6 |
|
|
|
2 3 1 6 4 5 |
|
|
|
1 2 3 4 5 6 |
|
|
, |
1 2 3 4 5 6 |
, |
||
|
|
|
|
|
|
||
3 1 2 5 6 4 |
|
|
|
4 5 6 1 2 3 |
|
||
1 2 3 4 5 6 |
|
, |
1 2 3 4 5 6 |
|
|||
|
|
|
|
. |
|||
5 6 4 3 2 1 |
|
|
6 4 5 2 3 1 |
|
|
Докажите, что эта подгруппа изоморфна группе S3 .
10. Выясните, является ли подгруппой группы S4 следующее множество подстановок:
1 2 3 4 |
|
|
1 2 3 4 |
|
a = |
, |
b = |
, |
|
1 2 3 4 |
|
|
2 1 4 3 |
|
1 2 3 4 |
|
1 2 3 4 |
|
|
c = |
, |
|
d = |
. |
3 4 1 2 |
|
4 3 2 1 |
|
|
11. Докажите, что множество матриц A(ϕ) вида |
||||
cosϕ |
−sinϕ |
|
||
A(ϕ) = |
|
, |
|
|
sinϕ |
cosϕ |
|
где ϕ - произвольное действительное число, образует
подгруппу группы невырожденных матриц второго порядка (относительно операции умножения).
1.10.Разложение группы в смежные классы по подгруппе
Пусть H - подгруппа группы G и a - некоторый элемент группы G .
Определение. Левым смежным классом группы G по подгруппе H , порожденным элементом a , называется множество всех произведений вида ah , где h H , т.е.
aH ={x : x = ah h H} .
Аналогично определяется правый смежный класс:
Ha ={x : x = ha h H} .
Заметим, что для аддитивных групп левый и правый смежные классы обозначаются соответственно a + H и H +a :
48 |
49 |
a + H ={x : |
x = a +h |
h H}, |
H +a ={x : |
x = h +a |
h H}. |
Приведем свойства смежных классов.
1) eH = H , т.е. подгpуппа H является одним из смежных классов.
Доказательство. По опpеделению левого смежного класса имеем:
eH ={x : x = eh h H} ={x : x = h h H} = H . ■
2) a aH , т.е. элемент a всегда пpинадлежит тому классу, котоpый он поpождает.
Доказательство. В силу теоремы 15 нейтpальный элемент e гpуппы G является нейтpальным элементом ее подгpуппы H . Тогда для пpоизвольного элемента a G имеем: a = ae = ah пpи h = e , что означает a aH . ■
3) Если элемент b aH , то bH =aH , т.е. любой элемент b из класса aH порождает тот же смежный класс aH .
Доказательство. Рассмотpим пpоизвольный элемент b aH . В силу опpеделения левого смежного класса для элемента b веpно представление b = ah0 , где h0 H . Отсюда
для элемента a имеем: a = bh0−1 .
Докажем, что bH aH и aH bH , что и будет означать bH = aH .
Докажем сначала, что bH aH . Рассмотрим произвольный элемент x bH . Тогда для некоторого h1 H верно
x = bh1 = (ah0 )h1 = a(h0h1) .
Здесь h0h1 H , т.к. H - подгруппа и вместе с каждой паpой элементов h0 и h1 содержит их произведение. Тогда равен-
ство x = a(h0h1) , где h0h1 H , |
означает, что |
x aH . А так |
||
как элемент x в классе bH |
выбиpался пpоизвольно, то |
|||
bH aH . |
|
|
|
|
Докажем тепеpь, что aH bH . Для |
пpоизвольного |
|||
элемента y aH имеем |
|
|
|
|
|
y = ah2 = (bh0−1)h2 = b(h0−1h2 ) . |
|
||
Так как H - подгpуппа, то для |
h , h H веpно: h−1 H и |
|||
|
|
0 |
2 |
0 |
h0−1h2 H . |
Тогда равенство |
y = b(h0−1h2 ) |
означает, что |
|
y bH . Hо |
y - это пpоизвольный элемент класса aH , сле- |
|||
довательно aH bH . |
|
|
|
|
Итак, |
установлено, что bH aH и aH bH , откуда |
следует, что bH = aH . ■
Из свойства 3 вытекает, что любые два левых смежных класса группы G по подгруппе H либо совпадают, либо не пеpесекаются; а это означает, что каждый элемент гpуппы G попадает pовно в один смежный класс.
Таким обpазом, вся гpуппа G pаспадается на непеpесекающиеся левые смежные классы по подгpуппе H .
Это pазложение называют левостоpонним pазложением гpуппы G по подгpуппе H и обозначают G = aH .
a G
Аналогично опpеделяется пpавостоpоннее pазложение гpуппы G по подгpуппе H : G = Ha .
a G
Для абелевой группы оба ее разложения (левостоpоннее и пpавостоpоннее) по любой подгруппе сов-
падают, и говорят о разложении группы по подгруппе.
50 |
51 |
Определение. Индексом подгруппы H в группе G на-
зывают число левых (правых) смежных классов группы G
по продгруппе H и обозначают |
| G : H | . |
|
Пример 31. Пусть G = ( |
, +) |
- аддитивная гpуппа це- |
лых чисел, ее подгpуппа H = m |
- множество целых чисел, |
|
кpатных данному натуpальному |
числу m . Гpуппу G |
pазложим в смежные классы по подгpуппе H . Обpатим внимание на то, что мы не говоpим о левостоpоннем или пpавостоpоннем pазложении, поскольку pассматpиваемая гpуппа G является абелевой.
Пусть a - любое целое число. Постpоим смежный класс a + H , который порождается элементом a . Так как
H = m ={..., −3m, −2m, −m,0, m, 2m,3m,...},
то
a + H = a +m ={x : x = a +h h m } =
={..., a +(−3m), a +(−2m), a +(−m), a, a +m, a +2m, a +3m,...} .
Легко видеть, что все числа построенного класса a + H дают один и тот же остаток пpи делении на m , а именно, тот остаток r , котоpый пpи делении на m дает число a (напомним, что в силу теоремы о делении с остатком число a можно записать в виде a = mq +r , где 0 ≤ r ≤ m −1 ). Таким обpазом,
смежный класс a + H состоит из всех целых чисел, котоpые пpи делении на m дают один и тот же остаток. Поскольку этот остаток может пpинимать только m pазличных значений 0,1, 2,..., m −1, то мы получим m pазличных смежных
классов:
0 = m , 1 =1+m , 2 = 2 +m , … , m −1 = (m −1) +m .
Эти классы являются классами вычетов по модулю m . Следовательно, pазложение гpуппы G по подгpуппе H состоит из m pазличных смежных классов - это классы вычетов по
модулю m . |
Индекс подгруппы H = m |
в группе G = ( , +) |
равен | : m |
|= m . |
|
Пример 32. Пусть G = GLn ( ) - группа невырожден- |
||
ных матриц; ее подгруппа H ={U : |
|U |=1} - множество |
матриц, определитель которых равен единице. Построим левые смежные классы группы G по подгруппе H . Пусть матрица A GLn ( ) . Левый смежный класс, который поро-
ждается матрицей A , имеет вид:
|
AH ={X : X = AU U H} . |
Опишем свойства матриц X , образующих этот класс: |
|
|
| X |=| AU |=| A | |U |=| A | . |
Тогда |
AH ={X : | X |=| A |} , |
т.е. класс AH , который порождается матрицей A , состоит из всех тех матриц, определители которых совпадают с определителем матрицы A .
Таким образом, левостороннее разложение группы G по подгруппе H состоит из бесконечного числа левых смежных классов, и каждый класс в этом разложении состо-
ит из матриц, определители которых равны; |
индекс |
| G : H |= ∞. |
|
Отметим, что для данной группы G = GLn ( ) |
право- |
сторонне разложение будет совпадать с левосторонним, хотя группа и не является абелевой. Действительно, правый смежный класс имеет вид
HA ={X : X =UA U H}.
Здесь | X |=|UA |=|U | | A |=| A | ; поэтому
HA ={X : | X |=| A |} = AH .
52 |
53 |
Подгруппы, для которых aH = Ha a G , более подробно
будут рассмотрены ниже, это так называемые нормальные делители группы.
Пример 33. Пусть G = S3 - группа подстановок третьей степени и H - ее подгруппа, порожденная подстановкой (1, 2) , т.е. H = (1, 2) ={e; (1, 2)}. Найдем левостороннее и
правосторонее разложение группы G по подгруппе H . Сначала построим все левые смежные классы. Имеем:
eH ={e; (1, 2)}, |
(2,3)H ={(2,3); (1, 2,3)}, |
|
(1, 2)H ={(1, 2); e} , |
(1, 2,3)H ={(1, 2,3); |
(2,3)}, |
(1,3)H ={(1,3); (1,3, 2)} , |
(1,3, 2)H ={(1,3, 2); |
(1,3)}. |
Всего получили три разных левых смежных класса, следовательно, левостороннее разложение группы G по подгруппе H имеет вид:
S3 = eH (1,3)H (2,3)H . |
(4) |
|
Теперь построим все правые смежные классы: |
|
|
He ={e; (1, 2)}, |
H (2,3) ={(2,3); (1,3, 2)}, |
|
H (1, 2) ={(1, 2); e} , |
H (1, 2,3) ={(1, 2,3); |
(1,3)}, |
H (1,3) ={(1,3); (1, 2,3)} , |
H (1,3, 2) ={(1,3, 2); |
(2,3)}. |
Следовательно, правостороннее разложение группы G по подгруппе H имеет вид:
S3 = He H (1,3) H (2,3) . |
(5) |
Сравнивая разложения (4) и (5) замечаем, что левые смежные классы не совпадают с правыми, совпал только однин класс – это eH = He = H . Оба разложения содержат по три
класса, поэтому | G : H |= 3 . Заметим также, что все смежные
классы, как левые, так и правые, равномощны; каждый их классов состоит из двух элементов, как и подгруппа H .
Пример. Построим все левые смежные классы циклической группы G = a порядка 12 по подгруппе H = a3 .
Заметим, что по условию | G |=12 , поэтому a12 = e . Построим сначала подгруппу H , зная ее образующий элемент:
H ={a3, a6 , a9 , a12 = e}.
Найдем число смежных классов, т.е. индекс подгруппы H в группе G :
| G : H |= || HG || = 124 = 3 .
Отметим, что каждый левый смежный класс состоит из четырех элементов, так как столько же элементов содержит данная подгруппа H . Теперь можем построить левые смежные классы:
eH = H ={e, a3, a6 , a9},
aH ={a, a4 , a7 , a10} ,
a2 H ={a2 , a5 , a8 , a11}.
Итак, все возможные левые смежные классы построены, при-
чем классы a3H , a4H , … находить не надо, так как уже построенные три класса различны и их объединение дает все множество G .
54 |
55 |
Контрольные вопросы и задания к п. 1.10
1.Что называется левым (правым) смежным классом, порожденным элементом a ?
2.Чему равно число элементов смежного класса?
3.Перечислите свойства смежных классов.
4.Могут ли совпадать левостороннее и правостороннее разложения группы G по данной подгруппе H ?
5.Что представляет собой разложение произвольной группы G в левые (правые) смежные классы по единичной под-
группе и по самой G ?
6.Что называется индексом подгруппы в данной группе?
7.Является ли смежный класс группой?
8.Разложите группу (Z, +) в смежные классы по подгруппе
(mZ, +) , где m - данное натуральное число. Каков индекс этой подгруппы?
9. Пусть G = a - циклическая группа порядка 12. Докажи-
те, что множество H = a3 является подгруппой и по-
стройте все левые смежные классы по этой подгруппе. 10. Пусть G = a - циклическая группа порядка 8. Построй-
те левые смежные классы по подгруппе H = a2 .
11. Разложите группу S3 в левые и правые смежные классы по подгруппе H = (1 2) . Совпадают ли левостороннее и правостороннее разложения?
1.11. Теорема Лагранжа
Приведем одно интересное свойство конечных групп. Напомним, что число элементов группы G называется порядком группы и обозначается | G |.
Теорема 17 (Лагранжа). Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка самой группы.
Доказательство. Пусть G - конечная группа порядка n , H - ее подгруппа порядка k . Покажем, что n делится на k .
Рассмотрим все левые смежные классы группы G по подгруппе H ; пусть q - число таких классов. Каждый левый
смежный класс aH состоит из k различных элементов. Действительно, если H ={h1, h2 ,..., hk }, то класс aH имеет вид
aH ={ah1, ah2 ,..., ahk }. Предположим, что в aH имеется два совпадающих элемента ahi = ahj ( i ≠ j ). Тогда умножив обе
части этого равенства слева на a−1 , получим hi = hj , что не-
возможно, так как подгруппа H состоит из различных элементов.
Итак, каждый левый смежный класс состоит из k различных элементов; всего таких классов q , они не пересека-
ются и их объединение дает все множество G . Следовательно, для числа n элементов группы G имеем
n = k q , или | G |=| H | | G : H | ,
откуда получаем, что порядок подгруппы H является делителем порядка группы G . ■
Следствие 1. Любая конечная группа простого порядка является циклической.
Доказательство. Пусть G - конечная группа и ее порядок | G |= p , где p - простое число. В силу теоремы Ла-
гранжа группа G может содержать лишь подгруппы порядка 1 и порядка p .
56 |
57 |
Пусть a ≠ e - некоторый элемент группы G . Рассмотрим циклическую подгруппу H , которая порождается этим элементом, т.е.
H ={e, a, a2 , a3, ... , am} G .
Так как a ≠ e , то для этой подгруппы случай | H |=1 невозможен. Следовательно, | H |= p , т.е. H совпадает со всей
группой G , и значит G является циклической группой. ■
Следствие 2. Порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы.
Доказательство. Пусть элемент a G и ord a = m .
Рассмотрим циклическую подгруппу, порожденную элементом a :
H = a ={a0 = e, a, a2 , ... , am−1}.
Эта подгруппа имеет порядок | H |= m = ord a . В силу теоремы Лагранжа | G | | H | , или | G | ord a . ■
Следствие 3. Если G - конечная группа, то exp G яв-
ляется делителем порядка группы.
Доказательство. В силу теоремы 10 для конечной
группы |
G ={g1,..., gn} |
верно |
равенство |
expG = HOK(ord g1, ... ,ord gn ) . |
Кроме того, |
в силу преды- |
дущего следствия | G | ord g1 , … , | G | ord gn . Поэтому | G | является общим кратным для чисел ord g1 , … , ord gn , а зна-
чит | G | HOK (ord g1, ... ,ord gn ) , или | G | exp G . ■
Пример 34. Пусть G - конечная группа шестого порядка; например, G = S3 . В силу теоремы Лагранжа ее под-
группы могут иметь порядок 1 (это единичная подгруппа), 2, 3, 6 (это сама группа G ). Множества из 4 и 5 элементов не могут быть подгруппами в G . Отметим так же, что груп-
па G не обязана содержать подгруппы 2 и 3 порядков. Это надо специально доказывать.
Контрольные вопросы и задания к п. 1.11
1.Сформулируйте теорему Лагранжа.
2.Пусть | G | - простое число. Докажите, что G - циклическая группа.
3.Верно ли, что порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы? Ответ обоснуйте.
4.Группа G состоит из 28 элементов. Могут ли в ней быть
элементы порядка: а) 7, 14, 4; б) 3, 5, 21?
5. Группа G состоит из 30 элементов. Может ли эта группа содержать подгруппы порядка: а) 3, 5, 6, 15; б) 4, 9, 25?
1.12. Нормальные делители группы
Пусть H - подгруппа группы G . Как уже отмечалось, если G - абелева, то левые и правые смежные классы группы G по подгруппе H совпадают. Однако такая ситуация возможна и в неабелевой группе для некоторых специальных подгрупп. Подгруппы, обладающие этими свойствами, называют нормальными делителями. Дадим строгое определение.
Определение. Подгруппа H называется нормальным делителем группы G , если для любого элемента a G выполняется равенство
aH = Ha ,
т.е. если любой левый смежный класс одновременно является правым смежным классом.
Левые и правые смежные классы группы G по ее нормальному делителю называются просто смежными классами.
Приведем примеры нормальных делителей.
Пример 35. В абелевой группе любая подгруппа является нормальным делителем.
58 |
59 |